【小5算数】図形の角を図解で総まとめ—三角形・四角形・多角形の角の和｜武蔵野個別指導塾

三角形の180°をもとに、四角形や五角形を三角形に分ける図と4つの例題で、角の和と残りの角を求める手順を、図に線を引いて見つけます。

よくあるのは、図書館の机で算数の宿題を開き、細長い三角形を見て「こんな形でも、角を全部たすと180°なのかな」と鉛筆が止まるという場面です。三角形の向きや辺の長さが変わると、前に解いた問題とは別のきまりが必要に思えることがあります。けれども、形の見た目が変わっても、変わらないものがあります。

この単元で手がかりになるのは、角を1つずつ見るだけでなく、いくつかの角を合わせて見ることです。三角形の3つの角を合わせた大きさを使うと、分度器がなくても残りの角を計算できます。さらに、四角形や五角形を三角形に分ければ、新しい形でも同じ考え方で進められます。

まず、どの角を求めるのかを指で確かめ、次に使う角の和を決めましょう。式を書く前に図へ小さな印をつけるだけでも、ひく数の選び間違いを減らせます。図と計算を行き来しながら、答えの理由まで説明できるようにしていきます。

この単元で身につけること

• 角と頂点を区別します。頂点は辺と辺が出合う点、角はその点から出る2本の辺の開きです。
• 三角形の3つの角の和を使います。180°からわかっている角の合計をひくと、残りの角が求められます。
• 四角形を三角形に分けます。対角線を1本引くと、360°になる理由を図から説明できます。
• 多角形の角の和を求めます。1つの頂点から対角線を引き、できた三角形の数に180°をかけます。
• 角の和と1つの角を区別します。等しい角に分ける条件があるかを確かめてから、わり算を使います。

前に学んだ直角や分度器の読み方が、図の中でどこからどこまでが1つの角なのかを確かめる土台になります。直角は90°、一直線になった角は180°、1周した角は360°です。この3つを頭に置くと、求めた角が大きすぎないかも考えられます。

基本の考え方

角の大きさは辺の長さでは決まりません

角の大きさは、2本の辺の開き具合で決まります。扇子を開く様子を思い浮かべてください。長い扇子でも短い扇子でも、開き具合が同じなら角の大きさは同じです。図にかいた辺を長くのばしても、それだけで角は大きくなりません。

図形の内側にある角を、内角といいます。三角形なら3つ、四角形なら4つあります。角の和とは、これらを全部たした大きさです。角の記号が図の外側に書かれているときも、文字の位置だけで判断せず、どの2本の辺の間を指しているかを見ましょう。

また、図形を回転させても角の大きさは変わりません。直角を表す小さな四角の印があれば、辺がななめに見えても90°です。「横の辺と縦の辺だから直角」と決めるのではなく、印や問題文の条件を読み取ることが大切です。

三角形の3つの角を集めると180°です

三角形の3つの角の和は、どんな三角形でも180°です。紙の三角形を用意し、3つの角の部分を切り取って、頂点を1か所にそろえて並べてみましょう。辺どうしが重ならないようにつなぐと、3つの角で一直線の角を作れます。紙を使うと、3つの角を合わせる意味を目で確かめられます。

図1のように、50°、60°、70°の角をもつ三角形なら、50° + 60° + 70° = 180°です。右側には、その3つの角と同じ大きさの角をすき間なく並べてあります。三角形の辺の長さをたしているのではなく、開きの大きさをたしている点に注目してください。

1つの角が大きくなれば、残り2つを合わせた角は小さくなります。たとえば直角三角形では、直角だけで90°を使うので、残り2つの角の和は180° – 90° = 90°です。その2つがいつも45°ずつになるわけではありません。等しいという条件があるときにだけ、同じ大きさに分けられます。

多角形も三角形に分けて考えます

直線で囲まれた図形のうち、辺が5本なら五角形、6本なら六角形といいます。三角形や四角形も含めて、このような図形を多角形と呼びます。ここでは、へこんだ部分がない多角形で考えます。辺が交差する星形などは、同じ数え方の図として扱いません。

隣り合わない頂点どうしを結んだ線分が対角線です。四角形に対角線を1本引くと、三角形が2つできます。もとの四角形の角の一部は対角線で分かれますが、その部分を合わせればもとの角に戻ります。余分な角は増えないので、四角形の4つの角の和は180° × 2 = 360°です。

同じように1つの頂点から対角線を引くと、五角形は3つ、六角形は4つの三角形に分かれます。三角形の数は、辺の数より2少なくなります。したがって、角の和は180° ×（辺の数 – 2）で求められます。式を覚える前に、同じ頂点から線を引き、三角形が重ならず図形全体をうめているかを確かめましょう。

三角形1つ分の180°を何回たすかが、この式の意味です。辺の数が1つ増えると、分けられる三角形も1つ増えるので、角の和は180°ずつ増えます。知らない多角形が出ても、表を丸ごと覚え直す必要はありません。

例題で解き方を確かめる

例題1　三角形の残りの角

三角形の2つの角が48°と67°です。残りの角は何度ですか。

1. 使う角の和を180°と決めます。三角形の3つの内角を扱っているからです。
2. わかっている2つの角をたします。48° + 67° = 115°で、3つの角のうち、すでにわかっている分をまとめます。
3. 全体からその分をひきます。180° – 115° = 65°となり、まだ数えていない角が残ります。

答え：65°です。

確かめは、求めた角を元の2つに戻してたすことです。48° + 67° + 65° = 180°なので、三角形の角の和に合います。180° – 48° – 67°と順にひいても同じ答えですが、はじめはわかっている分をまとめると意味を追いやすくなります。

途中式で180° – 48° + 67°と書くと、67°をひく代わりにたしてしまいます。残りを求めるときは、わかっている角はどちらも全体から取り除く分です。記号を迷ったら、図の48°と67°にそれぞれ印をつけ直しましょう。

例題2　四角形の残りの角

図2の四角形ABCDで、AとBの角はそれぞれ90°、Cの角は60°です。Dの角は何度ですか。図の対角線ACは、四角形を2つの三角形に分けるために引いた線です。

1. 四角形の角の和を求めます。図2のように三角形が2つなので、180° × 2 = 360°です。
2. わかっている3つの角をたします。90° + 90° + 60° = 240°です。対角線で分かれた角も、AやCの角全体で数えます。
3. 残りをひき算で求めます。360° – 240° = 120°なので、これがDの角です。

答え：120°です。

90° + 90° + 60° + 120° = 360°と確かめられます。Dの角は直角より大きく、一直線の角より小さい角です。計算の答えと図のおよその開きが合うかを見ることも、計算間違いに気づく助けになります。ただし、図を見て「このくらい」と決めた値を答えにはしません。

例題3　五角形の飾りの角の和

工作で、へこみのない五角形の紙の飾りを作ります。5つの角は同じ大きさではありません。内側の5つの角を全部たすと何度になりますか。

1. 紙の角を順にたどり、頂点が5つあることを確かめます。角の和に必要なのは、辺の長さではなく図形の辺や頂点の数だからです。
2. 1つの頂点から、隣り合わない2つの頂点へ対角線を引きます。五角形全体が3つの三角形に分かれ、角の和を三角形で考えられます。
3. 三角形3つ分を計算します。180° × 3 = 540°なので、五角形の角の和が求められます。

答え：540°です。

各頂点の角度を1つずつ測らなくても、全部を合わせた角度は決まります。5つの角が等しくなくても、この答えは変わりません。一方、この条件だけで特定の1つの角を求めることはできません。「合計は決まるけれど、1つずつの値はまだ決まらない」という違いを押さえておきましょう。

例題4　正六角形の1つの角

すべての辺の長さと、すべての角の大きさが等しい多角形を正多角形といいます。正六角形の1つの内角は何度ですか。

1. 六角形を1つの頂点から三角形に分けた数を考えます。6 – 2 = 4で、三角形が4つできます。
2. 6つの角の和を求めます。180° × 4 = 720°です。これはまだ1つの角の大きさではありません。
3. 角の和を6等分します。正六角形では6つの角がすべて等しいので、720° ÷ 6 = 120°となります。

答え：120°です。

120° × 6 = 720°なので、求めた角を6つ合わせると角の和に戻ります。ただの六角形なら、角が等しいとは限らず、このわり算で1つの角は決められません。「正」という文字が、等分してよい理由になっています。

つまずきやすいところと直し方

三角形なのに360°からひいてしまう

間違った書き方：例題1で、360° – 115° = 245°とします。どこが違うかというと、360°は四角形の内角の和や、1周した角の大きさであり、三角形の3つの角の和ではない点です。

正しい書き方：180° – 115° = 65°です。計算の前に図の頂点を指で3つたどり、「三角形だから180°」と確かめましょう。角の和の数字だけを思い出すより、使う図形と組にして言うほうが選びやすくなります。

辺の数と三角形の数を同じにしてしまう

間違った書き方：五角形の角の和を180° × 5 = 900°とします。どこが違うかというと、かける数は辺の数ではなく、1つの頂点から対角線を引いてできる三角形の数だからです。

図3のようにAから対角線ACとADを引くと、三角形ABC、ACD、ADEの3つに分かれます。対角線は2本ですが、三角形は3つです。線の本数と、できた部分の数も区別してください。

正しい書き方：180° ×（5 – 2）= 540°です。図3の色のついた部分を1つずつ指して数えれば、かける数の3を確かめられます。図形の中に新しい点を置いてそこから線を引くと、その点の周りの角まで数えることになります。まずは頂点から分ける方法を使いましょう。

等しい条件がないのに角の和を等分してしまう

間違った書き方：どんな四角形でも、1つの角は360° ÷ 4 = 90°とします。どこが違うかというと、角の和が360°でも、4つの角が等しいとは限らない点です。図2でも、60°の角と、求めた120°の角がありました。

正しい書き方：図2なら、360° -（90° + 90° + 60°）= 120°です。等分するのは、角がすべて等しいとわかっている場合です。「和がわかる」と「1つの角がわかる」の間には、もう1つ条件が必要なことがあります。

練習問題

計算する前に、どの図形の角の和を使うかを短く書いてみましょう。答えが出たら、元の角と合わせる方法でも確かめてください。

練習1

三角形の2つの角が35°と80°です。残りの角は何度ですか。

練習2

四角形の3つの角が75°、95°、110°です。残りの角は何度ですか。

練習3

へこみのない七角形を、1つの頂点から対角線を引いて三角形に分けます。三角形はいくつでき、内角の和は何度になりますか。

練習4

正五角形の1つの内角は何度ですか。角の和を求めてから考えましょう。

答えと解説

練習1：65°です。35° + 80° = 115°、180° – 115° = 65°です。三角形の3つの角をたすと180°に戻ります。

練習2：80°です。75° + 95° + 110° = 280°、360° – 280° = 80°です。3つの角をまとめてからひきます。

練習3：三角形は5つ、角の和は900°です。7 – 2 = 5、180° × 5 = 900°です。頂点から分けた三角形の数を使います。

練習4：108°です。180° × 3 = 540°、540° ÷ 5 = 108°です。正五角形なので、5つの角に等しく分けられます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

角の和は、この先の正多角形や、形を大きくしたり小さくしたりする学習でも使います。中学校で図形の性質を説明するときにも、線を1本加えて、知っている三角形を見つける考え方が役立ちます。

家庭では5分ほどで、次の2つを試せます。1つ目は、不要な紙に三角形をかき、角の部分を切って一直線に並べることです。2つ目は、紙にへこみのない五角形をかき、1つの頂点から対角線を引いて、三角形を色分けすることです。お子さまと読むときは、答えを聞く前に「180°がいくつ分かな」と図を指して確かめてください。

個別指導で手が止まったときは、ひき算だけを練習する前に、求める角の場所や、直角と一直線の角の区別まで戻って確かめます。図を正しく読めていれば、次はどの角をまとめるかを一緒に整理できます。

まとめ

見慣れない形に出合ったら、すぐに数字を式へ入れず、頂点を順にたどってみましょう。対角線を引き、できた三角形を指で数えると、その図形で使う角の和が見えてきます。答えの横に「三角形が3つだから」のような短い理由を添えれば、あとからノートを読み返しても考え方をたどれます。

角度の答えを支えるのは、図の中で180°がいくつ分あるかを示せることです。