共通テスト情報I 欠損と外れ値—値を除く前に記録の条件と分析目的を確かめる｜武蔵野個別指導塾

空欄と0の違いを表で追い、極端な記録を残す場合と除く場合の平均を比べて、判断の対象は欠損と外れ値です。

よくあるのは、高校生が集めた記録の空欄を全部0に置き換えて平均を出すという場面です。0回という回答と、回答が記録されなかった状態は同じではありません。空欄の理由を調べずに数値を入れると、計算はできても、何を平均したのかが変わります。大きく離れた値を見つけたときも、消す前にその値が生まれた条件を確かめます。

表のどこを判断するか

出方の一つは、空欄を含む表から、記録された値の平均を求める型です。対象の人数と、値が記録された人数を区別し、指定された分母を使います。0は実際に0と記録された値なら数に含めます。空欄は数値が得られていないので、記録済みの値の平均を求める際には分母にも加えません。

もう一つは、周囲から離れた値について、入力誤りと実際の測定値を区別する型です。値が大きいという事実だけでは、誤りとも正しい記録とも決められません。元の記録や測定条件を照合し、分析目的に照らして残すか、理由を示して別に集計するかを考えます。

さらに、除外前後の平均を比べ、その違いから言える範囲を選ぶ型があります。平均の変化は、処理方法による結果の違いを示します。それだけで、除外後の方が常に正しいとか、空欄の人も同じ傾向だとかは言えません。以下の表は学習のための自作データです。

空欄と離れた値に付ける印

欠損は、本来記録したい項目の値が得られていない状態です。未回答、記録漏れ、測定できなかった場合などが考えられますが、空欄だけからその理由は決まりません。0は数値として記録された結果です。たとえば利用回数が0なら、利用しなかったことを表します。欠損を0にするには、空欄が本当に利用なしを意味するという別の根拠が必要です。

外れ値は、他の値から大きく離れた値を指します。離れ方をどう判定するかは問題の条件によります。ここでは目立つ値を調べる対象とし、機械的に除外する基準は設けません。図1のように、空欄と数値をまず分け、数値が離れていれば記録の条件をたどります。

図1の空欄は、理由を調べる前に0へ変換しません。記録値に0があれば、それは数値の側に置きます。離れた値についても、入力ミスと確認された場合は元資料に基づいて訂正し、元の値が特定できなければそのことを明示します。実測と確認された値を分析対象から外すなら、その理由と影響を示す必要があります。

平均を比べるときは、合計と件数を組にして書きます。片方の集計で値を除いたら、合計からその値を引くだけでなく、件数も1減らします。全件が欠損なら記録済み件数は0です。0で割れないため、記録済みの値の平均は求められません。平均を0と書くのではなく、値がないことを伝えます。

基本例題：活動時間の空欄

5人の活動時間を分単位で記録したところ、順に0、10、20、空欄、30でした。0は活動しなかったという回答で、空欄の理由は不明です。記録された時間の平均を、分を単位とする整数で求めてください。また、空欄を根拠なく0にした場合の平均も整数で求め、違いを説明してください。

図2のように、最初に0を含む数値4件と、数値のない1件を分けます。合計は0と10と20と30を足して60分です。記録済みの平均は60を4で割り、15分です。0分の人も記録済みなので、分母から外しません。

図2で空欄に0を入れた場合は合計が60分のまま、分母だけが5になります。平均は60を5で割って12分です。この12分は、空欄の人が0分だったと仮定した計算結果です。元の表だけではその仮定を確かめられず、15分も空欄の人を含む5人全員の実際の平均とは言えません。

手順を戻して点検します。記録済みの4人には0、10、20、30があり、4件の合計が60分です。15分を4件分に戻すと60分なので、分母と合計が対応します。仮に空欄の人が20分だったなら、全員の合計は80分、平均は16分です。未知の値によって全員の平均は変わるため、空欄を埋める前の情報不足を答えに残します。

数値が0であることと、値がないことを読み違えると、合計が偶然同じでも件数が変わります。問題が「記録された値の平均」を求めるのか、「空欄を0とみなした平均」を求めるのかで、計算の対象を選び直してください。後者が問題の明示的な条件なら、その条件の下で計算できますが、元の観測値が0だと判明したことにはなりません。

少し難しい例題：長い待ち時間を残すか

ある受付の待ち時間を5回測り、分単位で4、5、6、5、30と記録しました。30分の日は受付が一時停止していたことが記録から確認されています。目的は、停止日を含む実際の5回の平均と、停止しなかった4回の平均を比較することです。それぞれ分を単位とする整数で求め、30分の扱いを説明してください。

5回の合計は4、5、6、5、30を足して50分です。停止日を含む平均は50を5で割り10分です。停止しなかった4回の合計は20分、平均は20を4で割り5分です。図にすると30分が離れて見えますが、記録された停止日の実測値なので、入力誤りとして消す根拠にはなりません。

目的が通常の稼働日に限った待ち時間の把握なら、停止日を区別した4回の平均には意味があります。一方、停止も含めて実際に経験した待ち時間を知りたいなら、5回の平均が目的に対応します。両方の値と対象を並べれば、除外で平均が10分から5分へ変化したことが伝わります。どちらの平均も、他の日の待ち時間を保証するものではありません。

元の表へ戻すと、5回分の合計50分から停止日の30分を除けば20分で、残る行は4行です。逆に20分に30分を加えれば50分、4回に1回を加えれば5回です。この往復で、値だけを引いて分母を5のままにする誤りを防げます。もし30が転記ミスだと後から確認された場合も、正しい値が判明したかどうかで対応は変わります。根拠なく別の数に書き換えず、元資料と訂正の理由を残します。

誤答から分母へ戻る

基本例題で「0も空欄も活動なしとして、10、20、30の3件の平均は20分」と答えたとします。この答えは2つの状態を混同し、実際に記録された0分を分母から落としています。空欄に0を入れた場合の平均ですら、5件で割るので12分です。20分は、0分と空欄の両方を除いた別の対象の平均です。

図3のように誤答の分母3を元の行へ戻し、記録済みの0を加えて4件に直します。合計は60分のまま、平均は15分です。0は足しても合計を変えませんが、記録済みの件数は増やします。

図3の修正後も、空欄は4件に含まれません。別の誤りとして、欠損を除いて得た15分を5人全員の平均と呼ぶことがあります。分母の4が指す相手を言葉で添えると、その飛躍に気づけます。また、外れた30分を見ただけで削った場合は、元の記録に戻り、停止日の実測か入力誤りかを調べます。調べても判明しない場合は不明と残し、両方の集計を示すことで判断の影響を確認できます。

処理の選択を説明するときの注意

空欄の扱いは、平均を計算する直前だけの問題ではありません。表を作った時点で「回答なし」と「0」を同じ記号にしてしまうと、後から両者を分けられなくなります。元の記録を残し、集計用の表でどの行を対象にしたかを示すと、後から計算をたどれます。たとえば記録済みの件数が少ないときには、平均と一緒にその件数を示します。平均だけでは、何人分の値から計算したかが伝わらないからです。

欠損の理由が特定の条件と関係している可能性もあります。活動時間の表で、長時間活動した人が忙しくて記入しなかった場合と、記録用紙を無作為に紛失した場合とでは、空欄の解釈が変わり得ます。どちらだったかは空欄そのものからは判定できません。理由を想像して補うのではなく、記録の取り方を確認し、得られた範囲に限って結果を述べます。

外れた値の確認でも、元資料を調べた結果によって手順が分かれます。単位の転記を誤ったとわかり、正しい値も元資料で確認できるなら、訂正した値で集計し、訂正前の記録と理由を残します。誤りだとはわかっても正しい値が不明なら、適当な値を作ることはできません。その行をどう扱ったかを明示し、集計対象の件数を更新します。実測と確認された場合は、その値が対象の条件に合うかを別に考えます。

確認できなかった場合にも、必ず除外するという決まりはありません。たとえば停止の有無がわからない待ち時間なら、停止しなかった回だけの平均にその行を入れるかどうかは決められません。全記録の平均と、条件が確認できた行の平均を別々に示し、後者に含めなかった理由を述べる方法があります。ただし、その2つの差を停止の影響だけと断定することはできません。対象の行が異なるため、他の条件も同時に変わり得るからです。

問題文に処理方法が指定されているときは、まずその条件どおりに計算します。その上で解釈を問われたら、処理によって何が失われたか、どの集団について述べているかを確認します。指定のない処理を勝手に追加すると、正しい算術でも別の問いの答えになります。計算後にも対象を見直します。表の各行に「記録あり」「欠損」「条件を確認中」のような印を付けてから、合計と件数を書き出すと、選んだ行を点検しやすくなります。

自分で確かめる4問

次の値はそれぞれ独立した自作の記録です。平均は指定の対象について求め、分数の場合は約分して答えてください。

1. 読書冊数の記録が2、0、4、空欄の4人です。0は実際の回答で、空欄の理由は不明です。記録済みの3人の平均を冊単位の整数で求めてください。
2. 水の使用量が3、6、9、18リットルです。18は入力誤りではなく実測です。全4件と、18を除いた3件の平均をそれぞれリットル単位の整数で求めてください。
3. 3人の測定値がすべて空欄です。記録済みの値の平均を0と答えてよいでしょうか。理由も述べてください。
4. 来場回数が1、空欄、5の3人です。記録済みの平均と、空欄を0と仮定した平均を回単位で求めてください。後者は分数で答え、2つの平均が指す対象を述べてください。

答えと戻し方

1. 2冊です。2と0と4の合計6冊を、記録済みの3人で割ります。元の表に戻ると、0冊の行を含めて3行あり、平均2冊を3人分にすると6冊です。空欄を0と仮定して4人で割る計算とは区別します。

2. 全4件は9リットル、18を除く3件は6リットルです。全体の合計36を4で割り、除外後は合計18を3で割ります。除外後の3行は3、6、9で、合計18です。18を加えると元の36に戻ります。実測の18を誤りと決めず、どの目的で除くのかを明示します。

3. 答えてはいけません。記録済みの件数が0なので、その値の合計を件数で割る平均は定義できません。0という測定結果が3件あった場合とは異なります。元の3行を見ても数値は1件もないため、0を平均として補う根拠はありません。

4. 記録済みの平均は3回、0と仮定した平均は2回です。1と5の合計6を、それぞれ2と3で割ります。前者は数値のある2人の平均、後者は空欄の人を0回と仮定した3人の平均です。元の表の数値2件を再確認し、仮定を実測の結果と取り違えないようにします。

覚えておくこと

欠損と記録された0を分け、平均の分母を対象に合わせます。
離れた値は記録の条件を調べ、誤りか実測かを判断します。
除外の前後で合計、件数、平均と対象を並べます。

どこで迷ったかを見分ける

個別指導で確かめるなら、答えの数字だけでなく、元の表に印を付けてもらいます。0の行を数えたか、空欄をどの分母に入れたかを尋ねれば、計算の誤りと対象の取り違えを分けられます。離れた値を除いたときは、その行に記された測定条件と分析目的まで戻ります。根拠が不明なままなら不明と残し、除外前後を比べることが判断の出発点です。