中1定期テスト 数学の平面図形—作図の跡と移動の対応をワークで点検する｜武蔵野個別指導塾

補助の弧を残す作図と、移動前後の対応点をたどり、答案の根拠を平面図形で示します。

よくあるのは、作図の小テストで補助の弧を消してしまうという場面です。引いた直線が正しそうに見えても、どの点を中心にコンパスを使ったかが答案から読み取れなくなります。まず学校の範囲表で平面図形の指定を見て、作図と移動のどこまでが対象かを拾います。次にワークの該当箇所と提出条件を照合し、小テストの誤答に印を付けてから、その型を復習します。

整理用の紙に1学期、2学期、3学期の欄を作り、それぞれ実際に指定された単元、ワークの範囲、小テストで落とした型、提出条件を書き移します。前期・後期の学校なら、その2欄で同じように整理します。学期名から作図の範囲を決めず、手元の表を優先してください。文部科学省の中学校学習指導要領の数学第1学年には図形が学習範囲として挙げられています。ここでは平面上の作図と移動を扱い、空間図形は扱いません。

答案に現れる3つの型

1つ目は、線分の両端から等しい距離にある直線を作図する型です。垂直二等分線という名前と、両端を中心に同じ半径で弧を描く操作を結びます。弧の交点を結ぶ直線まで引き、使った弧を残します。

2つ目は、角を2つの等しい角に分ける半直線を作図する型です。頂点から2辺上に等距離の点を取り、その2点から同じ半径の弧を描きます。角の内側の交点と頂点を結ぶ方向が答えです。垂直二等分線と似ていても、最初の中心が角の頂点である点に注意します。

3つ目は、平行移動、回転移動、対称移動で対応する点や線分を探す型です。図形全体の見た目に頼らず、頂点を1つずつ対応させます。ワークでは、作図の跡を残す指示、移動の向きや角度、記号で答える指示に印を付けておきます。範囲表に書かれた型と照らし、未指定の箇所は学校の指示を確認して扱います。

等しい距離を作図の手がかりにする

線分ABの垂直二等分線は、ABの中点を通り、ABに垂直な直線です。その直線上の点はAとBからの距離が等しく、逆にAとBから等距離にある点はその直線上にあります。中点を目盛りで探す代わりに、等距離の点を2つ作って直線を決めます。

図1のように、AとBを中心に同じ半径で弧を描き、交点P、Qを結びます。半径はABの半分より大きくします。半分と同じなら弧は中点で接して交点が1つとなり、直線を決める2点を得られません。半分より小さければ弧は交わりません。開きを広げ、両端から同じ開きで描き直します。

図1ではAPとBPが同じ半径で、AQとBQも同じ半径です。したがってP、QはいずれもAとBから等距離です。PQが求める垂直二等分線になります。弧を消すと、この等距離をどう作ったか追いにくくなります。直線と区別できる程度に弧を残し、交点を正確に通すよう定規を当てます。

角の二等分線でも、等しい長さをコンパスで取ります。角の頂点Oから弧を描き、2辺との交点をC、Dとします。C、Dから同じ半径で描いた弧の角の内側の交点をEとすると、半直線OEが角を二等分します。OCとOD、CEとDEがそれぞれ等しく、OEは共通なので、三角形OCEとODEは対応する3辺が等しく重なります。よって角COEと角EODは等しくなります。角の外側にできる交点と取り違えず、求める角の内側を見ることが必要です。

移動では、平行移動なら各点が同じ向きに同じ距離だけ動きます。回転移動なら、各点が同じ中心の周りを同じ向きに同じ角度だけ動き、中心からの距離は変わりません。対称移動なら、対応する点を結ぶ線分を対称の軸が垂直に二等分します。軸上の点は移動しても元の位置に重なります。いずれも長さや角の大きさは変わりませんが、対称移動では図形の向きが裏返ります。

基本例題：線分から直線を作る

自作の問題です。長さ6 cmの線分ABを引き、定規の目盛りを使わずに垂直二等分線を作図してください。作図に用いた弧は残し、線分ABとの交点をMとします。AMとMBの長さをそれぞれ整数で、単位を付けて答えてください。

図2のように、まずAを中心に、ABの半分より大きい同じ開きで線分の両側に弧を描きます。例えばコンパスの開きを4 cmにします。次に開きを変えず、Bを中心にして先の弧と交わるように両側へ弧を描きます。交点をP、Qとし、定規をP、Qに合わせて直線を引きます。目盛りを使わないという条件は、長さを測って中点を決めないという意味です。4 cmは手順を説明するための例で、実際には半分より大きく交点が2つ取れる開きであれば測る必要はありません。

図2のPではAP = BP、QではAQ = BQです。どちらも同じ開きで描いた弧上にあるからです。したがって直線PQはABの垂直二等分線です。MはABの中点なので、AMとMBは等しく、その和が6 cmです。計算を順に書きます。

6 ÷ 2 = 3

したがってAM = 3 cm、MB = 3 cmです。元の条件に戻すと、3 cmと3 cmの和は6 cmです。またPQはABを直角に横切り、Mで2等分しています。長さの和だけでは垂直かどうかは確かめられないので、作図の弧と直線の関係も見る必要があります。

弧が交わらなかった場合は、線を延ばして交点を作るのではなく、開きを大きくしてAとBの両方から描き直します。片方の弧を描いた後で開きが変わった場合も、等距離という根拠が崩れます。両端を中心とする弧を同じ開きで取り直してください。交点が紙の外に出るほど開いたときは、紙に収まる開きに調整し、両端から描き直します。

一歩進める：移動を点の組で判断する

自作の問題です。直線lの片側に点A、Bがあり、直線lを軸として対称移動した点をそれぞれA、Bに対応するA’、B’とします。Aからlに下ろした垂線の足をHとし、AH = 2 cmとします。A’Hの長さを整数と単位で答え、線分ABに対応する線分を記号で答えてください。さらに別の場合として、AH = 2 cmという条件を外し、Aを軸上に置いたとき、対応する点A’の位置を言葉で答えてください。

対称移動では、軸が対応する2点を結ぶ線分の垂直二等分線になります。したがってHはAA’の中点で、AH = A’Hです。A’H = 2 cmとなります。元の条件に戻すと、AとA’は軸の反対側にあり、軸からそれぞれ2 cmです。AA’は軸と垂直に交わり、Hで2つの2 cmに分かれます。

Aに対応するのはA’、Bに対応するのはB’なので、線分ABに対応するのは線分A’B’です。端点の対応を先に決めれば、図が傾いていても迷いにくくなります。Aが軸上にある場合はAとA’が重なります。軸までの距離が0で、反対側に離れた点を新たに取る必要がないためです。

分かれ目は、移動の種類と、軸からの距離を測る方向です。軸に斜めに引いた線の長さを使うと、軸がAA’を垂直に二等分する条件を満たせません。回転移動では中心からの距離を保ちますが、対称移動は軸への垂線を使います。問題に書かれた軸や中心を先に印で区別すると、別の操作を混ぜずに済みます。

誤答の跡から操作を直す

線分ABの垂直二等分線の作図で、Aから半径4 cm、Bから半径5 cmの弧を描き、その交点を結んだ答案を考えます。見た目にはABを横切る線が引けても、交点はAから4 cm、Bから5 cmです。AとBから等距離という条件を満たさないため、求める直線とは言えません。原因は、2回目にコンパスの開きを変えたことです。

図3のように、修正するときは同じ開きにそろえ、両端から弧を描き直します。交点を2つ取り、その2点を通る直線を引きます。不要になった誤った弧と、正しい作図に使った弧が混ざると判断しにくいので、書き直しの際は問題の指示に従って整理し、正しい弧を残します。

図3では、誤りの側は4 cmと5 cm、修正後は両方4 cmです。開きをそろえても半分以下なら交点が2つできないので、線分の長さとの関係も確かめます。角の二等分線で頂点から描く最初の弧を省いた場合は、2辺上の点が頂点から等距離とは限りません。頂点を中心とする弧からやり直し、その後の2つの弧も同じ開きにします。

移動の誤答は、対応する頂点を指でたどると見つけやすくなります。平行移動で1つの頂点だけ違う距離を動かしたら、各頂点から対応点への向きと距離をそろえます。回転の向きを逆に取ったら、中心と指定された回転方向から描き直します。消す前に、どの条件が崩れたか短く書くと、次の答案で確認する場所が残ります。

自分で試す4問

次の問題はすべて自作です。作図では定規の目盛りを使わず、使った弧を残してください。長さは整数と単位で、線分は記号で答えます。

1. 長さ8 cmの線分CDの垂直二等分線を作図し、交点をNとします。CNとNDの長さをそれぞれ答えてください。
2. 角XOYを描き、その角の二等分線を作図してください。最初に頂点Oを中心に描く弧が2辺と交わる点をR、Sとし、R、Sからの弧の角の内側の交点をTとします。答えの半直線を記号で示し、角XOTと角TOYの関係を言葉で答えてください。
3. 三角形ABCを平行移動し、A、B、CがそれぞれD、E、Fに移りました。AB = 5 cm、BC = 7 cmのとき、DEとEFの長さを答えてください。点AからDへ右に3 cm移るとき、BからEへの移動の向きと距離も答えてください。
4. 点Pを直線mに関して対称移動した点をQとし、PQとmの交点をKとします。PQ = 10 cmのとき、PKとQKの長さを答えてください。最後に、PQ = 10 cmとは別の場合を考えます。Pを直線m上に置いて対称移動すると、Qはどの位置に重なるか答えてください。

答えと確かめ

1. C、Dを中心に同じ開きで線分の両側に弧を描き、2交点を通る直線を引きます。開きはCDの半分より大きくします。Nは中点なので、8 ÷ 2 = 4、CN = 4 cm、ND = 4 cmです。4 cmと4 cmを合わせると、元のCDの8 cmに戻ります。弧が2点で交わることと、直線がその2点を通ることも確認します。

2. Oを中心とする弧でR、Sを取り、R、Sを中心とする同じ半径の弧を描きます。角の内側の交点TへOから半直線を引き、答えは半直線OTです。角XOTと角TOYは等しい大きさです。ORとOSは最初の弧の半径、RTとSTは後の弧の半径でそれぞれ等しく、OTは共通です。対応する三角形が重なるので、指定の角が2等分されています。弧が交わらなければR、Sからの開きを大きくし、両方を同じ開きで描き直します。

3. 対応はAとD、BとE、CとFです。移動で長さは変わらないのでDE = 5 cm、EF = 7 cmです。BからEへも右に3 cm移ります。DからEの長さが元のABの5 cm、EからFの長さが元のBCの7 cmに戻ることを照合します。各頂点の移動の向きと距離が同じであることも条件に合います。

4. 軸mはPQの垂直二等分線なので、KはPQの中点です。10 ÷ 2 = 5よりPK = 5 cm、QK = 5 cmです。2つを合わせると10 cmで、元のPQに戻ります。PQとmが垂直であることも対称移動の条件です。Pがm上にある場合、QはPと同じ位置です。この場合はPとQが重なるので、長さ10 cmという前の条件とは別の場合として考えます。

手元に残す要点

• 垂直二等分線は、両端から同じ開きの弧を描いて作ります。
• 角の二等分線は、頂点からの弧と2辺上の点からの弧を使います。
• 作図の弧を残し、交点を通る線を引きます。
• 移動は対応する点と、向き・距離・軸や中心を照合します。

どこで手が止まるかを見る

お子さまが線を引けても理由を言えないときは、弧の中心を指して「この2つの長さが等しいのはなぜ」と尋ねてみてください。中心と半径が言えなければ、作図の順を戻ってコンパスの開きを確認します。弧は正しいのに線が交点を通らないなら、定規の当て方を直します。答えを教える前に、本人がどの条件に戻るかを選ぶと、誤りの場所を見分けられます。

個別指導で確かめる場合も、完成図だけでなく描く途中を見せ、角の内側の交点を選んだ理由や対応点の決め方を言葉にします。移動の問題なら、軸上の点が動かない場合と軸から離れた点を比べます。提出前には範囲表とワークに戻り、弧、交点、答えの記号を本人の言葉で順に説明します。作図の跡は、その説明をたどる手がかりです。