中学受験の算数 約数の組—積になる二数を対にして約数を抜けなく並べる｜武蔵野個別指導塾

36の約数を1、2、3、4、6で止めたお子さまに、商と組にして9個そろえる手順を表で示します。数え落としを防ぐ鍵は約数の組です。

約数の組が出る場面

よくあるのは、36 の約数をノートに 1、2、3、4、6 と書いて、そこで手を止めてしまう場面です。小さい数から順に割っていくと、6 のところで「もう大きい数は見つからない」と感じてしまうのです。しかし 36 を 6 で割った商は 6 で、その先に 9、12、18、36 がかくれています。片側だけを拾って終わると、約数の数は半分ほどになり、そのあとの約数の個数や公約数の問題でも同じ取りこぼしが起きます。

この単元で扱うのは、正の整数の約数を、積がもとの数になる二数の組にして並べる考え方です。出方には三つの型があります。一つ目は「約数をすべて書きなさい」という列挙の問題です。二つ目は、組の片方から相手の数を求める問題です。三つ目は、約数の個数が奇数か偶数かで数の形を見分ける問題です。どれも、小さい数と大きい数を一組ずつ書くところから始まります。式を暗記するのではなく、割り算の商を必ず横に書く、という手順を身につけるのが目標です。

見通しを先に置きます。まず、ある数で割って商が出たら、その二つを一組として書きます。次に、割る数を 1 から順に増やし、割る数と商の大きさが入れ替わったら止めます。最後に、書いた組を小さい順に読み直して、約数の列を完成させます。この三手順で、36 なら 9 個、72 なら 12 個の約数が、重複も抜けもなく並びます。

用語と考え方

約数とは、ある整数を割り切ることのできる整数のことです。たとえば 36 は 4 で割り切れるので、4 は 36 の約数です。そして、36 を 4 で割った商は 9 です。このとき 4 と 9 は、どちらも 36 の約数で、かけると 36 になります。この二つの数を「約数の組」と呼ぶことにします。36 の約数の組は、1 と 36、2 と 18、3 と 12、4 と 9、6 と 6 の五組です。

なぜ組にすると書きもれが減るのでしょうか。36 の約数を小さい順に並べると、1、2、3、4、6、9、12、18、36 になります。この列を両端からたどると、1 と 36、2 と 18、3 と 12、4 と 9、6 と 6 がそれぞれ組になります。つまり、小さい側から一つ見つけるたびに、大きい側の相手も決まります。片側だけを書く書き方では、この相手を書き忘れているのです。図1のように、組を縦に並べると、左右の数がかけ算でむすばれていることが見えます。

組の数え方にも決まりがあります。割る数を 1、2、3 と増やしていき、割る数と商が同じになった組、または割る数が商より大きくなったところで止めます。36 なら 6 と 6 の組で止まります。ここで大切なのは、割る数が商を追いこす前に止める、という点です。6 より大きい数で割って見つかる約数は、すでに書いた組の相手として出てくるだけです。7 や 8 のように割り切れない数では、そもそも新しい組は出ません。

この決まりは、数の大きさによって止まる位置が変わることを教えてくれます。36 なら 6、72 なら 8 と 9 の間、64 なら 8 が止まる位置の目安です。つまり、割る数がその数の平方根をこえたあたりで、組は出つくします。平方根という言葉を使わずに言えば、同じ数を二回かけて、その数に近づくところまで調べればよい、ということです。この見当をつけておくと、大きな数の約数を調べるときに、どこまで割ればよいかで迷いません。

止まる位置を見つけるには、同じ数を二回かけた数を並べておくと便利です。1、4、9、16、25、36、49、64、81 と並べ、調べたい数の前後にはさみます。50 の約数を調べるなら、49 が 7 かける 7、64 が 8 かける 8 なので、割る数は 7 まで見れば十分です。42 なら 36 が 6 かける 6、49 が 7 かける 7 なので、6 まで調べます。この目安は、答えを早く出すためだけでなく、調べる範囲を短くして、割り算の誤りを減らすためにも役立ちます。

また、組の相手は必ず整数になります。36 を 5 で割ると 7 あまり 1 になり、割り切れないので、5 と 7 は組になりません。割り切れるかどうかを確かめながら、割り切れたときだけ組を書く、という順序が大切です。割り切れない数を組として書いてしまうと、約数でない数を約数の列に混ぜてしまいます。

組を書くときは、小さい数を左、大きい数を右にそろえます。36 なら 1 と 36、2 と 18 のように、左の数が右の数をこえないように並べます。左右をそろえておくと、最後に小さい順へ読み直すときに、そのまま上から読むだけで約数の列になります。逆にすると、読み直しのたびに並べ替えが必要になり、写し間違いが起きやすくなります。同じ数の組だけは、左右が同じになるので、中央に一回だけ書きます。

基本例題　36の約数をすべて書く

36 の約数をすべて書きなさい。約数の個数も答えなさい。

まず、割る数を 1 から順に増やしながら、商を横に書いていきます。図2のように、割る数と商を一組にすると、抜けを確かめながら進められます。

割り算の答えのうち、割り切れたときの答えを商、割り切れずに残った数をあまりと呼びます。36 を 4 で割ると、商は 9 で、あまりは 0 です。あまりが 0 のときだけ、割る数と商が約数の組になります。まずこの言葉を押さえてから、組を書いていきます。

1 で割ると商は 36 なので、組は 1 と 36 です。 2 で割ると商は 18 なので、組は 2 と 18 です。 3 で割ると商は 12 なので、組は 3 と 12 です。 4 で割ると商は 9 なので、組は 4 と 9 です。 5 では割り切れません。 6 で割ると商は 6 なので、組は 6 と 6 です。 ここで割る数と商が同じ 6 になったので、探索はここで止めます。7 で割ると商は 5 あまり 1 となり、割る数が商を追いこすので、新しい組は出ません。

五つの組を小さい順に読み直すと、1、2、3、4、6、9、12、18、36 になります。6 と 6 の組は同じ数を二回書かず、中央の 6 を一回だけ数えます。したがって約数は 9 個です。組の数を数えるときに、五組のうち四組は二つの数が異なり、一組だけ同じ数が二つ並んでいます。異なる組は二個ずつ、同じ数の組は一個として数えると、4 かける 2 に 1 を足して 9 個になります。

答え　約数は 1、2、3、4、6、9、12、18、36 の 9 個です。

書いた組を一つずつ確かめます。1 かける 36 は 36、2 かける 18 は 36、3 かける 12 は 36、4 かける 9 は 36、6 かける 6 は 36 です。五組のどれも、かけ算の答えがもとの 36 に戻りました。次に、約数の列に 5 や 7 が入っていないことを確かめます。36 を 5 で割ると 7 あまり 1、7 で割ると 5 あまり 1 になり、どちらも割り切れません。組にかけ算で戻る確かめと、入れてはいけない数が入っていないかの確かめを、両方行うと、答えの信頼が高まります。

標準例題　72の約数を組にして並べる

72 の約数をすべて書き、個数を答えなさい。

72 は 36 より大きいので、どこまで割る数を増やせばよいかを先に見当づけます。8 で割ると商は 9 になり、まだ割る数のほうが小さい状態です。9 で割ると商は 8 になり、割る数が商を追いこします。したがって、割る数は 8 まで調べれば十分です。

1 で割ると商は 72 なので、組は 1 と 72 です。 2 で割ると商は 36 なので、組は 2 と 36 です。 3 で割ると商は 24 なので、組は 3 と 24 です。 4 で割ると商は 18 なので、組は 4 と 18 です。 5 では割り切れません。 6 で割ると商は 12 なので、組は 6 と 12 です。 7 では割り切れません。 8 で割ると商は 9 なので、組は 8 と 9 です。 9 で割ると商は 8 となり、割る数が商を追いこすので止めます。

六つの組を読み直すと、1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 になります。約数は 12 個です。組の数が六つで、どの組も二つの数が異なるので、6 かける 2 で 12 個になります。もし同じ数の組が一つあれば、その組だけ一個として数えるので、個数は一つ減ります。この数え方は、36 の 9 個と 64 の 7 個を並べると、よくわかります。

答え　約数は 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 の 12 個です。

別の数え方も確かめておきます。約数を二行の表に書く方法です。上の行に小さい順から 1、2、3、4、6、8 と書き、その下にそれぞれの商を 72、36、24、18、12、9 と書きます。上の行は 6 個、下の行も 6 個で、合わせて 12 個です。同じ数が上下に並んでいれば、その数は一度だけ数えます。72 では上下に同じ数が並ばないので、12 個のままで正しいとわかります。この表は、組を縦にそろえた形なので、書きもれの確認にも使えます。

どんな正の整数でも、1 とその数自身は必ず約数です。この二つは最初の組になるので、調べる前に決まっています。だから、約数の列の両端は、1 ともとの数で固定されます。72 の列も 1 から始まり 72 で終わっています。両端が決まっていると、間の数を調べる順番がはっきりします。1 の次の 2 から順に割り、割り切れたら商を相手として書き、割る数と商が近づいたら止める、という流れです。

ここで確かめを入れます。求めた約数を小さい順に並べ、両端から組にしてみます。1 と 72、2 と 36、3 と 24、4 と 18、6 と 12、8 と 9 です。どの組もかけ算の答えが 72 になり、最初に書いた六組と一致します。答えを元の数に戻して確かめることで、転記の誤りも見つかります。約数の列だけを写して個数を数えると、組の対応が崩れていることに気づきにくいので、組の形に戻す検算を習慣にすると安心です。

発展例題　約数の個数が奇数になる数

1 以上 50 以下の整数のうち、約数の個数が奇数個になるものをすべて求めなさい。

約数を組にして書くと、ふつうは二つの数が一組になります。1 と 50 や 2 と 25 のように、組の二つの数は異なります。ところが、同じ数を二回かける形の数では、組の二つの数が同じになります。このとき、同じ数を二回書かずに一回だけ数えるので、約数の個数が奇数になるのです。

たとえば 4 は、1 と 4、2 と 2 の二組です。2 と 2 を一回だけ数えると、約数は 1、2、4 の 3 個で、奇数です。9 は 1 と 9、3 と 3 の二組で、約数は 1、3、9 の 3 個です。16 は 1 と 16、2 と 8、4 と 4 の三組で、約数は 1、2、4、8、16 の 5 個です。このように、同じ数を二回かけてできる数、つまり平方数のときだけ、約数の個数が奇数になります。

平方数でない数の例も見ておきます。12 の組は、1 と 12、2 と 6、3 と 4 の三組です。どの組も二つの数が異なるので、約数は 1、2、3、4、6、12 の 6 個で、偶数です。18 の組は、1 と 18、2 と 9、3 と 6 の三組で、約数は 6 個です。20 の組は、1 と 20、2 と 10、4 と 5 の三組で、約数は 6 個です。三つの例はどれも、組の数が三つで、どの組も二つの数が違うので、3 かける 2 で 6 個になります。平方数かどうかで個数の偶奇が変わるのは、中央に同じ数の組があるかどうかだけが理由です。

では、1 以上 50 以下で平方数を書き出します。1、4、9、16、25、36、49 です。50 より大きい平方数は 64 なので、ここで止まります。それぞれの個数を確かめると、1 は 1 個、4 は 3 個、9 は 3 個、16 は 5 個、25 は 3 個、36 は 9 個、49 は 3 個です。すべて奇数になっています。1 は 1 と 1 の組が一つだけで、約数は 1 個です。この場合も、同じ数の組を一回だけ数えた結果だと考えると、仲間はずれではありません。

答え　1、4、9、16、25、36、49 の 7 個です。

この考え方を使うと、約数の個数が奇数かどうかを見ただけで、その数が平方数かどうかを判断できます。逆に、平方数でない数の約数は、必ず偶数個です。約数の個数を数える問題で答えが奇数になったら、平方数かどうかを疑うと、計算の誤りに気づけます。また、約数の個数が 3 個の数を探すときも、平方数の中から中央の数が素数になるものを選ぶ、という見方ができます。

ここで、約数が奇数個といっても、3 個とは限らない点に注意します。16 は平方数で約数が 5 個、36 は平方数で 9 個です。平方数なら必ず奇数個ですが、その個数は数によって違います。3 個になるのは、中央の数が素数で、ほかに約数をもたない場合だけです。4 は 2 かける 2、9 は 3 かける 3、25 は 5 かける 5 で、中央の数が素数なので 3 個になります。16 の中央は 4 で、4 は 2 で割り切れるため、2 と 8 の組が増えて 5 個になります。この違いは、中央の数がさらに約数をもつかどうかで決まります。

誤答から直す　片側だけで終わる書き方

よくある誤答を見ます。36 の約数を「1、2、3、4、6」と書いて終える答案です。小さい数から順に割っていき、6 で割り切れたところで「もう見つからない」と判断してしまっています。

原因は、割り算の商を書いていないことです。36 を 6 で割った商は 6 ですが、この時点でまだ 9、12、18、36 が約数として残っています。1 で割った商の 36、2 で割った商の 18、3 で割った商の 12、4 で割った商の 9 を、それぞれ組の相手として書いていれば、取りこぼしは起きません。図3のように、片側だけの列と、組で書いた列を並べると、足りない数がはっきりします。

同じ誤りは、平方数でも別の形で現れます。64 の約数を考えると、組は 1 と 64、2 と 32、4 と 16、8 と 8 です。ここで 8 と 8 を二回書いてしまうと、約数を 8 個と数えてしまいます。正しくは、中央の 8 を一回だけ数えるので、約数は 1、2、4、8、16、32、64 の 7 個です。81 でも同じことが起こります。組は 1 と 81、3 と 27、9 と 9 で、9 を二回書くと約数を 6 個と数えてしまいます。正しくは 1、3、9、27、81 の 5 個です。片側だけで終える誤りと、中央を二回数える誤りは、どちらも「組の相手をどう扱うか」という同じところから出ています。

もう一つ、割り切れない数を組に入れてしまう誤りもあります。36 の約数を調べるときに、5 と 7 を「36 に近い数だから」という理由で書き足してしまう答案です。5 かける 7 は 35 で、36 にはなりません。組として認めるには、かけ算の答えがもとの数に一致することが必要です。36 を 5 で割ると 7 あまり 1 になり、36 を 7 で割ると 5 あまり 1 になります。あまりが出た時点で、その二数は組ではありません。近い数ではなく、割り切れるかどうかで判断することが大切です。

直し方は一つです。割り算をしたら、必ず「割る数」と「商」を一組にして書きます。そして、割る数と商が同じになった組は、中央の数を一回だけ数えます。最後に、書いた組を小さい順に読み直して、約数の列を作ります。この手順を守れば、36 でも 64 でも、取りこぼしと二重数えの両方を防げます。答案を直すときは、書いた組の右側に「かけ算の答え」を小さく添えると、組がもとの数に戻るかをその場で確かめられます。

練習問題

次の五問を解いてください。答えはこの後にまとめてあります。解くときは、答えの数だけを書くのではなく、割る数と商の組を横に残しておいてください。組が残っていれば、あとで見直したときに、どの数からどの数を見つけたのかがたどれます。

1. 28 の約数をすべて書きなさい。
2. 48 の約数の組をすべて書き、約数の個数を答えなさい。
3. ある整数の約数を組にすると、1 とその数、2 と 30、3 と 20、4 と 15、5 と 12、6 と 10 の六組になりました。この整数を求め、約数の個数を答えなさい。
4. 100 の約数をすべて書き、個数を答えなさい。
5. ある整数の約数を小さい順に並べると、4 番目が 5、5 番目が 8 でした。また、約数は全部で 8 個でした。この整数を求めなさい。

答えと解き方

答えを出したあとも、組の形で確かめます。求めた約数を小さい順に並べ、両端から組にして、かけ算の答えがもとの数に戻るかを見ます。この確かめをすると、約数の列の写し間違いと、組の取り違えの両方を見つけられます。

1. 28 の約数は 1、2、4、7、14、28 の 6 個です。組にすると、1 と 28、2 と 14、4 と 7 の三組です。4 で割った商が 7 になり、次は 5 で割り切れず、6 でも割り切れません。7 で割ると商は 4 で、割る数が商を追いこすので止まります。どの組もかけ算の答えが 28 になります。1 かける 28 は 28、2 かける 14 は 28、4 かける 7 は 28 です。

2. 48 の組は、1 と 48、2 と 24、3 と 16、4 と 12、6 と 8 の五組です。約数は 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 の 10 個です。6 で割った商が 8 で、7 では割り切れず、8 で割ると商は 6 となって追いこすので、6 までで十分です。五組のどれも二つの数が異なるので、5 かける 2 で 10 個になります。48 は平方数ではないので、中央に同じ数の組はありません。この点を先に確かめておくと、個数の数え方が決まります。

3. 六組のどれも、二つの数をかけると 60 になります。1 と 60 の組からも、2 と 30 の組からも 60 が得られるので、もとの整数は 60 です。60 の約数は、与えられた六組を小さい順に読み直して、1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60 の 12 個です。1 とその数の組を書くときは、その数がまだわからないので、ほかの組のかけ算から先に求めると進めやすいです。

4. 100 の組は、1 と 100、2 と 50、4 と 25、5 と 20、10 と 10 の五組です。10 と 10 は中央なので一回だけ数えます。約数は 1、2、4、5、10、20、25、50、100 の 9 個です。3 では割り切れず、6、7、8、9 でも割り切れないことを確かめると、五組で全部だとわかります。

5. 約数は全部で 8 個なので、小さい順に並べた列を両端から組にすると、四組になります。8 個の中央は 4 番目と 5 番目なので、この二つは一組です。4 番目の 5 と 5 番目の 8 をかけると、もとの数は 40 です。40 の約数を確かめると、1、2、4、5、8、10、20、40 の 8 個で、4 番目は 5、5 番目は 8 になります。このように、約数の位置から数を求める問題でも、両端から組にする見方がそのまま使えます。

覚えておくこと

• 約数は、割る数と商を一組にして書くと、書きもれが減ります。
• 割る数と商が同じになったら、その中央の数は一回だけ数えます。
• 割る数が商を追いこしたら、そこで探索を止めます。
• 約数の個数が奇数になるのは、その数が平方数のときです。
• 求めた答えは、組をかけ算して、もとの数に戻るか確かめます。

つまずきの見分け方

約数の列挙でつまずいているときは、答案に商が書かれているかを見ます。小さい数だけが並び、商がどこにも書かれていなければ、片側だけで止まっている可能性が高いです。声をかけるときは「36 を 4 で割った答えは何かな」と、割り算の商を言わせる形にすると、本人が自分で気づけます。商を言えたら、その数を組の相手として書き足すところまで一緒に確かめます。

中央の数の扱いでつまずいているときは、平方数の答案に同じ数が二回出ていないかを見ます。36 の答案に 6 が二回書かれていれば、中央を二重に数えています。「6 と 6 は、同じ数だね」と組の二つが同じことを確かめさせると、一回だけ数える理由が伝わります。約数の個数の問題で答えが奇数になったときは、平方数かどうかを確かめる習慣をつけると、検算の手がかりになります。

止まる位置で迷っているときは、同じ数を二回かけた数の表を、答案のすみに書かせます。1、4、9、16、25、36、49、64 と並べ、調べている数の前後を指でおさえると、どこまで割るかが決まります。声をかける順番は、割り算の商を言わせる、組を書かせる、止まる位置を確かめさせる、の三つです。この順番で進めると、本人がどこで止まっているのかを、答案を見ながら一緒に確かめられます。

組にして書く手間が、数え落としをその場で止めます。