中1定期テスト 数学の比例と反比例—範囲表の式と表とグラフを行き来して直す｜武蔵野個別指導塾

比例では商、反比例では積を調べ、表の値を座標へ移す自作問題で式とグラフの対応をたどります。

よくあるのは、範囲表には反比例まであるのに比例だけ復習したという場面です。まず範囲表を開き、比例と反比例のどこまでが指定されているかを見ます。次にワークの指定範囲と提出条件を照合し、表の空欄やグラフの作図を残していないか調べます。小テストが返っていれば、誤った式や座標に印を付けてから、その型を復習します。比例を解けたことと、反比例も解けることは別に確認しましょう。

範囲表を整理するときは、1学期・2学期・3学期それぞれの欄に、実際に指定された単元、ワークの範囲、小テストで落とした型、提出条件を転記します。例えば反比例が指定された欄に、積を求め損ねた小テストの問題と、表の空欄を埋めるワークの範囲を並べます。2学期制なら前期・後期の欄で同じように整理します。どの学期に何を学ぶかは学校の指定で確かめます。学習範囲の照合には、文部科学省の中学校学習指導要領の中学1年の数学に比例と反比例が含まれることを使えます。

式、表、グラフのどこから問われるか

出方は大きく3つに分けられます。1つ目は、対応するxとyの値から式を求める型です。比例ならyをxで割り、反比例ならxとyを掛けて、変わらない数を探します。どちらかを先に決める条件があるかを問題文で確かめます。

2つ目は、式から表の空欄を埋める型です。xの値を式に代入してyを求める問題と、yの値からxを探す問題があります。負の値や分数も範囲にあれば、符号や割り算を途中に残します。ワークで指定された表の行と列を指で追うと、違う組の値を使う取り違えを防げます。

3つ目は、座標を読み、グラフに点を取る型です。横軸がx、縦軸がyです。比例のグラフは原点を通る直線、反比例のグラフは2つの部分に分かれる曲線です。範囲表にグラフが含まれるなら、式を出して終わらず、点を打つところまで練習します。授業で扱った座標の範囲や、グラフに求められる作業をワークでも確認しましょう。

変わらない数を見つける

yがxに比例するとは、決まった数aを使ってy = axと表せることです。aを比例定数と呼びます。xが0でなければa = y ÷ xです。例えばy = 3xでは、xが2ならyは6、xが4ならyは12です。xが2倍になるとyも2倍になり、対応する組でy ÷ xはどちらも3です。xが0のときはyも0ですが、0 ÷ 0で比例定数を求めることはできません。0でないxの組を使います。

yがxに反比例するとは、0でない決まった数aを使ってy = a ÷ xと表せることです。ここでもaは比例定数と呼ばれますが、求め方はx × yです。例えばy = 12 ÷ xでは、xが2ならyは6、xが4ならyは3です。xが2倍になるとyは1/2倍になり、積はどちらも12です。x = 0では割れないため、反比例の表やグラフにx = 0の点はありません。

図1のように、同じ組のxとyを使い、比例は商、反比例は積を調べます。表のいくつかの組で値が合うことを確認し、問題で比例または反比例と条件が与えられているかも読みます。限られた表の値だけから、表にないすべての値でも必ず同じ関係だと決めることはできません。

図1の表では、比例の行の商は3、反比例の行の積は12です。どちらもx = 2ではy = 6ですが、1組が同じでも関係は区別できません。次の組まで見れば、増え方の違いを式と結びつけられます。負の値でも同じ規則を使います。比例定数が負の比例ではxが正のときyは負、反比例定数が負の反比例でもxとyの符号は異なります。

表を点検するときは、横に並んだ数の増え方だけで判断しないことも大切です。たとえばxが1、2、3のときyが4、8、12なら、対応する商は4で、y = 4xに合います。xが1、2、3のときyが12、6、4なら、対応する積は12で、y = 12 ÷ xに合います。どちらの表も一部の値が整数ですが、整数になるかどうかは判定の基準ではありません。式を使うときは表に書かれた範囲を越える値にも、問題の条件が適用されるかを確かめます。

グラフの目盛りが1ずつとは限らないので、点を打つ前に隣り合う目盛りの差を読みます。縦軸と横軸で間隔が違っていても、各軸の数値を別々に読み取れば座標にできます。点を取る順番は、まず横の値へ進み、その位置から縦の値へ進む方法が明確です。点が軸のどちら側にあるかも、正負の符号と照らします。線を引いた後は、読み取った点を式に代入して、式が示す関係に合うか確認できます。

ワークに解答欄が小さく、途中式を残しにくい場合は、別の紙に対応するxとy、選んだ式、代入を順に書いてみます。間違えた後は、最初から消さずに、どこで別の組を参照したか、どの計算で符号が変わったかを確認します。提出にあたっては学校からの指示に従い、指定された欄に必要な答えを書き戻します。説明できなかった箇所は、もう一度同じ型で確かめます。

基本例題：表から式と点へ

自作の問題です。yはxに反比例し、x = 2のときy = 8です。比例定数を整数で求め、yをxの式で表してください。またxが-4、-2、1、2、4のときのyをそれぞれ整数で求め、座標を整数の組で書いてください。

反比例なのでy = a ÷ xと置きます。与えられたx = 2、y = 8を使い、積からaを求めます。

a = x × y
  = 2 × 8
  = 16
y = 16 ÷ x

式にxを1つずつ代入します。負の数で割ったときの符号にも注意します。

x = -4のとき y = 16 ÷ (-4) = -4
x = -2のとき y = 16 ÷ (-2) = -8
x = 1のとき y = 16 ÷ 1 = 16
x = 2のとき y = 16 ÷ 2 = 8
x = 4のとき y = 16 ÷ 4 = 4

座標は横の値を先に書くので、(-4, -4)、(-2, -8)、(1, 16)、(2, 8)、(4, 4)です。図2のように表の各列を1組ずつ点に移します。点の並びを見ると、正のxの側では右に進むにつれてyが小さくなります。負のxの側にも別の部分があります。点を直線で結ぶと反比例の形を表せません。

図2の曲線は、求めた点を通る反比例のグラフです。軸に近づいてもx = 0では式が使えず、y = 0となるxもありません。目盛りの読み違いを避けるには、点を打つ前に横へいく数と縦へいく数を分けて読み上げます。負の座標では、原点から左へ進むか下へ進むかも確認します。

答えを元の条件に戻します。比例定数16を使うと、x = 2でy = 16 ÷ 2 = 8となり、与えられた値に戻ります。表の各組でも積は16です。たとえば(-2) × (-8) = 16なので、負の組でも条件に合っています。式だけでなく、表と点も同じ組になっているか見直しましょう。

比例か反比例か、条件で分ける

次も自作の問題です。同じ幅の紙テープを使い、長さx cmに対する重さをy gとします。重さは長さに比例し、長さ6 cmのとき重さは9 gです。比例定数と、長さ14 cmのときの重さをそれぞれ分数または整数で求めてください。

長さと重さが比例すると書かれているので、y = axを使います。6 cmに対応する9 gから、a = 9 ÷ 6 = 3/2です。式はy = (3/2)xです。x = 14を代入すると、y = (3/2) × 14 = 21です。答えは比例定数3/2、重さ21 gです。

元の場面に戻すと、式に6を代入した重さは(3/2) × 6 = 9 gで、与えられた組に合います。14 cmは6 cmの7/3倍で、9 gの7/3倍も21 gです。長さを増やしたとき重さが減ると考えて反比例の式にしないようにします。式の形を選ぶ根拠は、数の見た目ではなく、問題文にある関係です。

一方、積が一定になる場面では反比例が使えます。たとえば一定の面積の長方形で、縦と横の長さを変えるなら、縦 × 横はその面積です。どちらも長さが増減する場面ですが、何が一定かが異なります。条件が足りないときは、比例か反比例かを勝手に補わず、わかっている対応を先に書き出します。

誤答を原因から直す

基本例題で、x = 2、y = 8から「a = 8 ÷ 2 = 4、y = 4 ÷ x」と書いたとします。割り算そのものは正しくても、反比例の比例定数に比例の求め方を使っています。図3のように、反比例では対応する値の積を取るところから直します。

図3の修正後はa = 2 × 8 = 16、y = 16 ÷ xです。元のx = 2を誤答の式に戻すとy = 4 ÷ 2 = 2で、与えられた8に戻りません。この戻し方なら、計算が合っていても式の選択が誤っていたと気づけます。

もう1つの誤りは、座標(2, 8)を横に8、縦に2として打つことです。式y = 16 ÷ xにx = 8を入れるとy = 2なので、その点はグラフ上にはあります。それでも求めた組(2, 8)とは別の点です。グラフに乗るかだけでなく、指定された座標を正しい順で打ったかを確認します。

比例のグラフで、原点を通るからといって点を1つも計算せずに任意の直線を引くのも誤りです。原点と、式から求めた原点以外の点を使います。反比例の点を取った後に原点へ線をつなぐ誤りも、x = 0が使えないことを式に戻して直せます。誤答の横に「商」「積」「座標の順」のどこで変わったかを書き、同じ型をもう一度解きます。

自分で確かめる4問

以下はすべて自作の問題です。まず4問を続けて解き、答えを書く形まで整えてから下の解答を読みます。図を使う問題では、座標の順序も答案に残してください。

1. yはxに比例し、x = -3のときy = 12です。比例定数を整数で求め、yをxの式で表し、x = 5のときのyを整数で求めてください。
2. yはxに反比例し、x = 3のときy = -6です。比例定数を整数で求め、yをxの式で表し、x = -6のときのyを整数で求めてください。
3. 次の対応が比例、反比例のどちらの式で表せるかを、それぞれ答えてください。表に示す値以外についても、その式が成り立つものとします。式の比例定数を整数で書いてください。Aは(x, y)が(1, 5)、(2, 10)、(4, 20)、Bは(1, 20)、(2, 10)、(4, 5)です。
4. y = -2xのグラフについて、xが-2、0、3のときの座標を整数の組で書いてください。さらに、その3点を通るグラフが直線か曲線か答えてください。

解答と戻し方

1. 比例なのでa = y ÷ x = 12 ÷ (-3) = -4です。式はy = -4x、x = 5ではy = -4 × 5 = -20です。元のx = -3に戻すと、y = -4 × (-3) = 12となり、与えられた組に合います。符号が負の比例定数でも、xとyの商で求めます。

2. 反比例なのでa = x × y = 3 × (-6) = -18です。式はy = -18 ÷ x、x = -6ではy = (-18) ÷ (-6) = 3です。元のx = 3に戻すと、y = (-18) ÷ 3 = -6です。求めた組でも(-6) × 3 = -18となり、積が一致します。

3. Aは各組のy ÷ xが5なので比例、比例定数は5です。Bは各組のx × yが20なので反比例、比例定数は20です。Aの式y = 5xに4を入れると20、Bの式y = 20 ÷ xに4を入れると5となり、それぞれ示された最後の組にも戻ります。表の他の組も同様に代入して確認します。

4. x = -2ではy = -2 × (-2) = 4、x = 0ではy = 0、x = 3ではy = -6です。座標は(-2, 4)、(0, 0)、(3, -6)で、グラフは直線です。各座標の横の値を式に代入すると縦の値に戻ります。原点と残りの点を結ぶ方向も、横が正なら縦が負になることに合っています。

手元に残す要点

比例はy = axで、0でないxについてa = y ÷ xです。 反比例はy = a ÷ xで、a = x × y、x = 0は使えません。 座標は(x, y)の順に読み、比例は直線、反比例は2つに分かれた曲線です。 求めた式に元の組を戻して、表とグラフも照合します。

どこで止まるかを見分ける

式を立てる前に止まる場合は、問題文の「比例」「反比例」と対応する2つの量を指さしてもらいます。式が立っていて表だけ合わない場合は、同じ列のxとyを使ったか、負の数の計算を追います。表は合うのに図が違う場合は、横軸と縦軸、目盛り、座標の順を点ごとに確かめます。

個別指導で確認するときも、正解を聞くだけでなく、本人が元の条件を使って式を選び、求めた値を戻すまでを言葉にします。保護者がお子さまの提出物を見るときは、範囲表にある反比例の作業がワークにも残っているかを一緒に探せます。提出前には、空欄を埋めた後で、誤答の印が付いた型を条件から説明し直しましょう。式と表とグラフは、対応する1組を手がかりに結び直せます。