【小5算数】四角形と三角形の面積を図解で総まとめ—平行四辺形・三角形・台形・ひし形｜武蔵野個別指導塾

ななめの辺と高さを見分け、平行四辺形・三角形・台形・ひし形の面積を考えます。切って動かす図と花だんの例題から、公式に使う長さを自分で選べるように練習しましょう。

よくあるのは、工作用の色紙を広げた居間の床で、ななめに切った紙を見ながら「面積を出すには、どの長さをかけるのだろう」と手が止まる場面です。長方形なら縦と横をすぐに選べても、平行四辺形になると、ななめの辺を使いたくなります。三角形や台形が並ぶと、どの公式で2でわるのかも迷いやすくなります。

そんなときは、公式の言葉を急いで思い出す前に、紙を切ったり同じ形を並べたりする様子を考えます。知らない形を、面積の求め方を知っている形へ変えるのです。形が変わっても広さが変わらないことや、同じ形が2枚なら広さも2倍になることが出発点になります。

ここでは、底辺と高さを自分で選び、4種類の図形の面積を求めます。公式の理由までたどると、向きが変わった図や高さが外側にある図にも、落ち着いて取り組めます。

この単元で身につけること

• 面積を知っている形に直します。切って移したり、同じ図形をもう1枚並べたりして、長方形や平行四辺形とのつながりを見つけます。
• 底辺に対応する高さを見つけます。見た目の上下ではなく、選んだ底辺と垂直になっている長さを確かめます。
• 平行四辺形・三角形・台形・ひし形の公式を使います。式の数が図のどの部分を表すのか、指でたどれるようにします。
• 面積の単位を正しく書きます。長さのcmと広さのcm²を区別し、計算前に長さの単位をそろえます。
• 底辺を固定したときの変わり方を調べます。高さが2倍、3倍になると面積も2倍、3倍になる関係を、式と表で確かめます。

これまでに学んだ長方形の「縦 × 横」と正方形の「1辺 × 1辺」が土台です。新しい公式を別々に覚えるより、前に求められた形へ戻す道筋を持ちましょう。多くの教科書では、この内容を5年生で学びます。

基本の考え方

面積は広さ、高さは垂直な長さです

面積は、図形の内側の広さです。1辺が1cmの正方形の面積を1cm²といい、その正方形がいくつ分あるかで広さを表します。周りの辺の長さを全部たしたものは周りの長さで、面積とは別の量です。周りをひもで囲む場面と、内側を色紙でおおう場面を思い浮かべると区別できます。

平行四辺形は、向かい合う2組の辺がそれぞれ平行な四角形です。1つの辺を底辺に選んだとき、その辺と向かい合う辺の間を垂直に測った長さが高さです。ななめの辺の長さではありません。底辺を机の面に重ねたつもりで、そこからまっすぐ離れている長さを探します。

図1の左の平行四辺形は、底辺が6cm、高さが4cmです。左の三角形を点線で切り、右の空いたところへ移すと、右の長方形になります。図1では移した部分を橙色にしています。紙を重ねたりすき間を作ったりしていないので、面積は同じです。

できた長方形の横は元の底辺、縦は元の高さです。だから平行四辺形の面積は「底辺 × 高さ」で求められます。図1なら6 × 4 = 24で、24cm²です。ななめの辺をかけない理由は、変形した長方形の縦に当たるのが、垂直に測った高さだからです。

三角形・台形・ひし形も知っている形へ直します

三角形では、1つの辺を底辺にすると、その辺と向かい合う頂点から、底辺の直線へ垂直に引いた線の長さが高さです。同じ三角形をもう1枚用意して向きを変え、対応する1組の辺を合わせると、平行四辺形を作れます。その底辺と高さは元の三角形と同じなので、三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」です。2でわるのは、2枚分の面積を1枚分へ戻すためです。

台形は、向かい合う1組の辺が平行な四角形です。平行な2辺を上底と下底といい、この2辺の間を垂直に測った長さを高さといいます。上底が必ず短いとは限りません。同じ台形をもう1枚、半回転させて横につなぐと、底辺が「上底 + 下底」、高さが元の台形と同じ平行四辺形ができます。台形の面積は「(上底 + 下底) × 高さ ÷ 2」です。例題3で図を使って確かめます。

ひし形は4つの辺の長さが等しい四角形です。向かい合う頂点どうしを結ぶ線を対角線といい、ひし形の2本の対角線は垂直に交わり、互いを半分に分けます。ひし形を囲むように、縦と横がそれぞれの対角線と同じ長さの長方形をかくと、長方形の四隅に三角形ができます。対角線で分けた内側の4つの三角形は、四隅の三角形とそれぞれ同じ形・同じ大きさです。

つまり、ひし形はその長方形の面積の半分です。面積は「一方の対角線 × もう一方の対角線 ÷ 2」で求められます。ここで使うのは、交わった点までの半分の長さではなく、頂点から頂点までの対角線全体の長さです。

底辺を決めたまま高さを変えるとどうなるでしょう

底辺が6cmの三角形で、高さだけを変えて考えます。次の表は、それぞれ6 × 高さ ÷ 2で求めたものです。

高さが2倍、3倍になると、面積も2倍、3倍になります。この関係を「面積は高さに比例する」といいます。平行四辺形でも底辺を固定すれば同じ関係になります。ただし、底辺まで変えると高さだけでは比べられません。「何を変えずに調べるか」を先に決めることが必要です。

例題で解き方を確かめる

例題1　平行四辺形の高さを選ぶ

底辺が8cm、高さが4cm、ななめの辺が5cmの平行四辺形があります。面積を求めましょう。3つの長さがあっても、全部を式に使う必要はありません。

1. 底辺の8cmと垂直に測った高さの4cmを組にします。公式が必要としているのは、この2つの長さだからです。
2. 平行四辺形の面積の公式に当てはめ、8 × 4と書きます。ななめの辺の5cmは、長方形に直したときの縦の長さにはならないので使いません。
3. 8 × 4 = 32と計算し、面積の単位を付けます。cmどうしで求めた広さなので、単位はcm²です。

答え：32cm²です。

8 × 5としてしまった場合は、かけ算をやり直す前に、4cmと5cmがそれぞれどこを測っているかを見直します。図の中の数が多いときほど、底辺と高さに印を付けるひと手間が役立ちます。

例題2　三角形の高さを面積から求める

面積が24cm²、底辺が8cmの三角形があります。高さは何cmでしょうか。求めたい高さが書かれていないので、面積を求める道筋を逆にたどります。

1. 同じ三角形2枚分の面積を考え、24 × 2 = 48とします。三角形の公式で2でわる前の、平行四辺形の面積に戻すためです。
2. その平行四辺形の底辺は8cmなので、48 ÷ 8 = 6とします。「底辺 × 高さ」の積から底辺でわると、高さが求められます。
3. 求めた高さを使い、8 × 6 ÷ 2 = 24と確かめます。最初に示された面積に戻れば、逆にたどった計算が合っています。

答え：6cmです。

24 ÷ 8だけでは3となり、本当の高さの半分になります。求めた数を元の公式へ入れ直すと、2倍する手順を忘れていないか、自分で確かめられます。

例題3　台形の花だんの面積を求める

台形の花だんがあります。平行な2辺の長さは4mと8m、その2辺の間を垂直に測った長さは3mです。花を植える部分は花だん全体とすると、その面積は何m²でしょうか。

図2の左側の青い台形が花だんの形です。合同な台形を半回転させて橙色の位置へ置くと、2枚で平行四辺形になります。上と下の長い辺は、どちらも4mと8mを合わせた12mです。

1. 上底と下底をたし、4 + 8 = 12とします。図2の2枚分の平行四辺形の底辺を求めるためです。
2. 12 × 3 = 36と計算します。高さは台形のときと変わらないので、これで2枚分の面積が求まります。
3. 36 ÷ 2 = 18とします。花だんは台形1枚分であり、求めた36m²の半分だからです。

答え：18m²です。

1つの式にまとめると、(4 + 8) × 3 ÷ 2 = 18です。かっこは、2辺をたしてから高さをかける順番を示します。4mと8mをかけるのではなく、まず横に並んだ長さとしてたす点を、図と照らし合わせましょう。

例題4　ひし形の紙の面積を求める

2本の対角線が10cmと6cmのひし形の紙があります。面積を求めましょう。辺の長さは示されていませんが、対角線の長さがそろっていれば計算できます。

1. 対角線全体の長さが10cmと6cmであることを確かめます。交点から頂点までの長さと取り違えないためです。
2. 10 × 6 = 60とします。ひし形を囲む、縦と横が対角線と同じ長さの長方形の面積を求めています。
3. 60 ÷ 2 = 30とします。ひし形の内側と長方形の四隅の部分は同じ面積なので、長方形の半分を取ります。

答え：30cm²です。

ひし形も平行四辺形の仲間なので、底辺とそれに対応する高さがあれば「底辺 × 高さ」でも求められます。与えられているのが辺と高さなのか、2本の対角線なのかで、使う公式を選びます。

つまずきやすいところと直し方

ななめの辺を高さとして使ってしまう

間違った書き方は、例題1で「8 × 5 = 40cm²」とすることです。5cmの辺は底辺に垂直ではないので、高さの代わりには使えません。正しい書き方は「8 × 4 = 32cm²」です。底辺を決めたら、三角定規の直角の部分を合わせるつもりで、高さの線を探します。

図3のように、高さが三角形の外側に出ることもあります。底辺を右へ延ばし、頂点から垂直に下ろした赤い線が4cmの高さです。底辺の6cmに、延ばした部分の3cmをたす必要はありません。

図3で「(6 + 3) × 4 ÷ 2 = 18cm²」とすると、元の三角形より広い部分まで数えてしまいます。正しくは「6 × 4 ÷ 2 = 12cm²」です。底辺の延長は高さを測るための線であり、底辺そのものを長くしたわけではありません。

台形で2でわることを忘れる

間違った書き方は、例題3で「(4 + 8) × 3 = 36m²」とすることです。この式が表しているのは、図2の青と橙を合わせた2枚分です。計算が合っていても、求める部分が違っています。

正しい書き方は「(4 + 8) × 3 ÷ 2 = 18m²」です。「2でわる公式だから」とだけ覚えるより、図のどこまでを数えたかを確かめましょう。同じ理由で、三角形でも同じ形を2枚使って求めた後は、1枚分に戻します。

長さの単位をそろえずに計算する

底辺が2m、高さが50cmの平行四辺形で、「2 × 50 = 100cm²」とするのは間違いです。mとcmがまざっていて、同じ長さの単位で面積を数えられていません。

正しくは2mを200cmに直し、「200 × 50 = 10000cm²」とします。あるいは50cmを0.5mに直して「2 × 0.5 = 1m²」としても同じ広さです。1m²は100cm × 100cm = 10000cm²なので、1m = 100cmの100だけで換算しないようにします。

練習問題

式を書く前に、使う長さを選びましょう。高さを求める問題と面積を求める問題では、答えの単位も違います。答えを見ずに解いてから、式の意味を確かめてください。

練習1

底辺が9cm、高さが4cm、ななめの辺が5cmの平行四辺形の面積を求めましょう。

練習2

底辺が10cm、面積が35cm²の三角形の高さを求めましょう。また、底辺を変えずに高さを2倍にしたときの面積も求めましょう。

練習3

上底が3cm、下底が7cm、高さが4cmの台形の面積を求めましょう。

練習4

2本の対角線の長さが8cmと5cmのひし形の面積を求めましょう。

答えと解説

練習1：36cm²です。9 × 4 = 36となります。5cmはななめの辺で、高さではありません。

練習2：高さは7cm、変えた後の面積は70cm²です。35 × 2 ÷ 10 = 7で高さを求めます。底辺が同じなので、高さを2倍にすると面積も35 × 2 = 70となります。

練習3：20cm²です。(3 + 7) × 4 ÷ 2 = 20となります。平行な2辺をたしてから、高さをかけます。

練習4：20cm²です。8 × 5 ÷ 2 = 20となります。使うのは2本の対角線の全体の長さです。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

面積の求め方は、角柱の体積で底面の面積を求めるときにも使います。また、底辺を固定して高さと面積を比べる考え方は、比例の学習につながります。何を変えずにおくかを言葉にする練習にもなります。

家庭では、5分ほどで2つの確かめ方ができます。1つ目は、長方形の紙を対角線で切り、2つの三角形を重ねることです。同じ形で、それぞれ元の半分の面積だと確かめます。2つ目は、方眼紙に同じ底辺を持つ三角形をかき、頂点を底辺と平行な線の上で横に動かすことです。高さが同じなら、形が変わっても面積は同じです。

個別指導では、お子さまが高さを選べない場合、公式の暗記へ進む前に、直角の見つけ方や長方形の面積まで戻って確かめます。式に使った長さを図で指せるかも確認します。

まとめ

面積の問題で手が止まったら、図に線を1本加えてみましょう。底辺を延ばす線、垂直な高さの線、切って移すための線には、それぞれ役目があります。答えが出た後も、式の数を図に戻して指せれば、見た目に引っぱられずに考えられています。

公式を思い出せない日でも、長方形に直す道筋や、同じ形を2枚並べる方法は手元に残せます。高さは、ななめの辺の長さではなく、選んだ底辺から垂直に測った長さです。