中1定期テスト 数学のデータの分布—度数分布表とヒストグラムの読み落としを直す｜武蔵野個別指導塾

階級の境目を二度数えない方法から、度数と相対度数の確かめ方まで、表と柱で読み直すのがデータの分布です。

よくあるのは、ワークの階級の境目にある値を二度数えるという場面です。隣り合う欄に同じ数が書かれていると、その値を両方に入れたくなります。まず学校の範囲表でデータの分布の指定を見て、次にワークの該当箇所と提出条件を照合し、小テストで間違えた境目や度数を探してから復習に入ります。範囲表にないページや提出日を思い込みで補わず、指定された資料に戻ってください。

中学校数学の学習範囲を照合する際は、文部科学省の中学校学習指導要領の第1学年にあるデータの扱いを手がかりにします。ここでは階級、度数、相対度数とヒストグラムを扱い、標本調査は扱いません。数値の例は練習のために作ったもので、実際の測定結果ではありません。

要点（結論から）

• 階級の下端と上端を見て、境目の値が入る先を決めます。
• 度数の合計を元の個数と照合し、各値の所属も確かめます。
• 相対度数は階級の度数 ÷ 全体の度数です。

範囲表から取り出す3つの型

表を埋める型では、元の値を区間に振り分け、その区間に入った個数を書きます。読み取る型では、完成した度数分布表やヒストグラムから指定された範囲の個数を探します。比べる型では、度数を全体の個数で割った相対度数を求めます。どの型でも、最初に「以上」「未満」を確かめることが共通の出発点です。

1学期、2学期、3学期の欄を自分のノートに作り、それぞれの範囲表から実際に指定された単元、ワークの範囲、小テストで落とした型、提出条件を転記します。データの分布が指定された欄では、境目の読み方や表と柱の対応もメモします。前期・後期に分かれる場合は、その2つの欄で同じ作業をします。学期の名前だけから単元を決めず、手元の指定を使います。

ワークの空欄を埋めた後、元のデータの個数と度数の合計を比べてください。合計が合わなければ、境目を二度数えた場合と、どの階級にも入れ忘れた場合の両方を調べます。合計が合っても、1個を別の階級に移した誤りは残ります。そのため、境目にある値を指で追う確認も必要です。

区切りと個数を別々に見る

データを一定の幅で区切った各区間を階級、その階級に入る値の個数を度数といいます。階級の下端と上端の差が階級の幅です。たとえば「10以上20未満」なら、10は入りますが20は入りません。隣の「20以上30未満」には20が入ります。境界の20を両方に入れないことが、度数を正しく数える条件です。

図1のように、境目の数は右側の階級に渡します。10以上20未満と20以上30未満の幅はいずれも10です。値が19なら左、20なら右に置きます。図の区切りは値の大きさを表し、個数そのものを表しているわけではありません。

図1の区間をワークの表に置き換え、欄の見出しと元の値を往復してみましょう。階級の書き方が違う問題では、図をそのまま当てはめず、問題にある以上・未満の条件を読み直します。下端を含むか上端を含むかが数え方を決めるからです。

相対度数は、その階級の度数を全体の度数で割った数です。たとえば全体が10個で、ある階級が3個なら、3 ÷ 10 = 0.3です。度数は個数、相対度数は全体に占める割合なので、同じ欄に混ぜないようにします。階級ごとの度数を全部合わせると元の個数に戻り、相対度数を丸めずに合わせると1に戻ります。

ヒストグラムは階級を横軸、度数を縦軸として柱を並べた図です。横軸の区切りは階級の境界、柱の高さは度数を表します。柱の左端と右端の数字を2つの別のデータとして数えるのではありません。図から読む際は、まず柱の横幅で階級を見つけ、それから縦軸の目盛りで高さを読みます。

表を作って柱の高さに移す

基本例題です。自作の記録として、ある作業にかかった時間が次の10個あります。単位は秒です。10以上20未満、20以上30未満、30以上40未満の度数をそれぞれ整数で求め、各階級の相対度数を小数で答えてください。また、ヒストグラムの各柱の高さを整数で答えてください。

10、12、19、20、20、24、28、30、35、39

まず10以上20未満を見ます。10、12、19が入るので度数は3です。20は上端なので入りません。次に20以上30未満には20、20、24、28の4個が入ります。同じ値が2回現れている20は、別々の記録として2個数えます。30以上40未満には30、35、39の3個が入ります。30は直前の階級の上端では除き、この階級の下端として含めます。

度数の合計は次のようになります。

3 + 4 + 3 = 10

元の記録も10個なので、合計は一致します。さらに境目の10、20、30を元の列に戻して、10は最初、20は2個とも真ん中、30は最後に入ったことを確かめます。合計が一致したという確認と、個々の値が正しい欄にあるという確認は役割が異なります。

全体の10個を分母にして、相対度数を順に求めます。

3 ÷ 10 = 0.3

4 ÷ 10 = 0.4

3 ÷ 10 = 0.3

相対度数の合計は0.3 + 0.4 + 0.3 = 1です。元の条件へ戻すと、各割合に全体の10個を掛けた個数は順に3個、4個、3個で、元の記録を振り分けた結果と一致します。

図2のように、横軸の10、20、30、40を境界として幅10の柱を並べます。高さはそれぞれ3、4、3です。図2の真ん中の柱は20以上30未満の4個に対応します。境界の20を含み30を含まないという表の条件は、柱の左右の線の見た目だけで判断せず、階級の表示で確かめます。

表の数字を柱に移すときは、階級を1つずつ対応させてから高さを見ます。縦軸の1目盛りを何個と読むかを見落とすと、柱の順番が合っていても度数を取り違えます。図2では縦軸の隣の数字で高さをたどり、最後に柱の高さの和が10になるかを確かめてください。

合計から空欄を戻すときの分かれ目

少し難しい例題です。自作の記録12個を、0以上5未満、5以上10未満、10以上15未満の3階級に分けました。最初の階級は2個、最後の階級は5個です。中央の階級の度数を整数で求め、その相対度数を約分した分数で答えてください。また、値10はどの階級に入るか、階級を言葉で答えてください。

度数は重なりのない階級に記録を振り分けた個数です。3階級に12個が収まっているので、中央の度数は全体から他の2階級を引きます。

12 − 2 − 5 = 5

中央の相対度数は5/12です。5と12には1以外の共通の約数がないので、このままで約分した分数です。求めた5個を表に戻すと2 + 5 + 5 = 12となり、記録の総数と一致します。5/12に全体の12個を掛けても5個に戻ります。

値10は中央の上端ですが「未満」なので中央には入りません。最後の階級では下端にあたり「以上」なので、10以上15未満に入ります。中央の度数を合計から求める計算と、個々の値の所属を境界で決める判断は別です。値10が何個あるかは与えられていないため、この情報だけからその個数を決めることはできません。

もし階級の外にも記録がある問題なら、全体から単純に2つの度数を引いた残りを中央の度数とはできません。今回の条件には3階級に分けたとあるので、この引き算が使えます。問題文の範囲と表の端を照らし合わせてから、空欄に計算を当てはめてください。

二度数えた答案を直す

基本例題の記録で、20を「10以上20未満」と「20以上30未満」の両方に入れ、度数を5、4、3とした答案を考えます。図3のように、元の20は2個なので、左の階級から2個を取り除きます。左は3個となり、合計も10個に戻ります。

誤答の原因は、上端の20を含むと読んだことです。直すときは、まず「20未満」に線を引き、20は含まないと口で言います。次に隣の「20以上」を確認し、同じ2個が右には残ることを見ます。元の記録にある2個を消すのではなく、誤って振り分けた先から外すのが修正です。

合計が12になったことは異常を見つける手がかりですが、合計だけでは原因を決められません。入れ忘れと二重計上が同時に起これば、合計が偶然10のままの場合もあります。小テストの答案を見直す際は、合計を確かめた後で、境界の値に印を付けて所属を1個ずつ追います。元の値の重複と、同じ記録の二重計上を区別することも大切です。

表を読み戻す練習

表から元の値をすべて特定できるとは限りません。基本例題の最初の階級の度数3から言えるのは、10以上20未満の記録が3個あるということです。その3個が10、12、19であることは、元の列を見て初めて確かめられます。表には個々の値ではなく、階級ごとの個数が残るためです。

柱を見比べるときも、最も高い柱が示すのは度数の多い階級です。その階級内のどの値が最も多かったかまでは、柱の高さだけでは決まりません。問題が求めているのが階級なのか、個々の値なのかを読み分け、図から言える範囲に答えをとどめます。元の記録が与えられていれば、必要な値をそこへ戻って数えます。

手を動かして確かめる4問

次の記録と表はいずれも自作です。相対度数は指定された形で答え、境界の条件も答案に残してください。

1. 8個の値が1、3、4、5、5、6、8、9です。0以上5未満、5以上10未満の度数を順に整数で答え、それぞれの相対度数を小数で答えてください。
2. 15個の値を、0以上10未満、10以上20未満、20以上30未満に分けたところ、度数は順に4、6、5でした。10以上30未満の度数を整数で、相対度数を約分した分数で答えてください。
3. 幅が等しい3階級のヒストグラムで、左から柱の高さが2、7、3です。全体の度数と中央の階級の相対度数を、それぞれ整数と約分した分数で答えてください。
4. 18個の値を、0以上4未満、4以上8未満、8以上12未満の3階級に分けました。最初の度数は6、最後の度数は8です。中央の度数を整数で、相対度数を約分した分数で答えてください。値8が属する階級も答えてください。

答えとたどり方

1. 度数は順に3個、5個、相対度数は0.375、0.625です。最初の階級には1、3、4が入り、5は2個とも次に入ります。3 ÷ 8 = 0.375、5 ÷ 8 = 0.625です。度数を合わせると8個、相対度数を合わせると1で、0.375と0.625にそれぞれ8個を掛けると3個と5個に戻ります。
2. 10以上30未満には後ろの2階級が含まれるので、6 + 5 = 11個です。相対度数は11/15です。残りの4個と合わせると15個になり、11/15に15個を掛けると11個です。10は後ろの2階級の範囲に入り、30は含まれません。
3. 全体は2 + 7 + 3 = 12個、中央の相対度数は7/12です。柱の高さを度数として足し、中央の7を全体の12で割ります。7/12に12個を掛ければ7個で、ほかの2階級の2個と3個を加えると12個に戻ります。
4. 中央は18 − 6 − 8 = 4個、相対度数は4/18 = 2/9です。6 + 4 + 8 = 18で、2/9に18個を掛けても4個です。8は中央の上端で含まれず、8以上12未満に入ります。境目の所属は、空欄の度数を求めた後にも独立して確かめます。

要点を手元に残す

• 階級の下端と上端を見て、境目の値が入る先を決めます。
• 度数の合計を元の個数と照合し、各値の所属も確かめます。
• 相対度数は階級の度数 ÷ 全体の度数です。
• 柱の横幅を階級、高さを度数に対応させます。

どこで止まったかを見つける

表の合計が合わない場合は、計算をやり直す前に元の値を1個ずつたどります。合計は合うのに柱が違う場合は、階級と柱の対応や縦軸の目盛りを調べます。度数は合うのに相対度数が違う場合は、分母に全体の度数を使ったかを見ます。間違いを一括して数え直すより、どの段階で対応が変わったかを探すと修正箇所が見えます。

個別指導で確かめるなら、本人が範囲表とワークを開き、境界の値を1つ選んで、どちらの階級に入るか理由を説明します。続いて度数の合計、相対度数の分母、柱の高さを順に指し、提出前の空欄や書き漏れを点検します。保護者が隣で見る場合も、答えを先に告げず、本人の説明と元の条件を照合できます。境目から表、表から柱へとたどれば、データの分布は自分の言葉で確かめられます。