【小5算数】分数のたし算ひき算を図解で総まとめ—通分して計算・帯分数・3 つの分数｜武蔵野個別指導塾

分母をそろえる理由を帯の図で確かめ、帯分数のくり上がり・くり下がりや3つの分数の計算へ進みます。リボンの文章題と練習問題を使い、途中式から答えの確かめ方まで家庭で取り組めます。

よくあるのは、図書館の机で算数の宿題を広げたお子さまが、1/2 + 1/3 の式の前で手を止めるという場面です。「上どうし、下どうしをたせばよいのかな」と考えても、昨日習った通分をどこで使うのかが結びつきません。保護者の方が「分母をそろえて」と声をかけると計算できるのに、次の問題では同じところで迷うこともあります。

このとき確かめたいのは、通分の手順を覚えているかだけではありません。1/2 の1個分と、1/3 の1個分は大きさが違う、と捉えているかが出発点です。同じ大きさの部分に分け直せば、分数のたし算もひき算も、その部分が何個あるかを数える計算になります。

ここから、分母の違う分数、帯分数、3つの分数へと順に進みます。図と途中式を対応させながら、くり上がりやくり下がりで何をしているのかも確かめましょう。答えを出すだけでなく、「この答えはもとの量と比べておかしくないか」まで考えられることが目標です。

この単元で身につけること

• 分母が違う分数を通分できます。分母をそろえるときは、分子にも同じ数をかけ、もとの分数と等しい大きさを保ちます。
• 分母が同じになったら、分子どうしをたしたりひいたりできます。分母は数える部分の大きさを表すので、そのまま残します。
• 計算の答えを約分できます。分子と分母に共通する約数がないかを調べ、同じ大きさを簡単な分数で表します。
• 帯分数のたし算とひき算ができます。整数部分と分数部分を分ける方法と、仮分数に直す方法を使い、くり上がりとくり下がりも扱います。
• 3つの分数や文章題を計算できます。通分する分母と計算の順序を確かめ、答えの単位や量の大きさまで見直します。

これまでに学んだ分数の意味、等しい分数、約分・通分が、この単元の土台です。特に、公倍数を見つける力と「分母と分子に同じ数をかけても分数の大きさは変わらない」という性質を使います。

全部を一度に速くできる必要はありません。まずは通分の前後で大きさが変わらないことを説明し、次に分子の計算、最後に答えの整理へと進みます。お子さまが止まったときは、どの段階まで自分でできているかを途中式から見つけると、戻る場所がはっきりします。

基本の考え方

分母は部分の大きさ、分子はその個数です

分数の分母は、もとにする1を何等分したかを表します。分子は、その部分を何個集めたかを表します。たとえば 3/5 は、1を5等分した部分の3個分です。分母と分子は別々の役目を持つので、たし算だから両方をたす、という扱いはできません。

1/5 + 2/5 なら、どちらも1を5等分した同じ大きさの部分です。1個と2個を合わせるので、答えは 3/5 になります。分母の5は、計算の途中で変わりません。小さな部分を合わせても、その1個分が急に1を10等分した大きさになるわけではないからです。

一方、1/2 + 1/3 では、1を2等分した部分と3等分した部分を合わせます。1個ずつでも、大きさが違うので「合わせて2個」とだけ数えることはできません。共通の小さな部分に分け直してから、何個分あるかを数えます。この分け直しを、式の上で行うのが通分です。

図1のように、同じ長さの帯をもとにすると、1/2 は 3/6、1/3 は 2/6 と表せます。青い帯は半分の位置まで、緑の帯は3分の1の位置まで塗っています。区切りを細かくしても、色のついた長さは変わっていません。

図1の下の帯は、上の2つの色の長さを横に続けて並べたものです。1/6 が3個と2個なので、合わせて5個です。したがって、1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 となります。保護者の方からは「同じ大きさの小さな部分にそろえたら、何個と何個になるかな」と声をかけてみてください。

図で比べるときには、もとの1の大きさをそろえることも欠かせません。長さの違う2本の帯の半分どうしを並べても、同じ長さになるとは限りません。1 m をもとにした 1/2 m と 1/3 m のように、共通の単位や全体を決めてから分けます。

通分では大きさを保ったまま表し方を変えます

1/2 を分母6の分数に直すときは、2 × 3 = 6 と考えます。分母を3倍にするので、分子も 1 × 3 = 3 として 3/6 にします。1/3 では、分母も分子も2倍にして 2/6 にします。分母だけを6にしてしまうと、分数そのものの大きさが変わります。

通分に使う分母には、もとの分母どうしの公倍数を選びます。2と3なら、6、12、18などです。どれを選んでも正しく計算できますが、最小公倍数の6を使うと、途中の数を小さくできます。最小公倍数がすぐ見つからない場合は、片方の分母の倍数を順に書き、もう片方でも割り切れる最初の数を探します。

たとえば分母が4と6なら、6の倍数は6、12、18、24と続きます。そのうち最初に4でも割り切れる数は12です。4と6をかけた24も公倍数ですが、12を使えば計算しやすくなります。分母が3と6のように、一方が他方の倍数である場合は、大きいほうの6にそろえられます。

ひき算も、同じ大きさの部分を何個取り除くか、と考えます。3/4 – 1/2 なら、1/2 を 2/4 に直して、3/4 – 2/4 = 1/4 です。4等分した部分が3個あり、そのうち2個を取り除くので1個残ります。たし算とひき算で通分の意味が変わることはありません。

計算の後は、約分できるか確かめます。通分は計算するために分母をそろえる操作、約分は等しい分数を簡単に表す操作です。役目を区別すると、「分母を大きくしたのに、なぜ最後に小さくするのか」という疑問も整理できます。途中の通分と最後の約分は、どちらも量を変える操作ではありません。

帯分数は整数と分数を合わせた数です

1 と 3/4 のように、整数と真分数を合わせた表し方を帯分数といいます。真分数は分子が分母より小さい分数です。分子が分母と等しいか、それより大きい分数は仮分数といいます。たとえば 4/4 や 7/4 が仮分数で、4/4 は1、7/4 は 1 と 3/4 と同じ大きさです。

帯分数を仮分数に直すときは、整数の中に同じ大きさの部分がいくつあるかを数えます。1は 4/4 なので、1 と 3/4 は 4/4 + 3/4 = 7/4 です。反対に、7/4 は 4/4 と 3/4 に分けられるので、整数1と 3/4 が残ります。

帯分数の計算では、整数部分と分数部分を分けて計算する方法も使えます。ただし、分数部分の和が1以上になったら、その中の1を整数部分へ移します。ひき算で分数部分が足りないときには、整数部分から1を分数に直して移します。いずれも、全体の大きさを保ちながら、整数と分数の分け方を変えています。

最初はどちらか一方の方法で、途中式を省かずに練習しましょう。整数と分数を分ける方法で迷った問題を仮分数で解き直せるようになると、別の道筋で答えを確かめられます。方法を変える際にも、書き直す前と後の数が等しいことを一度口に出すと、操作だけを覚えるのを防げます。

例題で解き方を確かめる

例題1　分母の違う分数をたします

1/6 + 1/3 を計算しましょう。分母が違いますが、6は3の倍数なので、1/3 のほうだけを書き直せばそろいます。先にこの関係に気づくと、両方の分母をむやみに大きくせずに済みます。

1. 共通の分母を6に決めます。6は6と3の最小公倍数で、どちらの分数も分母6で表せるからです。
2. 1/3 = 2/6 と直します。分母を2倍にしたので、分子も2倍にし、分数の大きさを保ちます。
3. 1/6 + 2/6 = 3/6 と計算します。同じ 1/6 の部分を合わせるので、分子の1と2だけをたします。
4. 3/6 = 1/2 と約分します。分子と分母をともに3で割れるので、簡単な分数に直します。

答え：1/2

ここでは 3/6 も量としては正しい値です。ただし、答えを簡単な分数で表すところまで仕上げます。「間違い」とまとめて消すよりも、計算はできたことを確かめてから「分子と分母を同じ数で割れるかな」と問いかけると、直す点が一つに絞れます。

例題2　帯分数のたし算でくり上がります

1 と 3/4 + 2 と 2/3 を計算しましょう。整数部分を合わせるだけで終わらず、分数部分の和の中にも整数1ができる点が、この問題の確かめどころです。

1. 整数部分は 1 + 2 = 3 と計算します。1のまとまりどうしを先に合わせると、分数部分に集中できます。
2. 分数部分を 3/4 = 9/12、2/3 = 8/12 と通分します。4と3の最小公倍数が12なので、同じ 1/12 の部分にそろえます。
3. 9/12 + 8/12 = 17/12 と計算します。分数部分だけで1をこえるので、そのまま真分数として書くことはできません。
4. 17/12 = 1 と 5/12 と直し、整数部分の3に1をたします。17個の 1/12 のうち12個が整数1になるからです。

答え：4 と 5/12

図2のように、9個の青い部分の後ろへ8個の緑の部分を並べると、1本目が12個で満ち、2本目に5個残ります。図には分数部分だけを示しています。もとからあった整数部分の3に、図からできた1を加えることを忘れないようにしましょう。

図2の区切りを数えると、くり上がった1がどこから来たのかを追えます。式では 17/12 を整数1と 5/12 に分けているだけなので、くり上がりによって量が増えたわけではありません。

仮分数で確かめるなら、1 と 3/4 = 7/4、2 と 2/3 = 8/3 です。通分して 21/12 + 32/12 = 53/12 とし、53 ÷ 12 = 4 あまり5 から、4 と 5/12 になります。2つの方法が同じ答えに着くことも確認できます。

例題3　帯分数のひき算でくり下がります

長さ 3 と 1/4 m のリボンから、1 と 2/3 m を切り取ります。残りは何 m でしょうか。残りを求めるので、もとの長さから切り取る長さをひき、3 と 1/4 – 1 と 2/3 の式を立てます。

1. 分数部分を 1/4 = 3/12、2/3 = 8/12 と通分します。切り取る長さと残す長さを同じ小さな単位で扱うためです。
2. 3 と 3/12 を、2 と 15/12 に書き直します。分数部分の 3/12 から 8/12 はひけないので、整数の3から1を取り、12/12 として 3/12 に加えます。
3. 整数部分は 2 – 1 = 1、分数部分は 15/12 – 8/12 = 7/12 と計算します。くり下げた後の整数部分が2であることを、ここでも確かめます。
4. 整数と分数を合わせ、1 と 7/12 に単位 m をつけます。7と12に1以外の公約数はないため、これ以上の約分はできません。

答え：1 と 7/12 m

途中の「2 と 15/12」は、整数2と仮分数 15/12 を合わせて、くり下げた状態を表した書き方です。答えの帯分数としてそのまま残すための形ではありません。整数を1減らした分だけ分数を増やしたので、もとの 3 と 1/4 と等しい長さです。

仮分数を使う場合は、13/4 – 5/3 = 39/12 – 20/12 = 19/12 です。これを帯分数に戻すと 1 と 7/12 になります。残りに切り取った長さを戻して、1 と 7/12 + 1 と 8/12 = 3 と 3/12 となることも確かめられます。

例題4　3つの分数をまとめて通分します

5/6 – 1/4 + 1/3 を計算しましょう。たし算とひき算だけが並び、かっこはないので、ここでは左から順に進めます。ひく数とたす数を読み違えないよう、通分した後にも計算の記号をそのまま書きます。

1. 6、4、3の公倍数を探し、共通の分母を12に決めます。6の倍数のうち、12は4でも3でも割り切れるからです。
2. 5/6 = 10/12、1/4 = 3/12、1/3 = 4/12 と直します。3つとも同じ大きさの部分になれば、途中で再び通分する必要がありません。
3. 10/12 – 3/12 = 7/12、7/12 + 4/12 = 11/12 と進めます。分母は12のまま、取り除く個数と付け加える個数を順に扱います。
4. 11/12 が約分できないことを確かめます。分子と分母に共通する1より大きい約数がないので、そのまま答えにします。

答え：11/12

この問題では、最初に 1/4 をひき、後でそれより大きい 1/3 をたしています。そのため、最後の答えは最初の 5/6 より大きくなるはずです。5/6 = 10/12 なので、11/12 という答えはその見通しにも合っています。計算の途中を追う確認と、答えの大きさを見る確認を両方使いましょう。

つまずきやすいところと直し方

分母どうしもたしてしまいます

誤った書き方は、1/2 + 1/3 = 2/5 です。どこが違うかというと、半分の部分と3分の1の部分を、同じ大きさでないまま1個ずつとして数えています。さらに、分母を5に変える理由もありません。正しい書き方は、1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 です。

答えの大きさからも点検できます。1/2 に1/3 を加えたのに、2/5 は 1/2 より小さくなっています。難しい言葉を使わず、「半分あったところへ付け足したのに、半分より少なくなるかな」と聞いてみてください。その後で図1に戻り、色の長さを合わせるとどこまで届くかを確かめます。

通分で分母だけを変えてしまいます

誤った書き方は、1/3 + 1/4 = 1/12 + 1/12 = 2/12 です。どこが違うかというと、もとの 1/3 や 1/4 を、もっと小さい 1/12 に取り替えています。正しい書き方は、1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 です。

「分母をそろえる」とだけ覚えていると、分子への操作が抜けやすくなります。1/3 の分母3を12にするには4倍なので、分子1にも4をかけます。分母の下だけに計算を書くのではなく、分子側にも同じ「× 4」を書き添える練習ができます。細かく分けた分だけ個数が増え、元の長さが保たれることを図と結びつけましょう。

くり下げたのに整数を減らし忘れます

誤った書き方は、2 と 1/4 – 3/4 = 2 と 5/4 – 3/4 = 2 と 1/2 です。どこが違うかというと、1/4 に整数1に当たる 4/4 を加えたのに、整数部分を2のまま残しています。その結果、ひき算なのに答えがもとの数より大きくなっています。

正しい書き方は、2 と 1/4 – 3/4 = 1 と 5/4 – 3/4 = 1 と 2/4 = 1 と 1/2 です。図3のように、2本ある整数の帯のうち1本を4等分して分数側へ移すと、整数として残す帯は1本です。移した 4/4 と、もとからあった 1/4 の計5個から3個を取り除きます。

図3では、赤い斜線が取り除く 3/4、緑が残る部分です。残りは、整数の1本と小さな部分2個になります。「分数を増やしたら、どの整数を使ったのかな」と図を指して尋ねると、式のどこを直すかが見つけやすくなります。

くり上がりでも、分数部分から取り出した1を整数部分へ加え忘れることがあります。たとえば例題2の 17/12 を 5/12 にしただけでは、12/12 の分が消えています。整数側と分数側の間で1を移すときには、増える側と減る側を必ず対で確認しましょう。

練習問題

次の4問を、通分した形が残るように解いてみましょう。暗算で答えが出る場合も、初めのうちは共通の分母を一度書きます。帯分数の問題では、整数と分数を分けても、仮分数に直しても構いません。

練習1

2/3 + 1/6 を計算しましょう。分母を6にそろえるとき、どちらの分数を書き直す必要があるかも確かめてください。

練習2

5/6 – 1/3 を計算しましょう。ひき算の後に約分できるかを調べ、答えを簡単な分数に直してください。

練習3

2 と 5/6 m のひもから、1 と 1/4 m を切り取ります。残りは何 m でしょうか。通分した後にくり下がりが必要かを、自分で判断してみましょう。

練習4

1 と 1/6 – 3/4 + 2/3 を計算しましょう。3つの分数を同じ分母にそろえてから、左から順に計算してください。

答えと解説

練習1の答えは 5/6 です。2/3 = 4/6 と直すと、4/6 + 1/6 = 5/6 になります。もとの 2/3 より大きく、1より小さい答えです。1/6 のほうはすでに共通の分母なので、そのまま使います。

練習2の答えは 1/2 です。1/3 = 2/6 と通分し、5/6 – 2/6 = 3/6 と計算します。3/6 は分子と分母を3で割って 1/2 に約分できます。分母はひかず、残る部分の個数だけを求める点が要所です。

練習3の答えは 1 と 7/12 m です。5/6 = 10/12、1/4 = 3/12 とすると、整数部分は 2 – 1 = 1、分数部分は 10/12 – 3/12 = 7/12 です。分数部分がそのままひけるため、くり下がりは必要ありません。帯分数のひき算でも、毎回整数から1を移すわけではありません。

練習4の答えは 1 と 1/12 です。1 と 1/6 = 7/6 = 14/12、3/4 = 9/12、2/3 = 8/12 と直します。14/12 – 9/12 = 5/12、5/12 + 8/12 = 13/12 となり、これを帯分数で表します。最後のたし算で1をこえるので、分子だけを見て 1/12 としないようにします。

答えが合わなかった場合は、すべてを最初から消す前に、通分の行を比べてみましょう。通分が合っていれば、次は分子の計算、次は約分や帯分数への直し方を確認します。一度に直す場所を広げず、最初に違った行を見つけると、必要な練習を選べます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

分数のたし算とひき算は、長さやかさの合計・差を求めるだけでなく、後に複数の計算が混ざった式を扱うときにも使います。分数のかけ算やわり算では計算の決まりが異なりますが、帯分数を仮分数に直すことや、約分して答えを整えることは引き続き必要です。「今は何の計算をしているか」を先に確かめる習慣が、決まりの混同を減らします。

家庭では、次の2つをそれぞれ5分ほどで試せます。速さを測るのではなく、手元の図や途中式を指しながら説明できるかを見てください。

1. 同じ長さの紙の帯を2本用意し、両方を6等分します。1本の半分と、もう1本の3分の1を色で示し、それぞれ何区切りかを尋ねます。3区切りと2区切りをつなげたら、1本分をこえるかどうかも話してみましょう。
2. 例題3の途中式を見せ、整数の3が2になった場所を指します。「なくなった1はどこにあるかな」と聞き、12/12 として分数側に移ったことを説明してもらいます。言葉が出なければ、整数1の帯を12等分して指で数えます。

個別指導で途中式を確かめる際には、通分で止まるなら公倍数と等しい分数へ、くり下がりで止まるなら整数1と分数の関係へ戻ります。計算全体を一から繰り返す前に、どの書き直しで量のつながりが見えなくなったかを確認します。

まとめ

図書館の机で止まっていた鉛筆が動き出すきっかけは、「分母をそろえる」という指示だけとは限りません。帯を同じ大きさに分け直し、その何個分かを自分で数えられると、途中式の数字に意味が生まれます。整数から移した1の行き先まで図で指せれば、帯分数の計算も一続きの操作として読めます。

間違えた答えを消す前に、元の量と等しいまま書き直せているかを見直してみてください。分数のたし算ひき算の確かさは、同じ大きさの部分を、過不足なく数えた途中式に表れます。