中学受験の算数 公約数と最大公約数—同じ長さに区切れる条件を数の表から決める｜武蔵野個別指導塾

12cmと18cmのテープを余りなく同じ長さに切り分けるとき、一片にできる長さは2つの数の公約数です。約数の表で共通する数を拾い、本数は長さで割って別の列に書けば、長さと本数を取り違えません。いちばん長く切れるのは最大公約数です。

「12cmと18cmのテープがあります。どちらも余りなく、同じ長さに切り分けるには、一片を何cmにすればよいですか。」こう問われて、6cmと書きかけた手が止まり、答えの欄に「6本」と書かれてしまうことがあります。6という数は合っています。しかしそれが一片の長さなのか、切り分けた本数なのかを確かめないまま、目立つ数字を欄へ移してしまったのです。よくあるのは、最大の数を求めた満足のまま、単位を書かずに次の問題へ進む場面です。

テープを切る問題は、聞かれ方が3通りに分かれます。1つ目は、一片の長さの候補を求める型です。両方の長さを割り切る数を並べ、「すべて」か「いちばん長いもの」を答えます。2つ目は、切り分けた本数を求める型です。決めた一片の長さでそれぞれの長さを割り、本数を足します。3つ目は、本数や条件から長さを逆算する型です。合計の本数や「何cmより長く」という条件が加わり、候補を絞ります。

たとえば20cmと30cmのテープなら、一片にできる長さは1cm、2cm、5cm、10cmです。10cmずつに切れば、20cmから2本、30cmから3本が取れます。30cmと45cmで「一片を10cmより長くする」なら、公約数1cm、3cm、5cm、15cmのうち条件に合うのは15cmだけです。どの型でも、中心にあるのは「両方を割り切る数」という一つの考えです。まずはその数を見つける表の作り方を確かめ、次に長さと本数を別の列に分けて書く練習をします。

用語と考え方 — 公約数は「両方を割り切る数」

約数とは、ある整数を余りなく割り切れる整数のことです。12の約数は1、2、3、4、6、12です。18の約数は1、2、3、6、9、18です。2つ以上の数に共通して現れる約数を公約数といい、公約数の中で最も大きい数を最大公約数といいます。

12と18の公約数は1、2、3、6で、最大公約数は6です。図1は、2つの数の約数を並べ、共通する数に色を付けた表です。

図1のように、12の約数と18の約数をそれぞれ横一列に書き、両方に出てくる数を拾うと公約数になります。1はどんな整数も割り切るので、公約数には必ず入ります。約数を書き出すときは、1から順にその数で割り、割り切れた数を並べます。12なら12÷1、12÷2、12÷3と進み、割り切れた1、2、3、4、6、12を書きます。18なら1、2、3、6、9、18です。

一片の長さをd cmとします。dが12の約数なら、12cmのテープはd cmずつに余りなく切れます。dが18の約数でもあれば、18cmのテープも余りなく切れます。つまり、余りなく同じ長さに切れる一片の長さは、2つの長さの公約数です。逆に、公約数でない長さでは、どちらかのテープに必ず余りが出ます。8cmで12cmを切ると1本とれて4cm余り、18cmを切ると2本とれて2cm余ります。8cmは12の約数でも18の約数でもありません。

公約数と最大公約数の関係も、表で確かめられます。12と18の公約数は1、2、3、6で、これは最大公約数6の約数と同じ並びです。12は6×2、18は6×3なので、6の約数はどちらも割り切れます。だから、公約数をすべて書きたいときは、先に最大公約数を求め、その約数を書くと漏れません。ただし、この近道は最大公約数が正しいときだけ働きます。最大公約数を取り違えると、公約数の列も全部ずれます。最後に元の数へ戻して割り切れるかを確かめてください。

別の組でも確かめます。20と30の最大公約数は10で、10の約数は1、2、5、10です。20の約数1、2、4、5、10、20と、30の約数1、2、3、5、6、10、15、30を並べると、共通する数は1、2、5、10で、確かに一致します。2組で同じ並びになることを見ておくと、近道を安心して使えます。

最大公約数を求める手順は、次の順にすると探しやすくなります。まず、小さい方の数の約数を1から順に書き出します。次に、その約数を大きい方から順に、もう一方の数を割ってみます。最初に割り切れた数が最大公約数です。12と18なら、12、6、4、3、2、1の順に試し、18÷12は余りが出て、18÷6=3で割り切れるので6です。両方の約数を全部書いて共通の数を拾う方法でも、同じ6に着きます。数が3つのときは、3つすべてを割り切れるかを確かめます。

本数は、それぞれの長さを一片の長さで割って求めます。12÷6=2本、18÷6=3本です。長さの6と本数の6は、同じ数字でも別の量です。一片の長さの欄にはcmをつけ、本数の欄には本をつける。この二つの列を分けて書くことが、取り違えを防ぐ最初の一歩になります。

基本例題 — 12cmと18cmのテープを同じ長さに切る

12cmと18cmのテープがあります。どちらも余りなく同じ長さに切り分けます。一片の長さを最も長くするとき、一片の長さと、それぞれのテープから取れる本数を求めなさい。

12の約数を書き出します。1、2、3、4、6、12です。18の約数を書き出します。1、2、3、6、9、18です。両方に共通して出てくる数は1、2、3、6です。この中で最も大きい6が最大公約数で、一片の長さは6cmになります。

本数は、それぞれの長さを6で割って求めます。12÷6=2で、12cmからは2本です。18÷6=3で、18cmからは3本です。合計すると2+3=5本になります。

答えは、一片の長さ6cm、12cmから2本、18cmから3本、合計5本です。

検算します。6cmを2本つなげると6×2=12cmで、元の12cmに戻ります。6cmを3本つなげると6×3=18cmで、元の18cmに戻ります。6は12も18も余りなく割り切るので、確かに公約数です。図2は、12cmと18cmのテープを6cmずつに切ったようすです。

図2のように、12cmのテープは6cmが2本、18cmのテープは6cmが3本に分かれます。「最も長くする」と言われたら最大公約数を選び、「候補をすべて」と言われたら公約数を全部書きます。問題文の「最も長く」と「すべて」を読み分けることが、答えの形を決めます。

もし「一片の長さとして考えられるものをすべて」と問われたら、1cm、2cm、3cm、6cmを書き、それぞれの本数まで求めると確かめやすくなります。1cmなら12本と18本、2cmなら6本と9本、3cmなら4本と6本、6cmなら2本と3本です。長さだけを聞かれているのか、本数まで聞かれているのかを、問題文の最後で確かめてから書き始めます。

標準例題 — 3本のテープと、2本だけ見てしまう落とし穴

24cm、36cm、42cmの3本のテープを、どれも余りなく同じ長さに切り分けます。一片を最も長くするとき、一片の長さと合計の本数を求めなさい。

よくある途中の考え方は、24と36だけを見て最大公約数の12を出すものです。しかし42÷12=3余り6で、42cmのテープには6cmの余りが出ます。2本だけで決めた長さは、3本目を割り切るとは限りません。3本目を試すところまでが、この型の本体です。

3つの数の約数を書き出します。24の約数は1、2、3、4、6、8、12、24です。36の約数は1、2、3、4、6、9、12、18、36です。42の約数は1、2、3、6、7、14、21、42です。3つの列すべてに共通して出てくる数は1、2、3、6です。最も大きい6が最大公約数で、一片の長さは6cmです。

本数は、それぞれの長さを6で割ります。24÷6=4本、36÷6=6本、42÷6=7本です。合計は4+6+7=17本になります。

答えは、一片の長さ6cm、合計17本です。内訳は24cmから4本、36cmから6本、42cmから7本です。

検算します。6×4=24、6×6=36、6×7=42で、3本とも元の長さに戻ります。本数の合計で見ても、6×17=102で、24+36+42=102と一致します。3本のときは、3つすべての約数に共通して出てくる数を探す。2本ずつの最大公約数を順に取る方法でも構いませんが、最後に残りの1本をその数で割り、余りが出ないことを確かめます。

最大公約数は、最も短いテープの長さより長くなることはありません。一片の長さが短い方のテープより長いと、そのテープから1本も取れないからです。24cm、36cm、42cmなら、最大公約数の候補は24cm以下です。この範囲を頭に置いておくと、けたの多い数でも見当をつけやすくなります。

発展例題 — 本数の合計から一片の長さを逆算する

96cmと120cmのテープを、どちらも余りなく同じ長さに切り分けました。2本から取れた本数の合計が9本のとき、一片の長さを求めなさい。

一片の長さをd cmとします。96cmのテープからは96÷d本、120cmのテープからは120÷d本が取れます。本数の合計は、2つの割り算を足した数です。ここで、同じdで割っているので、先に長さを足してから割っても同じ結果になります。96+120=216で、216÷d本が合計です。

合計が9本なので、216÷9=24で、dは24cmと考えられます。確かめます。96÷24=4本、120÷24=5本で、合計は4+5=9本です。24は96も120も余りなく割り切るので、確かに公約数です。

答えは24cmで、96cmから4本、120cmから5本が取れます。

この逆算で気をつけるのは、出てきた数を必ず両方の長さで割るすることです。片方だけ割れる数を答えにしてしまうと、もう一方に余りが出ます。また、本数の合計を長さの合計で割る考え方は、どちらのテープも同じ一片の長さで切っているから使えます。違う長さで切った場合は、この計算は成り立ちません。

条件に合う長さが1つもない場合もあります。24cmと36cmのテープで「一片を20cmより長くする」と、公約数は1、2、3、4、6、12で、どれも20cmより長くなりません。このときは、条件を満たす切り方はないと答えます。条件がついた問題では、公約数を並べてから、それぞれが条件に当てはまるかを確かめる順にします。

公約数が1だけになる場合

9cmと14cmのテープを同じ長さに切ることを考えます。9の約数は1、3、9です。14の約数は1、2、7、14です。共通する数は1だけなので、公約数は1で、最大公約数も1です。このとき、余りなく同じ長さに切れるのは1cmずつだけで、9cmから9本、14cmから14本が取れます。

「公約数がない」と書きたくなる場面ですが、1はどんな整数も割り切るので、公約数が空になることはありません。最大公約数が1のときは、1cmより長い同じ長さでは切れない、と読み替えます。一片を1cmにすると本数は多くなり、長く取ろうとすると同じ長さにそろえられません。どちらを選ぶかは、問題文が指定した条件で決まります。

誤答を直す — 一片の長さと本数の取り違え、差を答える誤り

誤答1 12cmと18cmで「6本」

12cmと18cmのテープを最も長い同じ長さに切る問題で、答えを「6本」と書いてしまう誤りです。6は正しく求めた最大公約数ですが、それは一片の長さを表すcmの量です。

原因は、長さと本数の単位を確かめず、目立つ数字の6をそのまま本数の欄へ移したことです。修正は、一片の長さを6cmと書き、本数は12÷6=2本、18÷6=3本と別に求めることです。答えは6本ではなく、2本と3本です。6×2=12、6×3=18と戻せば、6が長さであることがはっきりします。本数の欄に入るのは、割り算の答えである2と3です。

誤答2 12cmと20cmで「8cm」

2つの数の差が8だから、一片の長さは8cmとする誤りです。12と18では差の6が最大公約数の6と一致したため、差で覚えてしまうと、この形で崩れます。

確かめます。12÷8=1余り4、20÷8=2余り4で、どちらのテープにも4cm余ります。8cmは12の約数でも20の約数でもないので、公約数ではありません。

正しくは、12の約数1、2、3、4、6、12と、20の約数1、2、4、5、10、20を並べ、共通する1、2、4を拾います。最大公約数は4で、一片の長さは4cmです。12÷4=3本、20÷4=5本になります。図3は、8cmで切ると4cm余り、4cmずつなら余らないことを比べた図です。

図3のように、8cmで切ると2本とも4cm余ります。4cmずつなら、12cmは3本、20cmは5本で余りません。差の8と最大公約数の4は、この問題では別の数です。差がたまたま最大公約数と一致する場合があるので、差を答えにする習慣は危険です。

誤答3 公約数を1つだけ書く

「公約数は6です」と、最大公約数だけを答えてしまう誤りです。12と18の公約数は1、2、3、6の4つあります。原因は、「最大」と「すべて」の読み分けができていないことです。「すべて」とあれば、最大公約数6の約数である1、2、3、6を書きます。「最大」とあれば6だけを書きます。問題文の最後の言葉を指でなぞり、どちらを聞かれているかを確かめてから書き始めます。

練習問題

1. 16cmと24cmのテープを、どちらも余りなく同じ長さに切り分けます。一片を最も長くするとき、一片の長さと、それぞれのテープから取れる本数を求めなさい。
2. 40cm、56cm、72cmの3本のテープを、どれも余りなく同じ長さに切り分けます。一片を最も長くするとき、一片の長さと合計の本数を求めなさい。
3. 48cmと60cmのテープを、どちらも9cmずつ切り分けることはできますか。できないときは、それぞれ何cm余るかを答えなさい。また、余りなく切れる最も長い一片の長さと、そのときの本数を求めなさい。
4. 42cmと70cmのテープを、どちらも余りなく同じ長さに切り分けます。一片の長さを10cmより長くし、できるだけ長くするとき、一片の長さと本数を求めなさい。
5. 50cmと75cmのテープを、どちらも余りなく同じ長さに切り分けます。一片の長さとして考えられるものをすべて書き、最も長いときの一片の長さと本数を求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 16の約数は1、2、4、8、16です。24の約数は1、2、3、4、6、8、12、24です。共通する公約数は1、2、4、8で、最大公約数は8です。一片の長さは8cmで、16÷8=2本、24÷8=3本です。検算すると8×2=16、8×3=24で、どちらも元の長さに戻ります。答えは一片8cm、2本と3本です。

2. 40の約数は1、2、4、5、8、10、20、40です。56の約数は1、2、4、7、8、14、28、56です。72の約数は1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72です。3つすべてに共通する数は1、2、4、8で、最大公約数は8です。本数は40÷8=5本、56÷8=7本、72÷8=9本で、合計5+7+9=21本です。検算すると8×5=40、8×7=56、8×9=72、8×21=168で、40+56+72=168と一致します。答えは一片8cm、合計21本です。

3. 9cmずつ切れるかを確かめます。48÷9=5余り3で、48cmは3cm余ります。60÷9=6余り6で、60cmは6cm余ります。どちらにも余りが出るので、9cmずつには切れません。9は48の約数でも60の約数でもありません。次に、余りなく切れる最も長い長さを求めます。48の約数は1、2、3、4、6、8、12、16、24、48です。60の約数は1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60です。共通する公約数は1、2、3、4、6、12で、最大公約数は12です。一片の長さは12cmで、48÷12=4本、60÷12=5本になります。検算すると12×4=48、12×5=60です。答えは、9cmずつには切れず、48cmは3cm余り、60cmは6cm余る。余りなく切れる最も長い一片の長さは12cmで、4本と5本です。

4. 42の約数は1、2、3、6、7、14、21、42です。70の約数は1、2、5、7、10、14、35、70です。共通する公約数は1、2、7、14です。このうち10cmより長いのは14cmだけなので、一片の長さは14cmです。42÷14=3本、70÷14=5本になります。検算すると14×3=42、14×5=70です。答えは一片14cm、3本と5本です。

5. 50の約数は1、2、5、10、25、50です。75の約数は1、3、5、15、25、75です。共通する公約数は1、5、25です。一片の長さとして考えられるのは1cm、5cm、25cmの3つです。最も長いのは25cmで、50÷25=2本、75÷25=3本になります。検算すると25×2=50、25×3=75です。答えは1cm、5cm、25cmで、最も長いときは25cm、2本と3本です。

覚えておくこと

• 余りなく同じ長さに切れる一片の長さは、2つの長さの公約数です。
• 公約数は両方の約数を書き、共通する数を拾って求めます。1は必ず入ります。
• 最大公約数は公約数で最も大きい数です。公約数をすべて求めるには、最大公約数の約数を書きます。
• 本数は長さ÷一片の長さで求めます。cmと本を混ぜず、別の列に書きます。
• 3本以上あるときは、すべての長さを割り切れる数で考えます。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

答えに単位がないときは、「この6は何を数えた数？」と聞き、cmか本かを言葉で言わせます。6cmと6本の区別がつけば、長さと本数の列は自然に分かれます。

差を答えにしたときは、その数で両方の長さを割り、余りが0になるかを確かめさせます。12÷8も20÷8も余りが出ることを自分で見つければ、差で覚える習慣はそこで切れます。

公約数を1つで終えたときは、「すべて」という言葉を指で押さえ、最大公約数の約数を並べさせます。1から書き始め、最大公約数で終わるまでが一組です。

3本の問題で2本だけを見たときは、残りの1本をその数で割らせます。余りが出たら、約数の表に戻って3列すべてに共通する数を探し直します。

逆算で長さを出したときは、その長さで2本とも割り、本数の合計が問題の数になるかを戻して確かめさせます。計算の答えではなく、元の場面に戻る確認です。

個別指導では、長さの列と本数の列を分けた表を、お子さま自身に書いてもらいます。同じ数が両方の列に現れたとき、どちらの列の数なのかを説明できれば、取り違えは起きにくくなります。数字が同じでも、長さと本数は別の量です。答えを書く前に単位を声に出して読むところまでで、この単元の答案は仕上がります。