中学受験の算数 割る数の推理—割られる数と余りの差から除数の候補を絞る｜武蔵野個別指導塾

100 を割ると 4 あまり、150 を割ると 6 あまる数を探すとき、余りを引いた 96 と 144 の共通の約数から 6 以下のものを外すのが割る数の推理です。

割る数が見えない割り算に出会う場面

よくあるのは、二つの割り算の余りだけを見せられて、割る数を当てる場面です。たとえば「ある整数で 100 を割ると 4 あまり、150 を割ると 6 あまります。この整数をすべて求めなさい。」という問いです。100 と 150 は見えていますが、割る数はどこにも書かれていません。それでも、二つの余りの情報だけで、割る数の候補を書き出すことができます。

この形の問いには、三つの出方があります。

一つ目は、二つの数の余りから割る数をすべて求める形です。答えが一つとはかぎらず、二つ、三つと並ぶことがあります。二つ目は、割る数に範囲がつく形です。「2 けたの整数」「30 より小さい」などの条件が加わり、候補をさらに絞ります。三つ目は、三つ以上の数で余りが示される形です。数が増えるほど候補は減り、なかには条件に合う整数が一つもない場合もあります。

どの形でも、進み方は同じです。割られる数から余りを引くと、割る数の倍数が残ります。その倍数を手がかりに、割る数の候補を約数の表で書き出し、最後に余りの大きさでふるいにかけます。この順番を覚えておけば、数が変わっても同じ手順で最後までたどり着けます。

数が一つだけでは、候補は絞りきれません。47 を割って 3 あまるという条件だけでは、44 の約数のうち 3 より大きい 4、11、22、44 の四つが候補に残ります。二つ目の数が加わって、はじめて候補が一つや二つに絞られます。二つの数の余りは、片方だけでは決められない割る数を、両側から挟んで決める手がかりだと考えてください。

余りを引くと割る数の倍数が残る

まず言葉を確かめます。47 ÷ 4 = 11 あまり 3 という式では、47 が割られる数、4 が割る数、11 が商、3 が余りです。この四つの関係は、一つの等式にまとまります。

47 = 4 × 11 + 3

割られる数 = 割る数 × 商 + 余り、という関係です。どんな割り算でも、この等式は崩れません。逆にいえば、この等式を満たさない組み合わせは、正しい割り算ではありません。

ここで余りの決まりを思い出します。余りは、必ず割る数より小さくなります。もし余りが割る数と同じか大きければ、そこからもう一組分がとれて、商が一つ増えるからです。47 を 4 で割った答えを「10 あまり 7」と書くと、7 の中に 4 がもう一つ入るので、「11 あまり 3」に直さなければなりません。この決まりは、後のふるい分けでそのまま使います。

次に、等式を変形します。47 = 4 × 11 + 3 の両辺から 3 を引くと、44 = 4 × 11 になります。つまり、割られる数から余りを引いた数は、割る数と商の積です。44 は 4 の倍数になっています。この形にすると、割る数が 44 の約数であることが見えてきます。

二つの数になると、同じ考えを二回使います。100 を割って 4 あまるなら、100 − 4 = 96 は割る数の倍数です。150 を割って 6 あまるなら、150 − 6 = 144 も割る数の倍数です。同じ割る数が両方を割り切るのですから、割る数は 96 と 144 の共通の約数になります。

余りを引くのか、足すのかで迷う人がいます。足し算にすると、何が起きるでしょうか。100 + 4 = 104、150 + 6 = 156 の共通の約数を並べると 1、2、4、13、26、52 になります。このうち 13 を選んで 100 を割ると 7 あまり 9 で、問題の 4 になりません。余りは「まだ分けずに残った部分」ですから、全体から取り除くのが正しい向きです。足すと、残った部分を二重に数えた別の数を作ってしまい、割る数の手がかりにはなりません。

図1のように、余りを切り離すと、残った部分が同じ長さの倍数の列になります。

図1では、100 から 4 を切り離して 96 を、150 から 6 を切り離して 144 を残しています。96 と 144 のどちらも、同じ割る数で何組にも分けられる数です。ですから割る数は、この二つの共通の約数の中にあります。ただし、切り離した余りより大きい数でなければなりません。余りは割る数より小さいという決まりがあるからです。100 の余りは 4、150 の余りは 6 ですから、割る数は 6 より大きい数に限られます。

手順を四つにまとめます。第一に、それぞれの数から余りを引きます。第二に、引いて残った二つの数の共通の約数を、小さい順に書き出します。第三に、二つの余りのうち大きいほうより大きいものだけを残します。第四に、残った候補で実際に割り算をして、商と余りが問題のとおりになるかを確かめます。

共通の約数を書き出すときは、最大公約数を先に求めて、その約数を並べると速く正確になります。最大公約数は共通の約数の中で一番大きい数なので、その約数をたどれば、共通の約数を漏らさず拾えます。たとえば 96 と 144 はどちらも 48 で割り切れるので、共通の約数は 48 の約数を並べれば全部そろいます。

基本例題で候補の絞り方を確かめる

例題1です。

「ある整数で 47 を割ると 3 あまり、73 を割ると 1 あまります。この整数を求めなさい。」

まず余りを引きます。47 − 3 = 44、73 − 1 = 72 です。割る数は 44 と 72 の共通の約数になります。

44 の約数は 1、2、4、11、22、44 です。72を割り切る数も調べると、1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72が候補に挙がります。両方に出てくる数は 1、2、4 の三つです。

次に余りの条件を当てはめます。余りは 3 と 1 ですから、割る数は 3 より大きい数でなければなりません。三つの候補のうち、3 より大きいのは 4 だけです。

1 と 2 が外れる理由も、実際に割ると確かめられます。47 を 2 で割ると 23 あまり 1 で、余りが 3 になりません。47 を 1 で割ると 47 あまり 0 です。共通の約数であることと、その数で割った余りが問題のとおりになることは、別の条件です。前者を満たしても後者を満たさない候補は、答えから外します。

最後に検算します。47 = 4 × 11 + 3 で、余りの 3 は 4 より小さいので正しい形です。73 = 4 × 18 + 1 で、余りの 1 も 4 より小さいので正しい形です。答えは 4 です。

例題2です。

「ある整数で 100 を割ると 4 あまり、150 を割ると 6 あまります。この整数をすべて求めなさい。」

100 − 4 = 96、150 − 6 = 144 です。96 と 144 の共通の約数を求めます。どちらも 48 で割り切れるので、最大公約数は 48 です。共通の約数は、この48を割り切れる数から選べます。小さい順に並べると、1、2、3、4、6、8、12、16、24、48となります。この十個が共通の約数のすべてです。

余りは 4 と 6 なので、割る数は 6 より大きい数に限ります。十個のうち 6 より大きいのは 8、12、16、24、48 の五つです。図2のように、候補と外れる数を並べて、実際に割った余りを比べます。

図2の表で、6 の行だけが 150 を割った余りで 6 にならず、0 になっています。150 は 6 で割り切れてしまうので、余りが 6 になることはありません。8、12、16、24、48 の五つは、どちらの割り算でも問題の余りになります。

答えは小さい順に書きます。抜けがないかを見直すときは、最大公約数 48 の約数を指でたどり、6 より大きいものをすべて書き出したかを確かめます。共通の約数は必ず最大公約数の約数なので、最大公約数の約数を全部並べれば、候補の書き漏らしは起きません。最大公約数より大きい共通の約数は存在しないからです。

検算を書きます。8 では 100 = 8 × 12 + 4、150 = 8 × 18 + 6 です。12 では 100 = 12 × 8 + 4、150 = 12 × 12 + 6 です。16 では 100 = 16 × 6 + 4、150 = 16 × 9 + 6 です。24 では 100 = 24 × 4 + 4、150 = 24 × 6 + 6 です。48 では 100 = 48 × 2 + 4、150 = 48 × 3 + 6 です。すべての行で、余りが割る数より小さくなっています。答えは 8、12、16、24、48 の五つです。

別の求め方でも同じ数になることを確かめます。二つの数の差は 150 − 100 = 50、余りの差は 6 − 4 = 2 です。50 から 2 を引くと 48 になり、これは先に求めた最大公約数と一致します。二つの数の差には余りの差が混ざっているので、そのまま差の約数を並べると正しくありません。余りの差を引いてから約数を調べる、という近道も使えます。

範囲や三つ目の数で候補が変わる例題

標準例題です。

「ある整数で 300 を割ると 12 あまり、200 を割ると 8 あまります。この整数が 30 より小さいとき、考えられる整数をすべて求めなさい。」

300 − 12 = 288、200 − 8 = 192 です。288 と 192 の最大公約数は 96 です。96 の約数は 1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96 です。余りは 12 と 8 なので、12 より大きいものを残すと 16、24、32、48、96 の五つになります。

ここで終わりにせず、範囲の条件を当てはめます。30 より小さい数だけを残すと、16 と 24 の二つです。32、48、96 は割り算の条件は満たしますが、範囲の条件で外れます。二つの条件を別々に当てはめるのが要点です。片方だけで答えを決めると、候補を落としすぎたり、逆に多すぎたりします。

先に範囲で絞ってから余りで外しても、結果は同じです。96 の約数から 30 より小さいものを選ぶと 1、2、3、4、6、8、12、16、24 になり、そのうち 12 より大きいのは 16 と 24 です。どちらの順番でも二つにたどり着きます。ただし、どちらかの条件を忘れると答えが変わるので、条件ごとに印をつけて数えると安全です。

検算します。16 では 300 = 16 × 18 + 12、200 = 16 × 12 + 8 です。24 では 300 = 24 × 12 + 12、200 = 24 × 8 + 8 です。どちらも余りが割る数より小さく、問題のとおりです。答えは 16 と 24 です。

発展例題です。

「ある整数で 62 を割ると 2 あまり、98 を割ると 8 あまり、146 を割ると 6 あまります。この整数を求めなさい。」

三つの数があるときも、余りを引くところから始めます。62 − 2 = 60、98 − 8 = 90、146 − 6 = 140 です。割る数は、この三つの数の共通の約数です。

まず 60 と 90 の共通の約数を求めます。最大公約数は 30 で、その約数は 1、2、3、5、6、10、15、30 です。余りは 2、8、6 なので、8 より大きいものに絞ると 10、15、30 の三つになります。

次に三つ目の 140 で確かめます。10 では 146 を割ると 14 あまり 6 になり、問題のとおりです。15 では 146 を 15 で割ると 9 あまり 11 になり、余りが 6 になりません。30 では 146 を 30 で割ると 4 あまり 26 です。二つの数だけで三つまで絞った候補も、三つ目の数で二つが消えます。三つの数すべての共通の約数になるのは 10 だけです。

検算します。62 = 10 × 6 + 2、98 = 10 × 9 + 8、146 = 10 × 14 + 6 です。三つの式すべてで余りが 10 より小さく、問題のとおりです。答えは 10 です。

数が三つになると、二つのときより候補が減ります。条件が増えるほど、当てはまる数は少なくなるからです。二つでは決めきれなかった候補を、三つ目の数が分けてくれます。

二つの余りが同じ場合にかぎり、二つの数の差がそのまま割る数の倍数になります。余りが違うときは、それぞれの余りを引いてから比べます。同じ余りかどうかで、使う数が変わる点に注意してください。

もう一つ、条件に合う整数がない例題です。

「ある整数で 50 を割ると 6 あまり、80 を割ると 4 あまります。この整数を求めなさい。」

50 − 6 = 44、80 − 4 = 76 です。44 の約数は 1、2、4、11、22、44 で、76 の約数は 1、2、4、19、38、76 です。共通の約数は 1、2、4 の三つだけです。

余りは 6 と 4 なので、割る数は 6 より大きい数でなければなりません。共通の約数は三つとも 6 以下ですから、条件に合う整数はありません。答えは「ない」です。

候補が三つあると、つい一番大きい 4 を答えに書きたくなります。しかし 4 は余りの 6 より小さいので、50 を 4 で割っても余りが 6 になることはありません。候補が出そろった後は、必ず余りの条件でふるいにかけます。答えがないことも、正しい答えの一つです。

余り以下の除数を答えに残す誤りと直し方

いちばん多い誤りは、共通の約数を求めたところで満足して、余り以下の数を答えに残してしまうことです。例題2でいえば、6 を答えの列に加えてしまう誤りです。

6 は 96 と 144 の共通の約数です。100 − 4 = 96、150 − 6 = 144 の両方を割り切るので、途中の計算だけを見ていると正しそうに見えます。しかし、実際に割ると 100 = 6 × 16 + 4 で余りは 4 になり、150 = 6 × 25 + 0 で余りは 0 になります。150 の余りが 6 にならないので、6 は答えにできません。余りは割る数より小さいという決まりからも、余りと同じ 6 は外れます。

原因は、二つの作業を別々に覚えてしまうことにあります。共通の約数を求める作業と、余りの条件を当てはめる作業は、一つの手順の前半と後半です。共通の約数が出た時点で「見つけた」と感じてしまい、後半のふるい分けを飛ばすと、この誤りが起こります。

余りの条件は、答えを飾るための一言ではありません。共通の約数を求める式そのものが、余りを引いた数についての条件です。引いた数が割る数の倍数になることと、余りが割る数より小さくなることの両方がそろって、はじめて問題の割り算になります。片方だけでは、正しい割り算とはいえません。

修正の仕方は決まっています。候補を一列に並べたら、余りのうち大きいほうを書き、その数より大きい候補だけに印をつけます。印のついた候補だけで割り算をして、商と余りを一行ずつ書きます。図3のように、実際の余りと問題の余りを並べると、外れる理由がはっきりします。

図3では、44 と 76 の共通の約数である 4 を、そのまま答えに残してしまった場合を並べています。50 を 4 で割ると 12 あまり 2、80 を 4 で割ると 20 あまり 0 になり、問題の余りである 6 と 4 にはなりません。余りが 6 なのに割る数が 4 では、余りのほうが大きくなってしまい、割り算として成り立ちません。

同じ誤りは、差の約数を使ったときにも起こります。100 と 150 の差は 50 なので、50 の約数である 1、2、5、10、25、50 を候補にしてしまう人がいます。このうち 10 を選ぶと、100 を 10 で割った余りは 0 で、問題の 4 になりません。差を使うときは、余りの差 2 を引いて 48 にする必要があります。48 の約数を並べれば、先に求めた共通の約数と同じ列になります。

もう一つの誤りは、最大公約数だけを書いて終わることです。例題2の答えは 48 だけではありません。8、12、16、24 も同じ条件を満たします。共通の約数は、最大公約数の約数すべてです。一番大きい数だけでなく、その約数を小さい順に並べる習慣をつけます。

練習問題

次の五問を解いてください。答えと解き方は五問の後にまとめてあります。どの問いも、余りを引く、共通の約数を並べる、余りの条件で外す、実際に割って確かめる、という同じ順番で進みます。

1. ある整数で 116 を割ると 8 あまり、86 を割ると 2 あまります。この整数を求めなさい。
2. ある 2 けたの整数で 175 を割ると 7 あまり、115 を割ると 3 あまります。この整数をすべて求めなさい。
3. ある整数で 130 を割ると 4 あまり、60 を割ると 6 あまり、40 を割ると 4 あまります。この整数をすべて求めなさい。
4. ある整数で 250 を割ると 10 あまりました。この整数が 20 以下で 2 以上であるとき、考えられる整数をすべて求めなさい。
5. ある整数で 90 を割ると 10 あまり、60 を割ると 4 あまります。この整数を求めなさい。

答えと解き方

1. 116 − 8 = 108、86 − 2 = 84 です。108 と 84 の最大公約数は 12 で、12 の約数は 1、2、3、4、6、12 です。余りの 8 と 2 より大きいのは 12 だけです。116 = 12 × 9 + 8、86 = 12 × 7 + 2 で、どちらも余りが 12 より小さいので正しい形です。答えは 12 です。

2. 175 − 7 = 168、115 − 3 = 112 です。最大公約数は 56 で、その約数は 1、2、4、7、8、14、28、56 です。余りの 7 と 3 より大きいものは 8、14、28、56 で、このうち 2 けたなのは 14、28、56 です。175 = 14 × 12 + 7、115 = 14 × 8 + 3。175 = 28 × 6 + 7、115 = 28 × 4 + 3。175 = 56 × 3 + 7、115 = 56 × 2 + 3。三つとも余りが割る数より小さくなります。答えは 14、28、56 です。

3. 130 − 4 = 126、60 − 6 = 54、40 − 4 = 36 です。126 と 54 の最大公約数は 18 で、18 の約数は 1、2、3、6、9、18 です。余りの 4、6、4 より大きいものは 9、18 です。36 は 9 でも 18 でも割り切れます。130 = 9 × 14 + 4、60 = 9 × 6 + 6、40 = 9 × 4 + 4。130 = 18 × 7 + 4、60 = 18 × 3 + 6、40 = 18 × 2 + 4。答えは 9、18 です。

4. 250 − 10 = 240 です。240 の約数で、10 より大きく 20 以下なのは 12、15、16、20 です。250 = 12 × 20 + 10、250 = 15 × 16 + 10、250 = 16 × 15 + 10、250 = 20 × 12 + 10 で、どれも余りが 10 より小さくなります。答えは 12、15、16、20 です。

5. 90 − 10 = 80、60 − 4 = 56 です。80 と 56 の最大公約数は 8 で、その約数は 1、2、4、8 です。余りの 10 と 4 より大きいものが一つもありません。条件に合う整数はないので、答えは「ない」です。

覚えておくこと

1. 割られる数 − 余り = 割る数 × 商。引いた数は割る数の倍数になります。
2. 二つの数のときは、引いて残った二つの数の共通の約数が割る数の候補です。
3. 候補は最大公約数の約数すべてです。一番大きい数だけで終わらせません。
4. 余りより大きい数だけが割る数になれます。余り以下は必ず外します。
5. 最後に実際に割って、商と余りを問題文と照合します。

つまずきの見分け方と、手元で確かめる場所

答えに 1、2、3 のような小さい数を書いているときは、余りの条件を後回しにしています。「余りより大きい数でないと割れないよね」と一度戻すと、自分で消せます。

答えが一つだけで止まっているときは、最大公約数の約数を最後まで並べていません。最大公約数を書いた紙の横に、その約数を小さい順に書き足す場所を作ると、抜けが減ります。

5、10、25 のような数を書いているときは、二つの数の差の約数をそのまま使っています。差を使う前に、余りの差を引く作業が必要だと伝えます。

商と余りを書かずに答えだけを書いているときは、確かめの習慣がまだ身についていません。候補ごとに「100 = 8 × 12 + 4」の形を一行書かせると、余りが合わない候補に自分で気づけます。商が整数になっているかも、この一行で同時に見られます。

三つの数が出てくる問題で、二つだけで答えを決めているときは、最後の数で確かめる段階が抜けています。二つで絞った候補の横に、三つ目の割り算を一行ずつ書き足すと、消える候補がはっきりします。

手元で見るときは、四つの段階のどこで止まるかを見ます。余りを引く段階、共通の約数を並べる段階、余りで外す段階、確かめる段階です。止まった段階がわかれば、戻る場所も一つに決まります。答えを当てる速さではなく、候補を全部書き出して全部確かめる丁寧さが、この単元でいちばん先に育つ力です。