割合の公式—百分率と歩合、もとにする量と比べる量の見分け方｜武蔵野個別指導塾

40人は160人の何%か。割る向きで迷うのは、1と見る量を決めていないからです。線を2本引く図で見分け方を身につけ、10%増やして10%減らすと元に戻らない理由まで計算で確かめられます。

割合の公式は、次の3つで1組です。どれも同じ関係を、求めたいものに合わせて書き直した形です。

もとにする量は「1と見る量」、比べる量は「それと比べて大きさを調べたい量」、割合は「比べる量がもとにする量の何倍か」を表す数です。百分率は割合を100倍して%をつけた表し方で、0.25は25%です。歩合は割合を割・分・厘で読む言い方で、0.25は2割5分です。

よくあるのは、小5の算数のテスト直しの机で鉛筆が止まるという場面です。「40人は160人の何%ですか」に400%と書いて、赤い線を引かれています。解答には 40 ÷ 160 = 0.25 とあり、割る向きが逆だったことだけはわかります。けれど、なぜ40を先に書くのかは解答のどこにも書いてありません。だから次のテストでも同じ場所で迷います。直すのは計算ではなく、どちらを1と見るかの判断です。

公式の形と文字の意味

割合の問題に出てくる量は、いつも次の3つです。

• もとにする量: 比べるときの基準にする量です。割合の計算では、この量を1と見ます。
• 比べる量: 基準と比べて、どれだけにあたるかを調べたい量です。「比べられる量」と書く教科書もあります。
• 割合: 比べる量がもとにする量の何倍にあたるかを表す数です。人やページのような単位はつきません。

160人のうち40人なら、160人がもとにする量、40人が比べる量で、割合は 40 ÷ 160 = 0.25 です。3つの公式は、この1組の数で全部確かめられます。160 × 0.25 = 40 で比べる量が戻り、40 ÷ 0.25 = 160 でもとにする量が戻ります。習うのは小5の算数で、中1の文字式や方程式、中2の連立方程式の文章題でも同じ関係を使います。

図の描き方

公式に数を入れる前に、図1のように線を2本引いてください。手順は3つです。

1. 線を2本、平行に引きます。上の線には人数やページ数などの量を、下の線には割合を書きます。
2. 左端に上下とも0を書き、下の線の右のほうに1を書きます。1の真上が、もとにする量の場所です。
3. わかっている数を書き入れ、わからない数の場所には □ を置きます。

図1は、160人のうち40人を描いたものです。下の線の1の真上に160人があり、0.25の真上に40人があります。上下の数はどこでも同じ倍率で結ばれていて、下の数を160倍すると上の数になります。□ の場所を見れば、計算の種類も決まります。□ が1の真上にあればもとにする量を求める割り算、上の線のそれ以外の場所にあれば比べる量を求めるかけ算、下の線にあれば割合を求める割り算です。

もとにする量の見分け方

目印になる言葉は「〜の何%」「〜のうち」「〜に対する」「〜より」です。この言葉の前に置かれた量を1と見ます。

「の」がついていれば何でも目印になるわけではありません。「1組の人数は30人で、そのうち12人がバス通学です」の「1組の」は、どの組かを言っているだけです。見るのは、%・割・倍のすぐ前についた「〜の」です。比べる量のほうが大きいこともあり、定員80人のバスに100人が乗っていれば 100 ÷ 80 = 1.25 で、125%です。割合は1を超えてかまいません。

百分率と歩合の換算

百分率は、もとにする量を100と見たときの表し方です。式にすると、百分率 = 割合 × 100、割合 = 百分率 ÷ 100 です。歩合は小数の位に名前をつけたもので、小数第1位が割、第2位が分、第3位が厘です。

日常の「腹八分目」の分は10分の1を表す別の使い方で、80%のことです。算数の歩合の1分は0.01、つまり1%です。テストの答えに書くときは、表のほうの読み方にそろえます。

増減を表す式

もとにする量から増えたり減ったりしたあとの量は、1に足すか1から引くかで、1回のかけ算にまとまります。

• 増えたあとの量 = もとにする量 × (1 + 増えた割合)
• 減ったあとの量 = もとにする量 × (1 − 減った割合)
• 変化の割合 = 変化した量 ÷ 変化する前の量

割合そのものが変わったときは、言い方が2通りあります。30%から40%に上がったとき、差の10はポイント(パーセントポイント)で表し、「10ポイント上がった」と言います。これを「10%増えた」と言うと別の意味になります。30をもとにすれば、増え方は 10 ÷ 30 = 0.333… で、約33.3%の増加です。

なぜこの形になるのか

割合は、基準をそろえて比べるための数です。20問のテストで16問正解した人と、50問のテストで30問正解した人では、どちらがよくできたでしょうか。正解の数だけなら30問のほうが多いのに、問題の数がちがうので、このままでは比べられません。

図2のように、どちらのテストも問題全部を同じ長さの帯にそろえて考えます。20問の帯を1にするには、全体を20で割ります。20 ÷ 20 = 1 です。同じ20で正解の数も割ると 16 ÷ 20 = 0.8 です。50問のほうも 50 ÷ 50 = 1、30 ÷ 50 = 0.6 となって、同じ帯の上に0.8と0.6が並びます。もとにする量で割るのは、もとにする量を1にそろえるためです。割る向きは好みで決まるのではなく、1にそろえる計算がそれしかないから決まります。

残りの2つは、最初の公式からすぐ出ます。割合はもとにする量の何倍かを表す数ですから、もとにする量に割合をかければ比べる量です。もとにする量を □ とすると □ × 0.25 = 40 で、かけ算の逆にあたる割り算をすれば □ = 40 ÷ 0.25 = 160 となります。公式が3つあるように見えても、中身は1つの関係です。

百分率が100倍なのも同じ理屈です。パーセントは「100あたり」という意味で、1にそろえる代わりに100にそろえています。16 ÷ 20 = 0.8 は、問題が100問あれば80問正解する割合だと言っても同じです。0.8より80のほうが話しやすいので、日常では百分率がよく使われます。

差ではなく割合で見る意味は、金額の例がはっきり示します。150円のパンが30円上がるのと、1,500円のお弁当が30円上がるのでは、上がった額は同じです。しかし 30 ÷ 150 = 0.2 で20%、30 ÷ 1500 = 0.02 で2%と、割合では10倍ちがいます。差の額からは、もとの大きさの情報が消えています。割合は、もとの大きさを織りこんだ数です。

同じ理由で、もとにする量がちがう割合はそのまま足せません。20人の組の50%と40人の組の30%を合わせると、10人 + 12人 = 22人で、60人のうちの22人です。22 ÷ 60 = 0.366… で約36.7%となり、足した80%にも、平均した40%にもなりません。

例題で使い方を確かめる

4問を、割合、比べる量、もとにする量、増減の順に解きます。どの問題も、最初の手順はもとにする量を決めることです。

例題1 割合を3通りで表す

問題: 野球の選手が40打数で13本のヒットを打ちました。打率を小数、百分率、歩合で表してください。

1. もとにする量を決めます。打率は打数のうちヒットがどれだけあるかの割合なので、40打数を1と見ます。
2. 公式にあてはめて 13 ÷ 40 = 0.325 とします。もとにする量で割るのは、40打数を1にそろえるためです。
3. 100倍して百分率にします。0.325 × 100 = 32.5 で32.5%です。百分率はもとにする量を100と見た表し方だからです。
4. 図3のように小数の位を読み、歩合にします。小数第1位の3が3割、第2位の2が2分、第3位の5が5厘です。歩合は位に名前をつけただけなので、計算はいりません。

答え: 0.325、32.5%、3割2分5厘

例題2 比べる量を求める

問題: 320ページの本の3割5分を読みました。読んだのは何ページで、残りは何ページですか。

1. 歩合を小数に直し、3割5分 = 0.35 とします。割や分のままでは、かけ算ができないからです。
2. もとにする量を決めます。「本の3割5分」と言っているので、320ページを1と見ます。
3. 比べる量を 320 × 0.35 = 112 と求めます。わからない数が上の線の1の真上以外にあるので、かけ算です。
4. 残りを 320 − 112 = 208 と求めます。残りの割合 1 − 0.35 = 0.65 を使った 320 × 0.65 = 208 とも合うので、計算の確かめにもなります。

答え: 読んだのは112ページ、残りは208ページ

例題3 もとにする量を求める

問題: ある小学校の5年生のうち、電車で通っている人は36人で、これは5年生全体の24%です。5年生は全部で何人ですか。

1. もとにする量を決めます。「全体の24%」なので全体が1です。全体の人数はまだわからないので、そこを □ にします。
2. 百分率を小数に直し、24% = 0.24 とします。公式の割合は、1を基準にした数で入れるからです。
3. 線を2本引くと、0.24の真上に36人、1の真上に □ が来ます。□ が1の真上にあるので、割り算だと決まります。
4. □ = 36 ÷ 0.24 = 150 と求めます。0.24は1より小さいので、全体は36人より多いはずで、150はその見当に合います。
5. 150 × 0.24 = 36 を計算して確かめます。かけ算で元の数に戻れば、割る向きの誤りはないと言えます。

答え: 150人

例題4 増えたあとの量からもとに戻す

問題: ある図書館の今年の利用者は1,380人で、去年より15%増えました。去年の利用者は何人ですか。

1. もとにする量を決めます。「去年より」なので去年が1で、今年の1,380人は比べる量です。
2. 今年の割合を 1 + 0.15 = 1.15 とします。去年の分そのものに増えた分が加わるので、1に足します。
3. 去年を □ として □ × 1.15 = 1380 と書き、□ = 1380 ÷ 1.15 = 1200 と求めます。かけ算の逆なので割り算です。
4. 1200 × 0.15 = 180、1200 + 180 = 1380 で確かめます。増えた分を実際に足して今年の人数が戻れば、合っています。

ここで 1380 × 0.85 = 1173 としたくなりますが、これは今年を1と見た計算で、15%の基準がずれています。1173人から15%増やしても 1173 × 1.15 = 1348.95 で、1,380人には戻りません。

答え: 1,200人

まちがえやすいところ

割る向きが逆になる

• 誤った書き方: 「40人は160人の何%ですか」を 160 ÷ 40 = 4 として、400%と答えます。
• どこが違うか: 160人を1と見る問題なのに、40人を1と見ています。40人は160人より少ないので、割合は1より小さくなるはずです。400%は「160人は40人の何%か」という別の問いの答えです。
• 正しい書き方: 40 ÷ 160 = 0.25 で、25%と答えます。

百分率や歩合のまま計算する

• 誤った書き方: 320ページの25%を 320 × 25 = 8000 として、8000ページと答えます。3割5分を3.5と書きます。
• どこが違うか: 公式の割合は、もとにする量を1と見た数です。25は100と見たときの数なので、そのままかけると100倍の答えが出ます。本のページ数より多く読むことはないという見当でも気づけます。3割5分も、小数第1位が3、第2位が5なので、3.5ではありません。
• 正しい書き方: 25% = 0.25 に直して 320 × 0.25 = 80 で、80ページと答えます。3割5分は0.35と書きます。

増やして減らせば元に戻ると思う

• 誤った書き方: 100個を10%増やしてから10%減らすと、100個に戻ると考えます。
• どこが違うか: 図4のように、2回の10%はもとにする量がちがいます。最初の10%は100個をもとにした10個、次の10%は110個をもとにした11個です。増えた分より減る分が多いので、戻りません。
• 正しい書き方: 100 × 1.1 = 110、110 × 0.9 = 99 で、99個と答えます。

2回の変化は、1回のかけ算にまとめると見通しがよくなります。100 × 1.1 × 0.9 = 99 で、もとの99%です。順番を入れかえて先に10%減らしても、100 × 0.9 × 1.1 = 99 で同じ結果になります。続けて起きる増減の%は足し引きせず、かけ算でつなぎます。

覚え方と忘れたときの戻り方

公式を3つ覚える必要はありません。覚えるのは「比べる量 = もとにする量 × 割合」のかけ算1つで足ります。割合を求めたいときも、もとにする量を求めたいときも、かけ算の逆にあたる割り算で戻れます。

向きに迷ったら、小さな数で試します。10人のうち5人は半分だと、計算しなくてもわかります。半分は0.5ですから、5 ÷ 10 = 0.5 が正しい向きで、10 ÷ 5 = 2 は合いません。テスト中でも10秒あればできる確かめです。百分率や歩合の換算は「1 = 100% = 10割」の1行から戻れます。1を100%にするには100倍ですから、小数から百分率へは100倍で、逆は100で割ります。

よく使われる語呂に「くもわ」があります。「く」が比べる量、「も」がもとにする量、「わ」が割合で、図と一緒に覚える人もいます。式を思い出す助けにはなりますが、問題文のどの数が「も」なのかは教えてくれません。語呂を使うときも、先に線を2本引いて1の真上を決めてください。お子さまのテスト直しを横で見るときは、答えより先に「どれを1と見たの」と聞いてみると、迷っている場所がはっきりします。

練習問題

1. 35人のクラスで14人が自転車で通っています。自転車で通っている人の割合を、小数、百分率、歩合で表してください。
2. 水そうに18Lの水を入れたところ、水そうの容積の45%まで入りました。この水そうの容積は何Lですか。また、いっぱいにするにはあと何L入りますか。
3. ある中学校で、朝食を毎日食べる生徒の割合が60%から75%に上がりました。何ポイント上がりましたか。また、もとの60%をもとにすると、何%増えましたか。

答えと解説

1. 「35人のクラスで14人」なので、もとにする量は35人、比べる量は14人です。14 ÷ 35 = 0.4 で、小数は0.4です。100倍して百分率は40%、小数第1位の4を読んで歩合は4割です。
2. 「容積の45%」なので、容積を1と見ます。わからない数が1の真上にあるので割り算で、18 ÷ 0.45 = 40 から容積は40Lです。40 × 0.45 = 18 で確かめられます。あと入る水は 40 − 18 = 22 で、22Lです。
3. 差は 75 − 60 = 15 で、15ポイント上がりました。60をもとにすると 15 ÷ 60 = 0.25 で、25%増えました。同じ変化でも、ポイントと%では数がちがいます。どちらを聞かれているかを問題文で確かめてから答えます。

次に確かめる公式

• 比例式の性質: a : b = c : d ならば ad = bc です。割合の文章題を比の形で解き直すときに使います。
• 食塩水の濃度の公式: 濃度(%) = 食塩の重さ ÷ 食塩水の重さ × 100 です。もとにする量が水ではなく食塩水全体であることを確かめるときに使います。
• 速さの公式: 速さ = 距離 ÷ 時間 です。「1時間あたり」にそろえて、速い遅いを比べるときに使います。

個別指導でここにつまずいた生徒と向き合うときは、小数のかけ算まで戻り、0.25倍すると元より小さくなることに納得しているかを確かめます。そこがあいまいなままだと、公式の向きを何度直しても、次のテストでまた迷うからです。

まとめ

百分率も歩合も増減の問題も、線を2本引いて下の線に1と書くところから始まります。テストの赤い線を消す前に、問題文の横にその2本を描いてみてください。割る向きは、そのとき図のほうが教えてくれます。1をどこに置くかが決まった時点で、割合の問題は半分解けています。