【小6算数】角柱と円柱の体積を図解で総まとめ—底面積×高さ・複合図形・単位｜武蔵野個別指導塾

三角柱・円柱・段のある立体の例題で、底面積と高さの見つけ方を確かめます。3枚の図と練習問題を使い、直径の読み取りから体積の単位換算まで家庭で順に学べます。

よくあるのは、学校のテストの日、教室の入口で算数のノートを見直していると、「底面積×高さ」は言えるのに、横向きの三角柱を見て、どの長さをかければよいか止まってしまうという場面です。立体にはいくつもの辺があり、図に数字が並ぶと、全部かけたくなることもあります。公式を覚えたことと、図から必要な長さを選べることには、少し距離があります。

角柱と円柱の体積では、まず底面を決め、その面の広さを求めます。それから、向かい合う底面の間の長さをかけます。この順序がつながると、三角形や円の面積の学習が、立体の大きさを調べる道具になります。形が複雑になっても、分けたり、欠けた部分を引いたりして考えられます。

保護者の方は、お子さまが式を書いたときに、答えの数字だけでなく「この計算では、どの面の広さを出しているのかな」と確かめてみてください。計算の途中に面積があることを言葉にできると、高さの取り違えや単位の混乱を見つけやすくなります。

この単元で身につけること

• 底面と高さを見つけます。角柱や円柱の、平行で合同な2つの面に注目し、その面の間の垂直な距離を高さとして読み取ります。
• 底面積を求めます。底面が長方形ならたて×横、三角形なら底辺×高さ÷2、円なら半径×半径×円周率を使います。
• 底面積×高さで体積を求めます。面の広がりと、立体の厚みや奥行きを組み合わせる意味を説明できるようにします。
• 複合立体の体積を求めます。直方体などに分けて足す方法と、大きな立体から欠けた部分を引く方法を、図に合わせて選びます。
• 単位をそろえて答えます。長さ・面積・体積を区別し、cm³、m³、L、mLの関係を使って必要な単位に直します。

これまでに学んだ直方体の体積と、三角形や円の面積が、この単元の土台です。新しい公式を別々に増やすのではなく、底面の形に応じて面積の求め方を入れ替えると考えます。多くの教科書では小6で扱いますが、面積の計算に迷う場合は、その部分を先に確かめると進みやすくなります。

基本の考え方

底面は、紙の下に見える面とは限りません

角柱には、平行で合同な2つの多角形の面があります。この2つが底面です。三角柱なら三角形、五角柱なら五角形を底面として考えます。円柱の底面は、平行で合同な2つの円です。底面積とは、その底面の片方の面積をいいます。底面が2つあるからといって、2枚分の面積を足すわけではありません。

底面という名前には「底」という字が入っていますが、必ず机に接する面を選ぶという意味ではありません。三角柱を横に寝かせた図なら、左右の三角形が底面になることもあります。図の向きが変わっても、立体の形や体積は変わりません。見た目の上下よりも、どの面が同じ形で向かい合っているかを先に探します。

高さは、2つの底面の間の垂直な距離です。ここで扱うまっすぐな角柱では、対応する頂点を結ぶ辺の長さから高さを読み取れます。円柱なら、2つの円の中心を結ぶ方向の長さが高さになります。図を横向きに描けば、高さを示す線も横向きに見えます。「高さはいつも紙の縦方向」という決め方はしないようにします。

直方体は、底面の選び方を変えても体積が求められる立体です。たとえば辺の長さが4 cm、3 cm、5 cmなら、4 cmと3 cmでできる長方形を底面にすると、高さは5 cmです。4 cmと5 cmでできる面を底面にすれば、高さは3 cmになります。底面を選び直すときには、高さもそれに合わせて選び直す必要があります。

同じ広さの層を重ねると体積になります

図1のように、底面が横4 cm、奥行き3 cmの長方形で、高さが5 cmの直方体を考えます。底面積は4×3＝12で、12 cm²です。この底面の上に高さ1 cmの層を作ると、その層の体積は12 cm³になります。高さ5 cmまで積むので、12 cm³の層が5つ分になり、体積は60 cm³です。

図1の途中の線は、高さ1 cmごとの区切りを表しています。どの層も同じ広さなので、1つ分の体積を求めてから層の数をかけられます。この考え方をまとめたものが「角柱や円柱の体積＝底面積×高さ」です。底面が三角形や円に変わっても、同じ形の層がまっすぐ重なるという点は共通です。

高さが小数でも、公式は使えます。底面積が12 cm²で高さが0.5 cmなら、高さ1 cmのときの半分の体積なので、12×0.5＝6で6 cm³です。整数の高さのように層を何枚と数えられなくても、厚さに応じて体積が変わると考えられます。高さが1 cmより小さいから公式が使えなくなるわけではありません。

底面積と体積では、単位も変わります。cm²は面の広さ、cm³は立体の大きさの単位です。1 cm³は、1辺が1 cmの立方体1個分の体積です。途中に「底面積12 cm²」、最後に「体積60 cm³」と書き分けると、いま何を求めたのかを自分で確かめられます。

底面の形を確かめてから公式を選びます

三角柱の底面積を求めるときには、三角形の面積の公式を使います。ここでいう三角形の高さは、選んだ底辺に垂直な長さです。そのあとにかける角柱の高さは、2つの三角形の面の間の長さです。同じ「高さ」という言葉が出てきても、求める対象が違います。「三角形の面積を求めるための高さ」「立体の体積を求めるための高さ」と区別すると整理できます。

円柱では、底面の円の半径が必要です。問題に直径しか出ていなければ、直径÷2で半径を求めてから、半径×半径×円周率を計算します。この文章の問題では、円周率を3.14とします。学校の問題で別の指示があるときは、その指示に従います。円周の長さを求める式と混ぜないように、まず円の内側の広さを求めることを意識します。

また、体積を計算する前には、長さの単位をそろえます。cmとmが混じったまま数字だけをかけると、何を1つ分にした体積なのかがそろいません。1 m³は、1辺が1 mの立方体の体積です。1 m＝100 cmなので、100×100×100＝1000000より、1 m³＝1000000 cm³です。長さを100倍することと、体積の単位を換算することは区別します。

水などのかさとの関係は、1 cm³＝1 mL、1000 cm³＝1 L、1 m³＝1000 Lです。容器に入る量を求めるときには、容器の外側ではなく内側の寸法を使います。板や壁の厚さがあるため、外側の寸法で求めた立体の体積と、実際に入る水の量は同じとは限りません。

例題で解き方を確かめる

例題1　長方形の底面をもつ四角柱

底面がたて3 cm、横4 cmの長方形で、高さが5 cmの四角柱があります。体積を求めましょう。図1に対応する問題です。まず面積を出し、その答えに高さをかけるという基本の順序を確かめます。

1. 底面の形を確かめます。長方形なので、底面積は3×4＝12で、12 cm²です。高さ5 cmは底面の中の長さではないため、ここではまだ使いません。
2. 底面積に四角柱の高さをかけます。12×5＝60です。同じ広さの層が高さ5 cmまで重なっているため、このかけ算で全体の体積になります。
3. 求めた量が体積であることを確かめます。使った長さの単位はすべてcmなので、答えにはcm³を付けます。

答え：60 cm³です。

直方体の公式である、たて×横×高さで計算しても3×4×5＝60です。新しい公式は、これまでの公式と別のものではありません。「たて×横」の部分が底面積を表していると見ることで、底面がほかの形のときにも使える考え方になります。

例題2　2種類の高さが出てくる三角柱

底面の三角形は、底辺が6 cm、その底辺に垂直な高さが4 cmです。三角柱の高さは8 cmです。この三角柱の体積を求めましょう。6 cmと4 cmは同じ三角形の中の長さで、8 cmは向かい合う三角形の間の長さです。

1. 三角形の底面積を求めます。6×4÷2＝12なので、底面積は12 cm²です。三角形の面積を求めるため、長方形の面積を求めるときと違って2でわります。
2. 底面積に三角柱の高さをかけます。12×8＝96です。4 cmはすでに三角形の面積を求めるために使っているので、この段階では底面どうしの間の8 cmを使います。
3. 式全体の意味を確かめます。6×4÷2×8のうち、6×4÷2が面積、そのあとの×8が立体の高さを表します。区切りを意識すると、使い忘れた長さや余分な計算に気づけます。

答え：96 cm³です。

÷2が必要なのは、底面が三角形だからです。三角柱だから最後にもう一度2でわるという決まりはありません。途中で底面積を12 cm²と出したなら、その12にはすでに三角形であることが反映されています。「三角形の広さはもう求め終わったね」と確認すると、二重に2でわる間違いを直せます。

例題3　直径が与えられた円柱

底面の直径が10 cm、高さが8 cmの円柱があります。円周率を3.14として、体積を求めましょう。図2のように、10 cmは円の端から中心を通って反対側の端までの長さです。中心から端までの半径と区別します。

1. 直径から半径を求めます。10÷2＝5なので、半径は5 cmです。円の面積の公式には直径ではなく半径を入れるため、最初にこの計算をします。
2. 底面積を求めます。5×5×3.14＝78.5なので、底面積は78.5 cm²です。高さ8 cmを使う前に、円1枚の広さが出たか確かめます。
3. 円柱の高さをかけます。78.5×8＝628となります。図2では上下の円の間の長さが8 cmなので、これを高さとして使います。
4. 答えの大きさを見直します。半径5 cmの円は1辺10 cmの正方形の中に入るので、この円柱は10×10×8＝800 cm³の直方体より小さくなります。628 cm³なら、この大小関係にも合っています。

答え：628 cm³です。

小数の計算では、先に5×5＝25、次に25×3.14＝78.5、最後に78.5×8＝628と順に書くと確認しやすくなります。途中の78.5を勝手に79などに丸めないことも大事です。問題に概数の指示がない限り、計算で得た数をそのまま使います。

例題4　欠けた部分のある立体

幅8 cm、高さ6 cm、奥行き5 cmの直方体があります。その右上から、幅3 cm、高さ2 cm、奥行き5 cmの直方体を取り除きました。残った立体の体積を求めましょう。取り除く部分は、手前から奥まで同じ形で続いているものとします。

1. もとの直方体の体積を求めます。8×6×5＝240なので、240 cm³です。欠ける前の形を考えると、すでに知っている直方体の公式を使えます。
2. 取り除いた部分の体積を求めます。3×2×5＝30なので、30 cm³です。奥行き全体にわたって取り除くため、ここでも奥行きは5 cmです。
3. 全体から取り除いた部分を引きます。240−30＝210です。残った部分と取り除いた部分を合わせるともとの直方体に戻るので、引き算で残りを求められます。

答え：210 cm³です。

この立体は、前と後ろに合同なL字形の面があります。この面を底面として考えるなら、底面積は8×6−3×2＝42で42 cm²です。2つのL字形の面の間の長さは5 cmなので、42×5＝210となり、同じ答えになります。この考え方では、問題文の縦方向の高さ6 cmと、角柱としての高さ5 cmを区別します。次の図3で、面と奥行きの対応を確かめましょう。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　三角形の高さをもう一度かけてしまう

誤った書き方は、例題2で「6×4÷2×4＝48 cm³」とする式です。どこが違うかというと、最後の4 cmは三角形の面積を求めるための高さであり、2つの底面の間の長さではない点です。三角形の面積が求められていても、最後の高さの選び方で体積が変わってしまいます。

正しい書き方は「6×4÷2＝12、12×8＝96、答え96 cm³」です。直すときには、6 cmと4 cmに同じ色の印を付け、8 cmを別の印で囲むと、役割が分かれます。保護者の方は「三角形の紙を同じ向きに重ねると、どちらの方向に8 cm続くかな」と聞いてみてください。式を覚え直すより、底面と重なる方向を見つける練習になります。

誤り2　直径を半径として使ってしまう

誤った書き方は、例題3で「10×10×3.14×8＝2512 cm³」とする式です。どこが違うかというと、10 cmは直径なのに、半径を入れる場所へそのまま入れている点です。半径を2倍にして計算すると、底面積ではその2倍を2回かけるため、4倍の大きさになってしまいます。

正しい書き方は「10÷2＝5、5×5×3.14×8＝628、答え628 cm³」です。2512÷628＝4となるので、間違った答えが正しい答えの4倍だったことも確かめられます。「直径だから最後に2でわればよい」と直すだけでは足りません。図2の中心から端までを指し、式に入れる前に半径へ直します。

誤り3　複合立体の同じ部分を二重に数える

誤った書き方は、例題4で「5×6×5＋8×4×5＝310 cm³」とする式です。左側全体と下側全体を足そうとしていますが、どこが違うかというと、左下の部分が両方に含まれている点です。二つに分けたつもりでも、重なりがあると、その部分を二重に数えてしまいます。

図3のように、底面のL字形を左の長方形と右下の長方形に分けます。左の幅は8−3＝5 cm、右下の高さは6−2＝4 cmです。正しい書き方は「5×6×5＋3×4×5＝150＋60＝210、答え210 cm³」です。左側を丸ごと使ったら、右側は残った幅3 cmの部分だけを数えます。

図3では、立体の手前のL字形と、右側に描いた平面図が対応しています。平面図の色の境目をそのまま奥まで延ばしたと考えると、2つの直方体に分けられます。引く方法なら240−30、分けて足す方法なら150＋60です。どちらも210になることは確認になりますが、まず図の上で、すき間も重なりもなく全体を覆えていることを確かめます。

練習問題

次の4問では、式の前に「底面積」「立体の高さ」を短く書いてから計算してみましょう。円周率は3.14とします。答えの単位が指定されている場合は、体積を求めたあとに単位を直します。解説を見る前に、使った長さがどの面や方向に対応するかを説明してみてください。

練習1

底面が、底辺9 cm、高さ4 cmの三角形である三角柱があります。三角柱の高さは7 cmです。体積を求めましょう。三角形の高さと三角柱の高さを、それぞれどの計算で使うかも確かめます。

練習2

底面の直径が6 cm、高さが10 cmの円柱があります。体積を求めましょう。最初に半径を求める式を1行書き、次に底面積と体積を求めてください。

練習3

幅10 cm、高さ7 cm、奥行き4 cmの直方体から、右上の幅4 cm、高さ3 cm、奥行き4 cmの直方体を取り除きました。残った立体の体積を求めましょう。大きな直方体から引く方法で求め、できれば2つに分けて足す方法でも確かめてください。

練習4

内側のたてが20 cm、横が30 cm、深さが0.4 mの直方体の水そうがあります。いっぱいまで水を入れると、何L入りますか。水そうの壁の厚さは計算する必要がありません。どの寸法も内側を測った長さだからです。

答えと解説

練習1の答えは126 cm³です。底面積は9×4÷2＝18で18 cm²、体積は18×7＝126です。4 cmは三角形の面積に、7 cmはその面が続く長さに使います。三角形の面積を求める÷2を忘れないようにします。

練習2の答えは282.6 cm³です。半径は6÷2＝3 cm、底面積は3×3×3.14＝28.26 cm²です。これに高さ10 cmをかけ、28.26×10＝282.6となります。10をかけたときに、小数点の位置も確かめます。

練習3の答えは232 cm³です。もとの体積は10×7×4＝280 cm³、取り除く部分は4×3×4＝48 cm³なので、280−48＝232です。分ける場合は、左の幅が10−4＝6 cm、右下の高さが7−3＝4 cmです。6×7×4＋4×4×4＝168＋64＝232でも確かめられます。

練習4の答えは24 Lです。まず0.4 m＝40 cmに直します。容積は20×30×40＝24000 cm³で、1000 cm³＝1 Lより24000÷1000＝24 Lです。20×30×0.4のように単位の違う長さをそのままかけないことが、最初の確認点です。

練習4をmでそろえるなら、20 cm＝0.2 m、30 cm＝0.3 mとして、0.2×0.3×0.4＝0.024 m³です。1 m³＝1000 Lなので、0.024×1000＝24 Lになり、cmでそろえた場合と一致します。どの単位で計算するかを先に決めると、途中の数の意味も追いやすくなります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

底面積を一定にして高さを2倍、3倍にすると、体積も2倍、3倍になります。この関係は比例を学ぶときにつながります。また、体積と底面積がわかれば、体積÷底面積で高さを求められます。たとえば体積60 cm³、底面積12 cm²なら、高さは60÷12＝5 cmです。公式を一方向に使うだけでなく、何がわかっていて何を求めたいのかを見直す練習になります。

家庭で5分ほど確かめるなら、1つ目は空き箱を使う方法です。向かい合う面を底面として指し、そのときの高さを指で示します。箱の向きを変えてもう一度試し、底面を変えたら高さも変わることを確かめます。ものさしで測る前に、どの長さが必要かを選ぶだけでも十分です。

2つ目は、紙に円を描き、直径と半径を書き分ける方法です。直径10 cmの円なら、半径5 cmと書けるかを確かめ、その円を底面とする高さ8 cmの円柱の式を口で説明します。「半径を出す、円の面積を出す、高さをかける」と順番が言えれば、計算の見通しが立っています。

個別指導では、底面を選べないのか、面積の公式に迷うのか、単位換算で止まるのかを分けて確かめます。必要に応じて、立体の見取図の読み方や、三角形・円の面積まで戻り、止まった箇所からつなぎ直します。

まとめ

体積の答えが合わないとき、最初からすべて計算し直す必要はありません。選んだ底面、求めた面積、かけた高さ、最後の単位を順に見れば、どこで考えがずれたのかを探せます。複雑な形でも、欠けた部分や重なりを図に示すと、直方体の計算へ戻せます。

お子さまが「この面がこの長さだけ続くから、この式になる」と説明できたなら、数字と図がつながったしるしです。体積の式は、底面を指で示せて初めて、自分で使える式になります。