高校数学B 標本平均の分布—母集団と標本を分けて平均のばらつきを読む｜武蔵野個別指導塾

復元抽出の9通りから平均の分布をたどります。ばらつきを決めるのは母分散と標本数です。

よくあるのは、定期テスト前に標本平均の分散を求める式を立てながら、母分散をそのまま答えにしてしまう場面です。1回の抽出で得る値と、何回かの値を平均したものは、どちらも数で表されます。しかし、取りうる値とその確率は同じとは限りません。母集団から選ぶ操作を描き、1回の値と標本平均を別々の確率変数として扱うところから始めます。

何を求める問題なのか

標本平均の分布には、主に3つの出方があります。1つ目は母平均と母分散、標本の大きさが与えられ、標本平均の期待値と分散を求める型です。答えに標準偏差も求められるときは、分散を出した後で平方根を取ります。

2つ目は、少数の値からなる母集団を使い、抽出の組合せを列挙する型です。各組合せの平均を並べると、標本平均が同じ値になる組が複数あることに気づきます。その個数を数えて分布を作れば、公式の結果を直接確かめられます。

3つ目は、標本の大きさを変えたときに、平均のばらつきがどう変わるかを問う型です。標本の大きさを4倍にすると分散は4分の1になり、標準偏差は2分の1になります。何を4倍にし、何が半分になるのかを区別して読みます。

以下では復元による無作為抽出を中心に扱います。信頼区間の計算や仮説検定の判断には進まず、平均そのものの分布を読むための準備に絞ります。学校で指定された範囲や記号に合わせて、式の読み方を確かめてください。

母集団から標本平均までの道筋

母集団は、調べたい対象全体です。そこから選んだものが標本で、選んだ個数を標本の大きさと呼びます。例えばカードを1枚引いて数を記録し、元に戻して混ぜる操作を繰り返すと、同じカードが再び選ばれることもあります。これが復元による抽出です。

図1のように、母集団からの各回の値を X₁、X₂、…、Xₙ と置き、その平均を X̄ とします。抽出前の X̄ は、選び方によって変わる確率変数です。実際にカードを引いた後に得られた平均は、X̄ のとった具体的な値であり、確率変数そのものとは区別します。

図1では戻してから次を引くため、各回の値は同じ分布に従い、互いに独立です。各回で取りうる値とその確率が同じであることを「同分布」といい、前の結果が次の確率を変えないことを「独立」といいます。両方の条件をまとめて独立同分布と呼びます。

母集団の平均を μ、分散を σ² とすると、各回について E(Xᵢ) = μ、V(Xᵢ) = σ² です。標本平均は X̄ = (X₁ + X₂ + … + Xₙ)/n なので、期待値は次のようになります。

E(X̄) = {E(X₁) + E(X₂) + … + E(Xₙ)}/n = nμ/n = μ

一方、独立な確率変数の和の分散は、それぞれの分散の和です。また、確率変数を定数倍すると分散はその定数の平方倍になります。したがって次の式が得られます。

V(X̄) = (1/n²){V(X₁) + V(X₂) + … + V(Xₙ)} = nσ²/n² = σ²/n

標本平均の標準偏差は √(σ²/n) = σ/√n です。ここで σ は母標準偏差であり、0以上とします。期待値は母平均のままですが、標本平均の分散は母分散を n で割った値です。平均の分布が母平均を中心にどの程度散らばるかを、この分散で表します。

なお、母集団の分布が正規分布なら標本平均も正規分布に従います。母集団が正規分布でない場合も、独立同分布で分散が有限で、標本が十分大きければ正規分布で近似できる場合があります。近似の妥当性は母集団の形や標本の大きさによるため、一律の個数で判断しません。

9通りの平均から公式を確かめる

【基本例題】0、2、4 と書かれた同じ形のカードが各1枚入った箱から、1枚を無作為に引いて数を記録し、戻して混ぜる操作を2回行います。各カードは毎回同じ確率で選ばれます。2回の値の平均を X̄ とするとき、X̄ の確率分布、期待値、分散をそれぞれ正確な分数または整数で求めてください。カードの数は単位を持たないものとします。

まず1回に得る値 X の分布を整理します。0、2、4 がそれぞれ確率 1/3 で出るので、母平均は次のとおりです。

E(X) = 0 × 1/3 + 2 × 1/3 + 4 × 1/3 = 2

分散を出すため、値の平方の期待値も計算します。

E(X²) = 0² × 1/3 + 2² × 1/3 + 4² × 1/3 = 20/3

V(X) = E(X²) − {E(X)}² = 20/3 − 2² = 8/3

次に2回の抽出を順序つきで考えます。図2のように、1回目と2回目はそれぞれ3通りあり、9組の確率はすべて 1/9 です。マスの数字はカードの数そのものではなく、その行と列の2つの数を平均した値です。

図2の中央のマスなら (2 + 2)/2 = 2 です。平均0は1組、平均1は2組、平均2は3組、平均3は2組、平均4は1組です。それぞれの個数を9で割り、確率の合計が1になることも確かめます。

この表から標本平均の期待値を計算すると、

E(X̄) = 0 × 1/9 + 1 × 2/9 + 2 × 3/9 + 3 × 2/9 + 4 × 1/9

= (0 + 2 + 6 + 6 + 4)/9 = 18/9 = 2

次に平方の期待値と分散を求めます。

E(X̄²) = 0² × 1/9 + 1² × 2/9 + 2² × 3/9 + 3² × 2/9 + 4² × 1/9

= (0 + 2 + 12 + 18 + 16)/9 = 48/9 = 16/3

V(X̄) = 16/3 − 2² = 4/3

公式で計算しても、母分散が 8/3、標本の大きさが2なので、V(X̄) = (8/3)/2 = 4/3 です。2という母平均は変わらず、分散は母分散の半分になりました。元の9組に戻って数えても表の個数は 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 となり、重複や数え落としはありません。

平均の分布を使って条件を読み取る

【例題】1と5が書かれた同じ形の札が各1枚入った袋から、札を無作為に1枚引いて戻す操作を4回行います。毎回どちらの札も同じ確率で選ばれ、各回は独立です。4回の数の平均を Ȳ とします。Ȳ の期待値、分散、標準偏差を整数で、Ȳ が4以上になる確率を正確な分数で求めてください。札の数に単位はありません。

1回の数を Y とします。1と5は等確率なので、母平均と母分散は次のように求まります。

E(Y) = (1 + 5)/2 = 3

V(Y) = (1 − 3)² × 1/2 + (5 − 3)² × 1/2 = 4

4回の値は独立同分布ですから、E(Ȳ) = 3、V(Ȳ) = 4/4 = 1、標準偏差は √1 = 1 です。分散と標準偏差がどちらも1になるのは、この数を選んだ結果です。常に同じ値になるわけではありません。

確率を求めるときは分布の形に注意します。4回は少数なので、正規分布と決めつけず、札の出方を直接数えます。5の札が出た回数を k と置くと、1の札は 4 − k 回です。合計は 5k + 1(4 − k) = 4 + 4k、平均は (4 + 4k)/4 = 1 + k です。

Ȳ が4以上という条件は 1 + k ≥ 4、すなわち k ≥ 3 に変わります。k = 3 となる並びは、1が出る場所を4か所から選ぶので4通り、k = 4 は1通りです。各回の2通りの出方が等確率で独立なので、4回の並びは16通りで、それぞれの確率は 1/16 です。求める確率は (4 + 1)/16 = 5/16 となります。

元の札の数に戻すと、k = 3 では合計 5 + 5 + 5 + 1 = 16、平均4です。k = 4 では合計20、平均5です。k = 2 のときは平均3なので条件に入らず、境目の数え方も確かめられます。

間違いをたどって式を直す

図3のように、基本例題の母分散 8/3 を、そのまま標本平均の分散とする誤答を考えます。原因は、1回の値の分散と、2回の値を平均した確率変数の分散を同じ記号のまま扱うことです。母分散がわかった時点で計算を終えず、何回分の平均かを式に書き加えます。

図3の修正では、標本の大きさ n = 2 を使い、(8/3)/2 = 4/3 とします。標準偏差を求める問いなら、さらに √(4/3) = 2√3/3 です。分散を2で割る操作と、その後に平方根を取る操作を一度に済ませないようにします。

別の誤りとして、平均の式に 1/n があるから、和の分散も 1/n 倍するという考え方があります。実際は定数倍の平方を使うので 1/n² 倍です。独立な n 個の分散を足して nσ² とした後、1/n² を掛けると σ²/n が残ります。割る回数を暗記する前に、この2段階を書きます。

戻さずに引く場合にも注意します。例えば0と2のカードを各1枚用意し、2枚を戻さずに引けば、2回目の値は1回目で決まります。平均は必ず1で、その分散は0です。各回の分布が同じでも独立ではないため、復元抽出の式をそのまま使えません。抽出方法が書かれていない場合は、独立と決めつけず、問題の条件を見直します。

手を動かして確かめる問題

次の問題では、それぞれに書いた抽出条件を使ってください。値の単位はすべてありません。答えは問題をまとめた後に載せています。

1. 2と6が書かれた同じ形のカードが各1枚あります。無作為に1枚引き、戻して混ぜる操作を3回行います。毎回各カードは同じ確率で選ばれ、各回は独立です。3回の標本平均の期待値と分散を正確な分数または整数で、標準偏差を根号を用いて求めてください。
2. 復元抽出で得る各回の値が独立同分布で、母平均が10、母分散が36です。9回の標本平均の期待値、分散、標準偏差をそれぞれ整数で求めてください。
3. 復元抽出で得る各回の値が独立同分布で、母分散が25です。標本平均の分散を1以下にするために必要な標本の大きさの最小値を整数で求めてください。
4. 3と9が書かれた同じ形の札が各1枚あります。無作為に1枚引き、戻して混ぜる操作を2回行います。毎回各札は同じ確率で選ばれ、各回は独立です。2回の標本平均が6以上になる確率を正確な分数で求めてください。

問題の答えと考え方

1. 1回の値を A とすると、母平均は E(A) = (2 + 6)/2 = 4 です。母分散は V(A) = (2 − 4)² × 1/2 + (6 − 4)² × 1/2 = 4 です。したがって標本平均の期待値は4、分散は 4/3、標準偏差は √(4/3) = 2√3/3 です。元のカードに戻して、2と6のずれがそれぞれ -2、2であることを確認すると、平方の平均は確かに4です。3回分の平均の分散 4/3 を3倍すれば、各回の分散4に戻ります。

2. 標本の大きさは9なので、期待値は10、分散は 36/9 = 4、標準偏差は √4 = 2 です。逆に標本平均の分散4を9倍すると、条件の母分散36になります。標本平均の標準偏差2を9倍するのではなく、平方した分散で確認します。

3. 標本の大きさを正の整数 n とすると、標本平均の分散は 25/n です。求める条件は 25/n ≤ 1 で、n は正なので両辺に n を掛けて 25 ≤ n です。最小値は25です。実際に n = 25 なら分散は1、直前の n = 24 なら 25/24 で1を超えるため、最小であることも確認できます。

4. 順序つきの結果は (3, 3)、(3, 9)、(9, 3)、(9, 9) の4通りで、各確率は 1/4 です。平均は順に3、6、6、9なので、6以上は後ろの3通りです。答えは 3/4 です。元の札の合計が12以上なら平均が6以上となり、該当する合計は12、12、18です。等号を含む2組を落としていないことも確かめます。

持ち帰る4行

母集団の値と標本平均は別の確率変数です。 独立同分布の n 個の標本平均の期待値は μ、分散は σ²/n です。 標準偏差は分散の平方根で、σ/√n です。 戻さない抽出では独立性を確かめます。

どの行で止まったかを見る

母平均と母分散は計算できるのに次へ進めないときは、求めるものが X か X̄ かを問題文と式の両方に書いてみます。2つを言葉で区別できれば、母分散をそのまま転記した箇所を見つけやすくなります。

個別指導で確認するときは、抽出後に戻す矢印を自分で描けるか、和の分散から平均の分散へ移る行に 1/n² を書けるかを見ます。分散が出た後に平方根を取る位置まで説明できれば、標本数とばらつきの関係を式で追えます。平均を作る操作を先に押さえると、分散の割り算に意味が生まれます。