中学数学の割合で何を1とする？分母の見分け方｜武蔵野個別指導塾

割合の文章題で「何を1とするか」に迷ったら、最後の問いを「誰の集まりの中で、誰が何%か」と言い換えます。「学年全体の中で」なら学年全体、「参加者の中で」なら参加者を1と見て割ります。同じ18人を数えていても、何人の中で数えたかが違えば、答えの割合も変わります。

大きい数ではなく、問いに出てくる集まりを1と見る

よくあるのは、問題に学年の人数も行事の参加人数も書いてあり、いちばん大きい数を分母にするか、最後に読んだ数を分母にするかで鉛筆が止まるという場面です。どちらが大きいかは、分母を決める理由になりません。まず、何についての割合がほしいのかを問いに戻って確かめます。

たとえば、ある学年は120人、そのうち展示会に参加したのは45人、参加者のうち案内係を担当したのは18人とします。「参加者のうち、案内係を担当した人は何%ですか」と聞かれたら、集まりは参加者45人です。45人の中の18人なので、18 ÷ 45 = 0.4、答えは40%です。

同じ条件で「学年全体のうち、展示会の案内係を担当した人は何%ですか」と聞くと、今度は学年の120人を1と見ます。同じ18人でも、18 ÷ 120 = 0.15で、答えは15%です。40%と15%はどちらもこの場面の数ですが、別の質問に答えています。

ここでいう「1」は「1人」のことではありません。45人という集まりをひとまとまりと見れば、それが1であり、100%です。120人をひとまとまりとするなら、別の1、別の100%です。ノートには「1」とだけ書かず、「1=参加者45人」「1=学年全体120人」と集まりの名前も添えます。40%という答えだけを見直すより、「45人の40%」と読んだほうが、どの問いに答えたのかがはっきりします。

問いを2つの空欄に置き換える

本文の数字を見直す前に、ノートの端に「（誰の集まり）の中で、（誰）が何%か」と書きます。前の空欄が分母を決め、後ろの空欄が分子を決めます。数字を入れるのは、両方に名前が入ってからです。先に式を書き始めてしまったときも、計算を消さず、その上に空欄を作ってみてください。

「案内係は参加した人の何%ですか」なら、最初に出てくる名詞は「案内係」です。しかし基準は、後に出てくる「参加した人」です。「参加した人の中で、案内係を担当した人が何%か」と言い直せば、語順に引っ張られずに45人を選べます。「学年全体に対する案内係の割合を求めなさい」なら、「学年全体の中で、案内係を担当した人が何%か」とします。同じ意味の問いであれば、「うち」がなくても読み方は変わりません。

後ろの空欄には「18人」ではなく、先に「展示会で案内係を担当した人」と書きます。「案内係を希望した人」と「案内係を担当した人」は、表に両方があれば別の行です。「希望したけれど担当しなかった人」がいる設定なら、希望者の行から数を持ってくることはできません。数字を見つけたら、行の名前まで指でたどってから式へ移します。

言い換えがうまくいかないときは、「誰を数える前に、誰だけを残しておくか」と尋ねてみます。「参加者の中で」なら、参加しなかった人はいったん範囲の外です。反対に「学年全体の中で」なら、参加しなかった人も分母に残ります。割合の意味や、何を求めるかによる式の違いから確かめたいときは、割合の公式ともとにする量の見分け方に戻れます。

「そのうち」が続くときは、集まりを3段に並べる

「ある学年に120人います。そのうち45人が展示会に参加しました。そのうち18人が案内係を担当しました」。2度目の「そのうち」が、学年全体ではなく、直前に述べた参加者を指す設定です。ノートに「学年全体」「参加者」「参加した人の中の案内係」と1行ずつ書き、右に120人、45人、18人を置きます。この例では、下の行に進むほど含まれる人が絞られます。

この表を作っても、どの行を分母にするかはまだ決めていません。問いが「参加者に占める案内係の割合」なら、下の2行を使います。「学年全体に占める案内係の割合」なら、いちばん上の行といちばん下の行を使います。表で隣にあるから割る、表の最初の行だから割る、という決め方はしません。選んだ理由を問いの言葉に戻します。

紙に図を描くなら、大きな枠に「学年全体」と書き、その内側に「参加者」の枠、さらに内側に「案内係」の枠を書きます。枠の面積を人数にぴったり合わせる必要はありません。図の役目は、誰がどの集まりに入っているかを示すことです。分母に選んだ枠だけを囲み直し、分子はその枠の中にあるかを確かめます。

大切なのは、「そのうち」を見つけるたびに集まりの名前を補うことです。たとえば問題の後半が「ところで、学年全体のうち何%が案内係でしたか」なら、問いは広い枠に戻っています。途中で範囲が狭くなったからといって、最後まで狭い枠を使うとは限りません。「その」がどの集まりを指すか判断できない文なら、数字から推測する前に、表の見出しや前後の文に対象が明記されていないか探します。

同じ人数でも、基準を変えると答えが変わる

割合の見直しには、数えた人を変えず、集まりの名前だけを変える練習が向いています。たとえば学年120人、回答者80人のアンケートで、読みたい本に物語を選んだのが24人だとします。「回答者のうち物語を選んだ人」は24 ÷ 80 = 0.3で30%です。「学年全体のうち、実際に物語を選んだと記録された人」は24 ÷ 120 = 0.2で20%です。

ここで「学年の人の20%しか物語を読みたくない」と言うのは適切ではありません。回答しなかった40人の希望はわからないからです。20%といえるのは、学年全体の中で、物語を選んだことが記録された人の割合です。分母をそろえるだけでなく、分子に入れた人について、何がわかっているのかも言葉にします。

アンケートの例で「回答者」は、回答を出した人の集まりです。何も選ばなかったけれど回答を出した人がいるなら、その人も回答者に含まれます。もし設問が「本の種類を1つ選んだ人のうち」と指定するなら、回答者とは異なる集まりです。問題にその人数がなければ、80人をそのまま使う根拠はありません。分母を選ぶときは、見た目が近いラベルを同じ意味だと思っていないかを見ます。

計算の確かめ方は、答えに分母を掛けて、数えた人数が戻るかを見ることです。80人の30%は80 × 0.30 = 24人で、120人の20%は120 × 0.20 = 24人です。仮に「回答者の20%」と答えると、80 × 0.20 = 16人になり、記録の24人とは合いません。元の式をもう一度なぞるより、答えに名前をつけて場面へ戻すと、入れ違った場所を確認できます。

見える数字が割合だけなら、基準の矢印をつなぐ

「学年全体の60%が展示会に参加し、参加者の25%が案内係でした。案内係は学年全体の何%ですか」と聞かれたら、25%をそのまま答えにしません。25%が指しているのは、参加者を1とした割合です。今回ほしいのは、学年全体を1とした割合です。人数が与えられていなくても、この2つの基準の違いから考えられます。

学年全体を100人と置いて考えると、参加者は100 × 0.60 = 60人。その60人を基準にした25%は、60 × 0.25 = 15人です。学年全体100人のうち15人にあたるので、求める割合は15%です。100人は実際の学年の人数と断定するための数ではなく、割合を読み取りやすくするために置いた数です。

文字で確かめるなら、学年全体を x 人として、参加者は 0.60x 人、その中の案内係は 0.25 × 0.60x = 0.15x 人です。最初の x 人に対するので15%になります。ノートでは「学年全体 → 参加者 → 案内係」を書き、最初の矢印に「×0.60」、次の矢印に「×0.25」と添えます。数字が減ったことだけでなく、その割合を直前のどの集まりに掛けたかを矢印で確認してください。

この計算は、対象が「学年全体の一部である参加者」と「その参加者の一部である案内係」のように順につながるから使えます。もし文が「学年全体の60%が参加し、学年全体の25%が作品を展示した」なら、2つの割合の基準は最初から同じです。作品を展示した人が全員参加したとも、重なりがどれだけあるとも、文だけでは決まりません。割合が2つ登場したというだけで掛けず、後に出てくる割合が前の集まりを基準にしているかを確かめます。

答えの数だけでは見抜けない取り違えを直す

よくあるのは、解答と同じ40%が出たので丸にしたのに、どの集まりの40%なのかを聞くと説明が止まるという場面です。分母の選び方を確かめるには、答えの横に「参加者45人に対して」と書き足します。「40%のうち」や「全体の40%」だけでは、120人と45人のどちらを指すかわかりません。集まりの名前を消さずに残しておきます。

また、違う2つの割合がたまたま同じ値になることも、問題の設定によっては起こります。たとえば学年100人のうち参加者が50人で、その50人のうち係が25人なら、「学年全体に占める参加者」も「参加者に占める係」も50%です。しかし前者は50 ÷ 100、後者は25 ÷ 50です。答えが同じでも、何を数えたかも、何を基準にしたかも違います。式が答えまで合っていたかではなく、式が問いに答えていたかを点検します。

「人数で答えるか、何%で答えるか」も別に確認します。45人の中の18人という条件で「何人ですか」と聞かれたなら、知りたいのは18人です。「何%ですか」なら40%です。「どちらが多いですか」という問いでも、人数を比べるのか、それぞれの集まりに対する割合を比べるのかで式は変わります。異なる組をその組の中の割合で比べる問題は、相対度数と累積度数で分母をそろえる読み方でも確かめられます。

見直しは「分母に名前がついているか」「分子はその集まりの内側か」「%にその集まりの名前を添えて言えるか」の順で進めます。今扱っているのは集まりの一部分を数える割合なので、その範囲では割合が100%を超えたら式を疑います。ただし、一方の長さが他方の何%にあたるかなど、一部と全体ではない比較なら100%を超えても不思議ではありません。100%を超えたかだけを丸付けの決まりにせず、そもそも何と何の関係だったかを先に確認します。

最後の問いだけを変えて、分母を選び直す

「学年に160人います。そのうち72人が作品発表会に参加し、参加した人のうち36人がポスターを出しました」。この1つの条件で、次の3問を作れます。どの問題でも、計算する前に「誰の集まりの中で、誰を数えるか」を書き出してみてください。

1問目と2問目では、同じ36人を、別の集まりの中で数えます。2問目と3問目では、基準は同じですが、数える人が36人から72人に変わります。答えはそれぞれ、72 × 0.50 = 36、160 × 0.225 = 36、160 × 0.45 = 72と戻せます。割合が変わったとき、分母と分子のどちらの名前が変わったかまで説明できれば、たまたま合っただけかどうかを見分けられます。

次に、同じ問題文を使い「参加者のうち、ポスターを出さなかった人は何%か」と聞きます。分母は引き続き72人ですが、数えるのはその中で出さなかった人です。72 – 36 = 36人なので、この設定では50%です。答えは1問目と同じですが、数えた人は反対です。「学年全体のうちポスターを出さなかった人」に問いを変えると、発表会に参加しない人も含むため、160 – 36 = 124人、124 ÷ 160 = 0.775で77.5%になります。

ノートで練習するときは、数値や設定を次々に交換しなくてもかまいません。問いの最後だけを1か所直し、前の答案からどの行を残してどの行を書き換えるか考えます。式を作り直すたびに問題全体が違って見えるときは、前の式を横に置いて2つを見比べます。変わらない数字には印をつけず、変わった集まりの名前だけを四角で囲むと、読むべき箇所を絞れます。

家で「式は？」と聞く前に、どの集まりを残したかを聞く

よくあるのは、お子さまが「割るのはわかるけれど、順番がわからない」と言い、横で見ている保護者の方も説明の入り口を探しているという場面です。いきなり「公式は覚えている？」と聞くと、どの数字を式のどこへ入れるかという話になりがちです。まず「この答えを、どの集まりの割合として伝えるの？」と尋ね、問題文の該当箇所を指してもらってください。

お子さまが「全体」と答えたら、「学年全体？ それとも参加した人全体？」と、場面に出てくる名前を並べます。「参加者」と答えたら、次は「その中で誰を数える？」です。正しい数を言えるのに集まりの名前が出ないなら、式を急がず名前だけを書きます。集まりの名前は合っていて式の順番だけが違うなら、分子と分母にその名前を対応させます。止まる場所が違うのに、同じ説明を繰り返す必要はありません。

たとえばノートに「18 ÷ 120」と書いてあり、問題が参加者の中での割合を尋ねているとします。「120人は学年の人数だね。参加しなかった人を含める問いかな」と聞きます。答えを口に出してしまわず、参加しなかった人が範囲に入るかをお子さまに決めてもらいます。「入らない」と説明できたら、元の式の分母に斜線を引き、横に「参加者45人」と書き足します。どこを直したかが残るので、次に似た問いを見たときに読み直す場所がわかります。

教室で聞くときにも、ノートのその1行が役に立ちます。「18人を数えることはわかります。45人と120人のどちらを1と見るのか、問いのどの言葉から決めればいいですか」と言うと、途中までできたことと、助けてほしいことを一緒に伝えられます。聞いたあとに別の例を全部解き直す必要はありません。同じ文の「参加者のうち」を「学年全体のうち」に替え、分母を自分で選び直せるかを試します。

自分で問いを言い換えても集まりの範囲が決まらないときは、迷った問題と、自分が分母に置いた数を残しておきましょう。保護者の方が学習の相談先を探しているなら、先に「何を1としたかがあいまいになる」という困りごとを1つ書き留めておくと話し始めやすくなります。相談の入口や学び方については、武蔵野個別指導塾のよくある質問を確認できます。

宮川 涼 Founder

早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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