数検1級—大学程度の範囲と、合格までの進め方｜武蔵野個別指導塾

大学程度の数検1級は、1次が60分で7問、2次が120分で必須2題と選択2題の記述式です。広い範囲をどの順に学ぶか、重積分や固有値の例題を手順つきで確かめていきます。

公益財団法人 日本数学検定協会の実用数学技能検定（数検）のうち、1級は最も上の級で、程度は大学程度・一般です。1次（計算技能検定）は60分で7問、合格の目安は全問題の70%程度。2次（数理技能検定）は120分で、必須の2題と、5題から選ぶ2題の計4題を記述で解き、合格の目安は全問題の60%程度です。検定料は個人受検で8,500円、団体受検はありません。範囲は解析、線形代数、確率統計、コンピュータ、自然科学への数学の応用にまたがります。

よくあるのは、数学科の2年生が研究室の前の廊下で、線形代数の教科書を抱えたまま立ち止まるという場面です。掲示板には数検の案内が貼ってあり、準1級は高校の範囲で済んだのに、1級の範囲の欄には偏微分、重積分、固有値、回帰分析と、いま講義で追いかけている語がそのまま並んでいます。どこから手を付ければ合格に届くのか、廊下の窓から見える夕方の空を眺めながら考えている。その順番を、ここから一つずつ決めていきます。

試験のかたちと範囲

1級は、1次と2次の二つの検定でできています。図1のように、1次は計算技能検定で、60分の間に7問を解きます。答えを導く力そのものを測る検定で、電卓は使えません。2次は数理技能検定で、120分の間に、必須の2題と、5題の中から自分で選ぶ2題を解きます。選び方は10通りあり、どの2題を選ぶかで持ち時間の使い方が変わります。協会の案内では、数検は計算、作図、表現、測定、整理、統計、証明といった技能を測る記述式の検定とされています。1級の2次はとくに、答えだけでなく、そこに至る道筋を紙の上に書き切る力が問われます。

合格の目安は、1次が全問題の70%程度、2次が全問題の60%程度です。7問のうち5問を正しく解けば70%を超えるので、1次は「7問のうち5問」と覚えておくと目標が具体になります。2次は4題の60%程度なので、必須の2題を取り切り、選んだ2題のうち1題を途中まで書けるかどうかが境目です。はじめて受検するときは、1次と2次の両方を受けます。1級から5級までは、1次または2次のどちらかだけに合格した場合、その合格証に書かれた合格証番号を申し込みのときに添えると、合格した側の免除を申請して受検ができます。免除を申請した回は検定料が通常と変わるので、申し込みの画面で確かめます。

範囲は、協会の案内に五つの柱で書かれています。解析は、微分法、積分法、基本的な微分方程式、多変数関数（偏微分・重積分）、基本的な複素解析。線形代数は、線形方程式、行列、行列式、線形変換、線形空間、計量線形空間、曲線と曲面、線形計画法、二次形式、固有値、多項式、代数方程式、初等整数論。確率統計は、確率、確率分布、回帰分析、相関係数。コンピュータは、数値解析、アルゴリズムの基礎。そのほかに、自然科学への数学の応用などが入ります。大学の1年と2年で学ぶ数学がほぼそのまま並んでいて、どれか一つの科目を極めても足りません。

日程にも注意が要ります。1級が実施される検定日は限られていて、2026年度の個人受検で1級があったのは4月19日・7月25日・10月25日で、3回とも終わりました。2026年12月5日と2027年2月13日は準1級から11級まで、2027年1月16日と2月12日と3月6日は2級から11級までの実施で、残りの回に1級は含まれていません。いまから準備を始める人は、次の年度の検定日一覧が協会のページに出たら、1級の回を先に書き留めておきます。会場は検定日によって置かれる地域が異なるので、受けたい回の会場も同じ表で確かめます。

合格までの進め方

範囲が広いときほど、順番を決めてから始めます。図2のように、線形代数、解析、確率統計の順に土台を作り、そのあとで2次の記述の練習に入るのが、遠回りに見えて最も早い道です。線形代数を先に置く理由は、行列と固有値の計算が、解析の多変数関数や確率統計の回帰分析でも道具として顔を出すからです。線形方程式を掃き出し法で解けること、3次の行列式を手で出せること、2次の正方行列の固有値と固有ベクトルを迷わず求められることが、最初の関門です。ここで止まる人は、計算の手順を声に出して言えるようになるまで、同じ型の問題を10題続けて解きます。

解析では、1変数の微分と積分を、準1級の水準で速く正確にできることを前提に、偏微分、重積分、微分方程式へ広げます。重積分は、領域を図に描いてから積分の範囲を決める癖を最初に付けます。微分方程式は、変数分離形と1階線形の解き方を手順として固めれば、1次の問題の多くに届きます。複素解析は基本的な範囲なので、複素数の極形式と、簡単な複素関数の微分ができる所まで戻って確かめます。確率統計は、分布の平均と分散を定義から出すこと、相関係数と回帰直線を小さなデータで実際に計算することの二つを、手を動かして身に付けます。コンピュータの範囲は、数値解析とアルゴリズムの基礎なので、二分法やニュートン法の考え方、繰り返しの手順を紙に書けるようにしておきます。

1日の量の例を挙げます。90分を、計算の反復に30分、新しい単元に40分、前日の直しに20分と分けます。計算の反復は、行列式、固有値、定積分、偏微分のように型の決まった計算を、時間を測って解き、答え合わせまで含めて30分で切ります。新しい単元の40分は、教科書の定義と定理を読み、例を一つ自分の手で再現し、同じ型の問題を2題解きます。直しの20分は、前日に間違えた問題を、答えを見ずにもう一度解きます。この90分を週に6日続けると、1か月で線形代数、次の1か月で解析、3か月目で確率統計とコンピュータが一巡します。

2次の記述の練習は、一巡が終わってから始めます。120分で4題なので、1題あたり30分の見当です。練習では、必須の2題に当たる問題を先に60分で書き切り、残りの60分で5題の問題文をすべて読んでから2題を選ぶ流れを、本番と同じ時間で繰り返します。書いた答案は、翌日に自分で読み返し、定義の確認、途中の式、結論の三つがそろっているかを確かめます。式だけが並んで言葉が無い答案は、本番で読み手に伝わらないので、一行ごとに「なぜその式が出るか」を日本語で添える練習をします。

例題で確かめる

例題は自作です。

例題1（解析・重積分）。領域 D を、0 ≦ x ≦ 1 かつ 0 ≦ y ≦ x とします。D の上で (x + y) を重積分した値を求めます。

手順。D は、原点と点 (1, 0) と点 (1, 1) を頂点とする三角形です。先に y で積分し、あとで x で積分します。y の範囲は 0 から x まで、x の範囲は 0 から 1 までです。内側の積分は、(x + y) を y について 0 から x まで積分して、x・x + x²/2 = 3x²/2 になります。外側の積分は、3x²/2 を x について 0 から 1 まで積分して、x³/2 を 0 と 1 で評価し、1/2 − 0 = 1/2 です。答えは 1/2 です。

例題2（線形代数・固有値）。2次の正方行列 A を、1行目が (2, 1)、2行目が (1, 2) とします。A の固有値と固有ベクトルを求め、A⁵ の1行1列の成分を求めます。

手順。固有方程式は (2 − λ)² − 1 = 0 です。展開して λ² − 4λ + 3 = 0、因数分解して (λ − 1)(λ − 3) = 0 なので、固有値は 1 と 3 です。固有値 1 に対しては (A − E)v = 0 から、v = (1, -1) の向きが取れます。固有値 3 に対しては (A − 3E)v = 0 から、v = (1, 1) の向きが取れます。この二つを列に並べた行列を P とすると、A = P・diag(1, 3)・P⁻¹ です。A⁵ = P・diag(1, 243)・P⁻¹ となり、成分を計算すると、1行1列は (243 + 1)/2 = 122、1行2列は (243 − 1)/2 = 121 です。答えは 122 です。対角化を使わず、A² = (5, 4; 4, 5) から順にかけても同じ値に届きます。

例題3（確率統計・相関係数）。5組のデータ x = 1, 2, 3, 4, 5 と y = 2, 4, 5, 4, 5 について、相関係数を求めます。

手順。x の平均は 3、y の平均は 4 です。x の偏差は -2, -1, 0, 1, 2、y の偏差は -2, 0, 1, 0, 1 です。偏差の積の和は 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6。x の偏差の2乗の和は 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10、y の偏差の2乗の和は 4 + 0 + 1 + 0 + 1 = 6 です。相関係数は 6 ÷ √(10 × 6) = 6 ÷ √60 = 6 ÷ (2√15) = 3/√15 = √15/5 で、およそ 0.775 です。答えは √15/5 です。正の相関があり、x が増えると y もおおむね増える並びになっています。

この三つは、どれも1次の計算技能の型です。2次では、同じ素材に「なぜ固有値が実数になるのか」「相関係数が 1 を超えない理由」のような問いが足され、言葉で説明する部分が答案の半分を占めます。

まちがえやすいところ

一つ目は、重積分で積分の順序を変えたときに、範囲を取り違えることです。図3のように、例題1の領域 D は三角形で、y を先に積分するなら y は 0 から x まで、x は 0 から 1 までです。順序を入れ替えて x を先に積分するときは、x は y から 1 まで、y は 0 から 1 までに変わります。ここを x も y も 0 から 1 までとしてしまうと、領域が正方形になり、値は 1 になって、正しい 1/2 の2倍になります。領域を図に描かずに式だけで範囲を決めるのが原因なので、どの問題でも先に図を描きます。

二つ目は、対角化で P と P⁻¹ の順番を取り違えることです。A = P・D・P⁻¹ の P は固有ベクトルを列に並べた行列で、A の n 乗は P・Dⁿ・P⁻¹ です。P⁻¹ を左に置くと、成分がまるごと変わります。固有ベクトルの向きを (1, -1) と (-1, 1) のどちらに取っても結果は同じですが、固有値の順と列の順がずれると D の対角成分の並びが合わなくなるので、P を書いたらその場で A・P と P・D を一つの成分だけでも計算して、等しいことを確かめます。

三つ目は、相関係数で、偏差ではなく元の値どうしの積を足してしまうことです。平均を引く前の x と y の積の和は 1×2 + 2×4 + 3×5 + 4×4 + 5×5 = 66 で、これを使うと値が 1 を超えて、相関係数として意味を持ちません。分母の平方根を忘れて 6 ÷ 60 とする誤りも多く、こちらは 0.1 という小さすぎる値になります。相関係数は必ず -1 以上 1 以下なので、求めた値がこの範囲を外れたら、その場で計算を戻します。

時間配分の失敗も加えておきます。2次で、5題の選択問題を上から読んで最初の2題に手を付けると、途中で解けないと気づいても戻れません。5題を2分ずつで読み、解ける見込みの高い2題に印を付けてから書き始めます。印を付けるまでの10分は、無駄に見えて最も価値のある10分です。

確かめの問題

次の3問を、時間を測って解いてみます。例題と同じ型でも、数と素材は変えてあります。

問1（解析）。x² と e⁻ˣ の積を、x について 0 から無限大まで積分した値を求めます。

問2（線形代数）。3次の正方行列で、1行目が (1, 2, 3)、2行目が (0, 1, 4)、3行目が (5, 6, 0) の行列式を求めます。

問3（確率）。さいころを3回投げて、6の目が少なくとも1回出る確率を求めます。

答えと解説

問1の答えは 2 です。部分積分を2回行います。x² e⁻ˣ の積分は、-x² e⁻ˣ + 2∫x e⁻ˣ dx で、さらに x e⁻ˣ の積分は -x e⁻ˣ − e⁻ˣ です。0 から無限大の範囲では、x のべきと e⁻ˣ の積はすべて無限大で 0 に近づくので、残るのは下端の値だけになり、2 × 1 = 2 です。ガンマ関数で言えば Γ(3) = 2 の階乗 = 2 と同じ値で、1次ではこの形の積分を手早く片付ける力が要ります。

問2の答えは 1 です。1行目で展開します。1 × (1 × 0 − 4 × 6) − 2 × (0 × 0 − 4 × 5) + 3 × (0 × 6 − 1 × 5) = -24 + 40 − 15 = 1 です。符号の付け方を間違えると -24 − 40 − 15 のように大きく外れるので、展開のたびに「プラス、マイナス、プラス」と声に出します。

問3の答えは 91/216 で、およそ 0.421 です。余事象を使います。3回とも6が出ない確率は (5/6)³ = 125/216 なので、少なくとも1回出る確率は 1 − 125/216 = 91/216 です。直接数えようとすると、1回だけ、2回だけ、3回すべての場合を足すことになり、計算の量が3倍になります。

次に受ける級と入試での扱い

1級は最上位なので、次に受ける級はありません。合格のあとは、2次の答案で言葉が足りなかった部分を、大学の講義や自分の勉強で深める段階に入ります。1級の前の段階にいる人は、準1級を取ってから1級の範囲に進むと、1変数の微分積分と複素数平面の計算が固まった状態で始められます。大学入試での扱いは、学校ごと、入試の方式ごとに異なり、数検の級がどう見られるかを一つに言うことはできません。志望先の募集要項で、検定の扱いの欄を自分の目で確かめます。個別指導では、1級を目指す人でも、まず準1級の範囲の計算で止まる所がないかを60分で確かめ、必要なら高校の微分積分まで戻って土台から積み直します。

まとめ

数検1級は、1次で60分7問の計算を正確に解き、2次で120分4題の記述を言葉と式でそろえる検定です。範囲は大学の1年と2年の数学にまたがるので、線形代数から始めて解析、確率統計の順に土台を作り、毎日90分の計算の反復で手を止めない。合格証に向かう道は、廊下で立ち止まった日に決めた順番を、三か月黙って守った人の机の上にしか現れません。