高校数学B 正規分布—標準化と面積の対応から区間の確率を読む｜武蔵野個別指導塾

分散から標準偏差を取り出し、標準化した両端と表の面積を結びつけて区間の確率を読み取れます。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が正規分布の標準化で、標準偏差の代わりに分散で割ってしまう場面です。平均からどれだけ離れたかを見ようとしているのに、分母を取り違えると、表で読む位置も面積も変わります。まず分散から標準偏差を取り出し、境界を左右それぞれ標準化してから、求める範囲を図に戻しましょう。ここでは連続型の確率と二項分布の近似を扱います。

問題文から面積までの道筋

出方の1つは、平均と分散を与えられ、ある値以下や2つの値の間に入る確率を求めるものです。分散が与えられたら正の平方根を取って標準偏差にします。値から平均を引き、その差を標準偏差で割ると、標準正規分布の横軸に移せます。

もう1つは、平均より左の範囲や、平均をまたぐ範囲を表と対称性で読むものです。表が示す面積の範囲は問題ごとに確認します。平均から右側の点までの面積を載せた表なのか、左端からその点までの累積面積を載せた表なのかで、足し引きが変わるためです。

さらに、独立な反復試行の成功回数について、二項分布を正規分布で近似する問題があります。成功確率が一定であることに加え、近似を使うのに十分な試行回数かを点検します。近似値と元の二項分布の厳密な確率は区別して書きます。

横軸の位置と曲線の下の面積

正規分布に従う確率変数 X の平均を μ、分散を σ² とします。σ は正の標準偏差です。分散が 9 なら σ は 3 であり、標準化した変数は Z = (X − μ) / 3 です。分子と分母はどちらも元の値と同じ単位なので、その比には単位がありません。平均から右へ標準偏差1個分の点は Z = 1、左へ1個分の点は Z = -1 です。

図1のように、X の境界を Z の境界に移すと、対応する面積は変わりません。正規曲線は平均を軸に左右対称です。曲線と横軸に挟まれた全体の面積を1とすると、平均の左右の面積はそれぞれ 0.5 です。区間の確率は曲線の高さではなく、その区間の上にある面積で読みます。

連続型では、ちょうど1点を取る確率は0です。したがって、端を含むかどうかによって区間の確率は変わりません。一方、端の位置を1つ間違えると面積そのものが変わるので、不等号の向きと境界値は丁寧に写します。

以下では、表の値 A(z) を、標準正規分布で 0 から正の z までの面積とします。たとえば A(1.00) = 0.3413 と与えられたら、0 から 1.00 までの面積がその値です。表の行 1.0 と列 0.00 の交点を読みます。負の値は表にそのまま入れず、左右対称を使って正の値に移します。累積面積を載せた表を使う場合は、0.5 を足すなど表の定義に合わせて読み替えます。

基本例題：境界を1つずつ移す

確率変数 X は平均 50、分散 16 の正規分布に従います。P(46 ≦ X ≦ 58) を小数第4位まで求めなさい。必要な表の値は A(1.00) = 0.3413、A(2.00) = 0.4772 とします。X に単位は付けないものとします。

まず、分散 16 の正の平方根を取り、標準偏差を求めます。

σ = √16 = 4

次に、Z = (X − 50) / 4 と置きます。分母は正なので、不等号の向きは変わりません。左右の境界を別々に計算します。

(46 − 50) / 4 = -1

(58 − 50) / 4 = 2

したがって、求める確率は P(-1 ≦ Z ≦ 2) です。図2のように平均の位置 0 で区切ると、左の面積と右の面積に分けられます。左の -1 から 0 は、対称性により 0 から 1 と等しい面積です。

P(-1 ≦ Z ≦ 2) = A(1.00) + A(2.00)

= 0.3413 + 0.4772

= 0.8185

答えは 0.8185 です。表の値は小数第4位に丸められているので、最後の和もその値を用いた結果です。検算では標準化を逆にして、50 + 4 × (-1) = 46、50 + 4 × 2 = 58 と元の両端に戻します。結果が1より小さく、平均の左右を含む比較的広い範囲の面積であることも確かめます。

境界のどちらかを移し忘れると、異なる尺度の数を同じ不等式に並べることになります。まず元の軸に 46、50、58 を順に書き、その下に -1、0、2 を対応させると、どの操作が残っているか見えます。表を引く前に図を描けば、足し算か引き算かも判断できます。

両端が平均の同じ側にあるとき

確率変数 Y は平均 100、標準偏差 10 の正規分布に従います。P(80 ≦ Y ≦ 90) を小数第4位まで求めなさい。A(1.00) = 0.3413、A(2.00) = 0.4772 とします。Y に単位は付けないものとします。

標準化して Z = (Y − 100) / 10 とすると、80 は -2、90 は -1 に移ります。求めるのは P(-2 ≦ Z ≦ -1) です。対称性から、この面積は右側の 1 から 2 までの面積に等しくなります。0 から 2 までの面積から 0 から 1 までを引くので、

P(-2 ≦ Z ≦ -1) = A(2.00) − A(1.00)

= 0.4772 − 0.3413 = 0.1359

となります。答えは 0.1359 です。逆変換すると 100 + 10 × (-2) = 80、100 + 10 × (-1) = 90 で、元の境界に戻ります。基本例題では0を挟んだため面積を足しましたが、今回は0からの大きい面積に小さい面積が含まれるため引きます。負号を見て機械的に引くのではなく、区間を描いて重なりを見てください。

右端を超える確率を問われた場合も同じ考え方です。たとえば Z が正の a より大きい部分は右半分から 0 から a の面積を除き、0.5 − A(a) です。全体から引くときは、除く範囲が求める範囲の補集合になっているかを確認します。

分母や表の範囲を取り違えたら

基本例題で「分散が 16 だから Z = (X − 50) / 16」とする誤答を考えます。この式では X = 58 が Z = 0.5 に移ります。しかし標準偏差は 4 なので、58 は平均より標準偏差2個分右です。図3のように、分散から平方根を取り、4を分母に戻します。逆変換 50 + 4 × 2 = 58 も、修正後の位置を確かめる手がかりです。

別の誤りは、表の 0.3413 を Z ≦ 1 の確率と読むことです。この表の値は 0 から 1 までの面積なので、左半分の 0.5 が含まれていません。求める範囲が Z ≦ 1 なら 0.5 + 0.3413 = 0.8413 とします。表の数だけを丸で囲む前に、その数がどこからどこまでの面積かを横に書くと修正できます。

また、左右対称だからといって -2 から -1 の面積を A(2.00) + A(1.00) とすると、0付近の部分を余分に数えます。図で目的の帯を塗り、0からの広い範囲から狭い範囲を除くと確認できます。負の境界を正に移す際には、左右の順番が入れ替わる点も見落とさないようにします。

二項分布を近似するときの境目

独立な n 回の試行で、毎回の成功確率が p で一定のとき、成功回数 B は二項分布に従います。平均は np、分散は np(1 − p) です。n が十分大きく、np と n(1 − p) がともに十分大きい場合には、平均 np、分散 np(1 − p) の正規分布で近似できます。目安として両方が5以上かを見ることがありますが、必要な精度や問題の指示で判断します。この目安を満たしても近似値が厳密値になるわけではありません。

たとえば n = 100、p = 0.5 なら平均 50、分散 25、標準偏差 5 です。整数値を取る B の 45 以上 55 以下を連続型で近似するとき、連続性の補正を用いるなら 44.5 以上 55.5 以下の面積を使います。標準化した境界は -1.1 と 1.1 です。整数 45 と 55 の幅をそれぞれ半分ずつ外に広げ、連続的な帯に対応させています。補正の有無が問題に指定されていれば、その指示に従います。

一方、n = 10、p = 0.01 では np = 0.1 であり、成功回数は0付近に偏ります。上の目安を満たさないため、対称な正規曲線での近似をそのまま使う判断はできません。この場合は二項分布の式で直接計算する方法を考えます。標準偏差に分散を使う誤りと同様、条件の確認を飛ばすと、表を正確に読んでも求めたい確率から離れます。

表の値には丸めによる誤差があります。区間の両端で読んだ値を引くときも、問題が指定する表の値を使い、その結果を指定された桁で表します。表にない境界を別の値に勝手に置き換えると、求める区間が変わります。使う表に必要な値があるか、計算の前に境界と照らしてください。

成功回数を連続型で近似するとき、例えば72回以上88回以下の範囲には、71.5から88.5までの帯を対応させます。下端を左へ、上端を右へ半分ずつ広げることで、両端の整数を含められます。整数の端を含めるかどうかで補正後の位置が変わるので、不等号を見ずに常に同じ方向へ 0.5 を加えることはできません。元の整数の条件を数直線に書いてから、対応する帯を決めます。

自分で取り組む4問

次の表は A(z) を 0 から正の z までの面積として示します。A(0.50) = 0.1915、A(1.00) = 0.3413、A(1.50) = 0.4332、A(2.00) = 0.4772。確率はこれらの表の値を使い、小数第4位まで答えてください。各確率変数に単位は付けません。

1. U は平均 20、分散 36 の正規分布に従います。P(U ≦ 23) を求めなさい。
2. V は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。P(58 ≦ V ≦ 66) を求めなさい。
3. W は平均 200、分散 100 の正規分布に従います。P(190 ≦ W ≦ 220) を求めなさい。
4. 独立な 400 回の試行で、各回の成功確率は 0.5 です。成功回数を二項分布とし、正規分布で近似します。連続性の補正を用いて、成功回数が 190 以上 209 以下となる確率を求めなさい。A(0.95) = 0.3289、A(1.05) = 0.3531 を使ってください。

解答と確かめ方

1. 標準偏差は √36 = 6 です。23 は (23 − 20) / 6 = 0.5 に移るので、求める範囲は Z ≦ 0.5 です。左半分と 0 から 0.5 までを足し、0.5 + 0.1915 = 0.6915 です。逆に 20 + 6 × 0.5 = 23 となり、境界が元に戻ります。

2. 両端は (58 − 70) / 8 = -1.5、(66 − 70) / 8 = -0.5 です。対称性により 0.5 から 1.5 の面積に等しく、0.4332 − 0.1915 = 0.2417 です。70 + 8 × (-1.5) = 58、70 + 8 × (-0.5) = 66 と両端に戻ります。平均の左側の帯なので、0からの面積を足さないことも確かめます。

3. 標準偏差は √100 = 10 です。190 と 220 はそれぞれ -1 と 2 に移ります。平均をまたぐので 0.3413 + 0.4772 = 0.8185 です。逆変換で 200 + 10 × (-1) = 190、200 + 10 × 2 = 220 となります。分散 100 で割った値を表に入れないよう、先に平方根を書きます。

4. 平均は 400 × 0.5 = 200、分散は 400 × 0.5 × 0.5 = 100、標準偏差は 10 です。np と n(1 − p) はともに 200 で、近似の目安を満たします。補正後の境界は 189.5 と 209.5 です。それぞれ標準化すると -1.05 と 0.95 です。ここで A(1.05) = 0.3531 も使うと、求める近似確率は 0.3531 + 0.3289 = 0.6820 です。逆変換で 200 + 10 × (-1.05) = 189.5、200 + 10 × 0.95 = 209.5 と補正後の境界に戻ります。帯に含めた整数は190から209までです。

手元に残す要点

分散の正の平方根が標準偏差です。 境界ごとに平均を引き、標準偏差で割ります。 表の面積の始点を確認し、図に合わせて足し引きします。 二項分布の近似は条件と連続性の補正を確かめます。

止まった場所から確かめる

標準化で止まったら、平均と分散を問題文に印を付けて拾い、平方根を取った数を別に書いてみます。境界を戻したとき元の値と合わなければ、分母か引き算の順を点検できます。表を引いた後で止まる場合は、表の値が表す領域と求める領域を別々に塗り、重なる部分を除くのか、隣り合う部分を足すのかを見ます。

個別指導で確かめるなら、最初に本人が書いた不等式と図を並べ、どの端から値がずれたかをたどります。近似の問題では、独立性と一定の成功確率をどこから読んだか、補正後の帯に必要な整数が入るかを言葉にします。境界と面積を対応させれば、正規分布の計算は自分の手で点検できます。