中学受験の算数 発言の真偽と推理—仮定ごとの矛盾を調べて残る場合を確かめる｜武蔵野個別指導塾

三人が「私はやっていません」と言い合う場面で、正しい発言の人数から、だれがしたのかを表で決めます。反対の組の見分け方とカード当ての練習で、迷ったときの戻り先になるのは、三つの発言の真偽です。

三人が一つの出来事について一言ずつ話すとき、どの発言が本当でどの発言がうそかは、聞いただけでは分かりません。よくあるのは、だれか一人の発言だけを取り上げて「この人がやったのだ」と決めてしまう場面です。決めるための材料は、発言の勢いや話し方ではなく、「三人のうち正しいことを言った人は何人か」という人数の条件です。この人数を手がかりに、考えられる場合を一つずつ試し、条件に合わない場合を消していきます。

ここで扱うのは、整数や図形ではなく、発言の真偽を一つずつ決めて、指定された人数に合う場合を残す推理です。並べ方や組み合わせを数える問題とは違い、答えは「だれか」「どの数か」「どの順番か」という一つの場合に絞られます。扱わないのは、発言の内容から性格や気持ちを読むこと、起こりやすさを数えることです。発言はどれも、正しいか正しくないかのどちらかに決まる文として扱います。

出方には三つの型があります。一つ目は、三人が一言ずつ話し、正しい発言の人数が指定される型です。二つ目は、話す人が四人以上に増え、発言の数も増える型です。三つ目は、カードの持ち主や並ぶ順番のように、候補が「だれが何を持つか」の割り当てになる型です。どの型も、次の見通しで解けます。まず候補を全部書き出し、次に候補を一つ仮定して全発言の真偽を決め、最後に正しい発言の数を条件と比べます。この三つの段階を毎回同じ順番でたどると、途中で何をしているのかを見失いません。

用語と考え方

発言の中身を「命題」といいます。「Aさんが鍵を返した」のように、正しいか正しくないかのどちらかに決まる文です。命題が実際に正しいとき「真」、正しくないとき「偽」といいます。一つの命題は、真か偽のどちらか一方だけです。真でも偽でもある文や、どちらでもない文は、ここでは扱いません。

推理の条件になるのは、「正しい発言は何人分か」という人数です。問題文に「正しい発言はちょうど1つ」とあれば、偽の発言は残りの数だけあることになります。三つの発言なら、正しいのが1つ、偽が2つです。この対応を最初に押さえると、数え間違いが減ります。「正しい人数」と「うそをついた人数」は別の数なので、読み替えません。正しいのが1人なら、うそをついたのは2人です。どちらを数えているのかを、条件の文に戻って確かめます。

候補を一つ仮定することを、ここでは「場合を置く」と呼びます。返した人が三人の中の一人なら、候補は三つです。Aさんが返した場合、Bさんが返した場合、Cさんが返した場合を、それぞれ別の行として並べます。どの行も、発言の真偽がすべて決まります。決まった真偽を数え、条件の人数と比べれば、合う行と合わない行に分かれます。合う行が一つだけなら、その行が答えです。

この作業を一枚の表にしたものが真偽表です。行に「だれがやったか」の候補、列に「だれの発言か」を置きます。表の一つのますは、「その行の状況で、その人の発言が真か偽か」を表します。ますを埋めるときは、発言の内容をその行の状況に当てはめて読み直します。発言者がだれかと、発言がだれについて述べているかは別なので、列の名前と発言の主語を混ぜないことが大切です。

たとえば、Cさんの発言が「Aさんがやった」であれば、Cさんの列はAさんの行動についての真偽です。Cさんがやったかどうかではありません。列の見出しは発言者、ますの中身は話題にされた人の行動、と分けて読むと、表の意味が崩れません。表を書くときは、列の上に発言を短く写し、行の左に候補の名前を書くと、読み返すときに迷いません。

反対のことを述べる二つの発言には、便利な性質があります。「Bさんがやった」と「Bさんはやっていない」は、同じ出来事について正反対の内容です。Bさんがやったなら前者が真で後者が偽、Bさんがやっていないなら前者が偽で後者が真になります。つまり、この二つの発言のうち、必ず一方だけが真です。両方が真になることも、両方が偽になることもありません。この組を見つけると、数える手間を減らせます。

ただし、反対の組だけで答えが決まるとは限りません。組が使う「正しい1つ分」を、条件の人数から引いて残りを考える必要があります。条件が「正しい発言は1つ」なら、組で1つを使い切るので、残りの発言はすべて偽です。条件が「2つ」なら、組の1つに加えて、もう1つが真になります。条件の数によって、次に調べることが変わる点が分かれ目です。

手順を五つにまとめます。第一に、やった人や持ち主の候補を全部書き出します。第二に、候補を一つ仮定し、全発言の真偽を決めます。第三に、真の数を数えます。第四に、条件の人数と比べ、合わない候補を消します。第五に、残った候補が一つだけか確かめ、その答えを発言に戻して数え直します。第五の確かめを省くと、条件の読み違いに気づけません。

候補を全部書き出すときは、問題文が候補の範囲をどこまで定めているかを読みます。「三人の中の一人」なら候補は三つ、「四人の中の一人」なら四つです。候補の外に答えがあるように見えても、問題文が範囲を決めているなら、その外は調べません。逆に、候補の一人を書き忘れると、その行が条件に合っていても気づけません。行の数は、問題文に出てくる人数と一致させます。

図1のように、候補を仮定してから真偽を数え、最後に人数と比べる順番で進めます。下段の「Bさんがやった」「Bさんはやっていない」のような反対の組は、どちらか一方だけが真になるので、人数の見積もりに使えます。組を見つけたら、その組が条件の人数のうちいくつを使うかを先に決めます。

基本例題

Aさん、Bさん、Cさんの三人が、職員室に鍵を返したのはだれかについて話しています。鍵を返したのは三人の中の一人だけで、ほかの二人は返していません。三人の発言は次のとおりです。

A「私は鍵を返していません。」 B「私も鍵を返していません。」 C「Aさんが鍵を返しました。」

三人のうち、正しいことを言った人はちょうど一人でした。鍵を返した人はだれですか。

まず候補を三つ書き出します。Aさんが返した場合、Bさんが返した場合、Cさんが返した場合です。それぞれの場合で、三つの発言が真か偽かを順に決めます。

Aさんが返した場合を考えます。Aさんの「私は返していません」は、Aさんが返したのですから偽です。Bさんの「私も返していません」は、Bさんは返していないので真です。Cさんの「Aさんが返しました」は、そのとおりなので真です。真の数は二つになり、条件の一つと合いません。

Bさんが返した場合を考えます。Aさんの発言は、Aさんは返していないので真です。Bさんの発言は、Bさんが返したのに「返していない」と言っているので偽です。Cさんの発言は、Aさんは返していないので偽です。真の数は一つで、条件と合います。

Cさんが返した場合を考えます。Aさんの発言は真、Bさんの発言も真、Cさんの発言は偽です。真の数は二つで、条件と合いません。

三つの場合を並べると、条件に合うのはBさんが返した場合だけです。ほかの二つの場合は、真の数が二つになり、条件の一つを超えています。したがって、鍵を返した人はBさんです。

同じ答えを、反対の組から先に求めることもできます。Aさんの発言とCさんの発言は、どちらも「Aさんが返したかどうか」について述べていて、内容が反対です。この二つのうち、必ず一方だけが真になります。正しい発言は全部で一つですから、その一つはAさんかCさんのどちらかで、Bさんの発言は偽です。Bさんの「私も返していません」が偽なので、Bさんが返したと決まります。

Bさんが返したときの三つの発言を、表とは別に数え直します。Aさんは「私は返していない」で真、Bさんは「私も返していません」で偽、Cさんは「Aさんが返しました」で偽です。真は一つだけで、条件と一致します。表の行を読む数え方と、反対の組から進む数え方の両方が、同じ答えを指しています。

図2のように、三つの場合と三つの発言を一枚の表にすると、行と列の交わるところで真偽が決まります。行は「だれが返したか」、列は「だれの発言か」を表し、右端が真の数です。真の数が一つの行はBさんの行だけです。ほかの行は二つになり、条件から外れます。

標準例題

Aさん、Bさん、Cさんの三人が、図書室の返却本を棚に戻したのはだれかについて話しています。本を戻したのは三人の中の一人だけです。発言は次の三つです。

A「Bさんが本を戻しました。」 B「私は本を戻していません。」 C「Aさんが本を戻しました。」

三人のうち、正しいことを言った人はちょうど二人でした。本を戻した人はだれですか。

基本例題と同じく、候補を三つ置いて数えます。Aさんが戻した場合は、Aさんの発言が偽、Bさんの発言が真、Cさんの発言が真で、真の数は二つです。Bさんが戻した場合は、Aさんが真、Bさんが偽、Cさんが偽で、真の数は一つです。Cさんが戻した場合は、Aさんが偽、Bさんが真、Cさんが偽で、真の数は一つです。

条件は真の数が二つですから、合うのはAさんが戻した場合だけです。答えはAさんです。

反対の組を使うと、次のように進みます。Aさんの発言とBさんの発言は、どちらも「Bさんが戻したかどうか」について述べていて、内容が反対です。この二つのうち、必ず一方だけが真です。条件の真は二つなので、残りの一つの真はCさんの発言です。Cさんの「Aさんが本を戻しました」が真ですから、戻した人はAさんです。

基本例題との違いを確かめます。基本例題では、反対の組が使う一つで条件の人数を使い切ったので、三つ目の発言は偽でした。標準例題では条件が二つなので、反対の組の一つに、三つ目の真が加わります。同じ形の発言でも、指定された人数が変わると、次に決める発言が変わります。ここがこの型の分かれ目です。

Aさんが戻したときの三つの発言を、もう一度読み直します。Aさんの「Bさんが戻しました」は偽、Bさんの「私は戻していません」は真、Cさんの「Aさんが戻しました」は真です。真は二つで、条件と一致します。BさんやCさんが戻した場合は、真が一つしかなく、条件に届きません。

発展例題

Aさん、Bさん、Cさん、Dさんの四人が、体育館のマットを運んだのはだれかについて話しています。マットを運んだのは四人の中の一人だけです。発言は次の四つです。

A「Bさんがマットを運びました。」 B「Cさんがマットを運びました。」 C「Aさんはマットを運んでいません。」 D「Bさんはマットを運んでいません。」

四人のうち、正しいことを言った人はちょうど三人でした。マットを運んだ人はだれですか。

四人なので候補は四つです。それぞれの場合で、四つの発言の真偽を決めます。

Aさんが運んだ場合は、Aさんの発言が偽、Bさんの発言が偽、Cさんの発言が偽、Dさんの発言が真で、真の数は一つです。Bさんが運んだ場合は、Aさんが真、Bさんが偽、Cさんが真、Dさんが偽で、真の数は二つです。Cさんが運んだ場合は、Aさんが偽、Bさんが真、Cさんが真、Dさんが真で、真の数は三つです。Dさんが運んだ場合は、Aさんが偽、Bさんが偽、Cさんが真、Dさんが真で、真の数は二つです。

条件は真の数が三つですから、合うのはCさんが運んだ場合だけです。答えはCさんです。

反対の組で確かめます。Aさんの「Bさんが運びました」とDさんの「Bさんは運んでいません」は反対の内容で、必ず一方だけが真です。条件の真は三つなので、反対の組の一つに加えて、BさんとCさんの発言が両方とも真になります。Bさんの「Cさんが運びました」が真ですから、運んだ人はCさんです。Cさんの「Aさんは運んでいません」も、Cさんが運んだのですから真です。四つの発言の真偽は、偽、真、真、真となり、数え直しても三つです。

もう一度、別の順序で照合します。もし運んだ人がDさんなら、真になるのはCさんとDさんの二つだけで、三つに届きません。Aさんなら一つ、Bさんなら二つです。四つの行のどれも三つにならないことを確かめてから、Cさんの行だけを残します。数の多い条件では、一見すると複数の行が合いそうに見えますが、表の列を一つずつ読むと違いが出ます。

一人の発言だけで決めると、どこで崩れるか

基本例題の場面で、Cさんの「Aさんが鍵を返しました」だけを聞いて、返した人をAさんと決めてしまう誤りがあります。Cさんの発言が真ならAさんですが、Cさんがうそをついている可能性を消していません。発言を一つ取り出しただけでは、その発言の真偽は決まらないのです。

この誤りを表で確かめます。Aさんが返した場合、真になる発言はBさんとCさんの二つです。条件は真が一つでしたから、Aさんの行は条件に合いません。一人の発言だけで決めると、正しい人数の条件を無視したことになります。原因は、発言の内容と、正しい人数という二つの材料のうち、片方しか使っていない点にあります。

似た誤りに、「正しい発言が一つ」を「うそをついた人が一人」と読み替えてしまうものがあります。うそが一人なら、正しい発言は二つです。この読み方で基本例題を調べると、Aさんの行とCさんの行の両方が真二つになり、候補が二人残ります。答えを一つに決められないのは、条件の向きを取り違えているからです。問題文の「正しい」「うそ」のどちらを数えているかを、指で押さえて確かめます。

発言者と、発言が述べている相手を取り違える誤りもあります。Cさんの発言は、Cさん自身ではなくAさんについて述べています。表の列は発言者、行はやった人です。Cさんの列を読むときは、「Aさんがやったかどうか」を基準にします。列の名前だけを見て、Cさんがやったかどうかを考えてしまうと、ますの真偽が逆になります。

図3のように、左の順で一つの発言だけを見て結論を出すと、表に戻したときに正しい人数が条件と食い違います。右の順で候補を全部置いて数え、条件に合う行を探すように直すと、崩れる場所が見つかります。誤りを見つけたら、どの行のどの列で数え間違えたのかを、指でたどって確かめます。

練習問題

次の五問を解いてください。答えはこの節の後ろにまとめてあります。どの問題も、答えは候補の中の一つの場合に決まります。条件の人数は、問題ごとに確かめてください。

1. Aさん、Bさん、Cさんの三人が、昇降口の落とし物を職員室に届けたのはだれかについて話しています。A「私は届けていません。」B「Cさんが届けました。」C「私は届けていません。」正しい発言がちょうど一つのとき、届けた人はだれですか。

2. Aさん、Bさん、Cさんの三人が、黒板に日付を書いたのはだれかについて話しています。A「Bさんが書きました。」B「Cさんが書きました。」C「私は書いていません。」正しい発言がちょうど二つのとき、書いた人はだれですか。

3. Aさん、Bさん、Cさん、Dさんの四人が、教室のごみ箱の袋を替えたのはだれかについて話しています。A「Bさんが替えました。」B「Dさんが替えました。」C「Bさんは替えていません。」D「Aさんは替えていません。」正しい発言がちょうど三つのとき、替えた人はだれですか。

4. Aさん、Bさん、Cさんの三人が、1、2、3のカードを一枚ずつ持っています。三人は次のように言いました。A「私のカードは1です。」B「私のカードは2です。」C「Aさんのカードは3ではありません。」正しい発言がちょうど二つのとき、三人のカードの数はそれぞれいくつですか。

5. Aさん、Bさん、Cさんの三人が、教室のカレンダーをめくったのはだれかについて話しています。A「Bさんがめくりました。」B「Cさんがめくりました。」C「Aさんはめくっていません。」正しい発言がちょうど0人のとき、めくった人はだれですか。

練習問題の答えと解き方

1. 答えはAさんです。Aさんの発言とCさんの発言は、どちらも「Aさんが届けたかどうか」について反対の内容を述べています。したがって、この二つのうち必ず一方だけが真です。正しい発言は一つですから、その一つはAさんかCさんのどちらかで、Bさんの発言は偽です。Bさんの「Cさんが届けました」が偽なので、Cさんは届けていません。残る候補を確かめます。Aさんが届けた場合、Aさんは偽、Bさんは偽、Cさんは真で、真は一つです。Bさんが届けた場合は、Aさんが真、Bさんが偽、Cさんが真で、真は二つです。Cさんが届けた場合は、Aさんが真、Bさんが真、Cさんが偽で、真は二つです。条件に合うのはAさんの場合だけです。

2. 答えはBさんです。Bさんの発言とCさんの発言は、どちらも「Cさんが書いたかどうか」について反対の内容を述べています。これらのうち、真になるのは一方だけです。正しい発言は二つなので、残りの一つの真はAさんの発言です。Aさんの「Bさんが書きました」が真ですから、書いた人はBさんです。確かめます。Bさんが書いたとき、Aさんは真、Bさんは偽、Cさんは真で、真は二つです。Aさんが書いた場合は、Aさんが偽、Bさんが偽、Cさんが真で、真は一つです。Cさんが書いた場合は、Aさんが偽、Bさんが真、Cさんが偽で、真は一つです。条件に合うのはBさんの場合だけです。

3. 答えはDさんです。Aさんの発言とCさんの発言は、どちらも「Bさんが替えたかどうか」について反対の内容を述べています。二つのうち、どちらか一方だけが真になります。正しい発言は三つなので、残りの二つ、BさんとDさんの発言が両方とも真になります。Bさんの「Dさんが替えました」が真ですから、替えた人はDさんです。Dさんの「Aさんは替えていません」も、Dさんが替えたのですから真です。確かめます。Dさんが替えたとき、Aさんは偽、Bさんは真、Cさんは真、Dさんは真で、真は三つです。Aさんの場合は一つ、Bさんの場合は二つ、Cさんの場合は二つで、どれも条件に届きません。

4. 答えはAさんが1、Bさんが3、Cさんが2です。カードの持ち方は六通りあります。Aさんが1、Bさんが2、Cさんが3なら、三つの発言はすべて真で、真は三つです。Aさんが1、Bさんが3、Cさんが2なら、Aさんは真、Bさんは偽、Cさんは真で、真は二つです。Aさんが2、Bさんが1、Cさんが3なら、Aさんは偽、Bさんは偽、Cさんは真で、真は一つです。Aさんが2、Bさんが3、Cさんが1なら、Aさんは偽、Bさんは偽、Cさんは真で、真は一つです。Aさんが3、Bさんが1、Cさんが2なら、Aさんは偽、Bさんは偽、Cさんの「Aさんは3ではありません」も偽で、真は0です。Aさんが3、Bさんが2、Cさんが1なら、Aさんは偽、Bさんは真、Cさんは偽で、真は一つです。条件の二つに合うのは二番目の場合だけで、三つのカードはAさんが1、Bさんが3、Cさんが2です。

5. 答えはAさんです。正しい発言が0人なので、三つの発言はすべて偽です。Aさんの「Bさんがめくりました」が偽ですから、Bさんはめくっていません。Bさんの「Cさんがめくりました」が偽ですから、Cさんもめくっていません。Cさんの「Aさんはめくっていません」が偽ですから、Aさんがめくったことになります。確かめます。Aさんがめくったとき、Aさんは偽、Bさんは偽、Cさんは偽で、真は0です。Bさんがめくった場合は、Aさんが真、Bさんが偽、Cさんが真で、真は二つです。Cさんがめくった場合は、Aさんが偽、Bさんが真、Cさんが真で、真は二つです。三つのうち、真が0になるのはAさんの場合だけです。正しい人数が0の場合も、条件として成り立ちます。

覚えておくこと

• 候補を全部書き、一つずつ仮定して全発言の真偽を決める。
• 表は行が「だれがやったか」、列が「だれの発言か」。ますはその状況での真偽。
• 反対の内容の二つは、必ず一方だけが真になる。
• 条件の人数から反対の組の一つ分を引き、残りの発言の真偽を決める。
• 答えを発言に戻し、真の数を数え直して条件と合わせる。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

一人の発言だけで結論を出す子は、表の行が一つしか埋まっていません。ノートを見ると、一つの発言の横に丸が付き、ほかの二人の発言が空欄になっています。そのときは、「ほかの二人がうそをつく可能性は消えた?」と聞き、三つの行を書かせます。行が三つそろえば、条件と比べる段階に進めます。

正しい人数とうそをついた人数を混同する子は、条件を言い換えるときに言葉が入れ替わります。「正しいのが1人」を「うそが1人」と言い直していたら、問題文に戻って「正しい」「うそ」のどちらを数えるのかを指で押さえさせます。言い換えが正しいかどうかは、三つの発言で確かめられます。正しいのが1人なら、うそは2人です。

表の行と列の意味が混ざる子は、ますを読むときに「Cさんがやった」とつぶやきます。Cさんの列は、Cさんがやったかどうかではなく、Cさんが話題にした人の行動についての真偽です。列の上に発言を短く書き、行の左に候補の名前を書かせ、「このますは、だれがやったときに、だれの発言が真か」と一文で言わせます。

反対の組を見落とす子は、三つの発言を順に読むだけで、二つの発言の関係に目が向いていません。発言を並べたあと、「同じ人の行動について、反対のことを言っている組はある?」と聞きます。見つかったら、その組の下に線を引き、条件の人数のうち一つを使うことを書き添えさせます。

候補を書き忘れる子は、四人の問題で表の行が三つしかありません。問題文の「四人の中の一人」に戻り、名前を指で数えさせます。答えを確かめない子は、出した答えを発言に戻すと真の数が条件とずれます。答えを書いたあとに、三つか四つの発言の横へ丸とばつを付け直させ、数が条件と合うかを声に出して数えさせます。

個別指導では、答えが合っているかよりも、どの行を根拠にしたかを説明できるかを見ます。「なぜその行だけが残ったの?」と聞き、条件の人数と表の右端の数を指でなぞらせます。説明が途中で止まったら、止まった列に戻って、発言の主語を確かめます。発言を一つずつ数える作業は、条件を読み違えた自分に気づくための戻り道になります。