中学受験の算数 素数と素因数—割り切れる数を調べて数の材料を表に整理する｜武蔵野個別指導塾

1を素数に数えてしまう誤りを直すところから始め、91が素数かを小さい素数で順に割って確かめる手順と、84や360の材料を枝分かれと表で照合する分け方を、割り算の記録をたどって読み取り、12を2と2と3に分けたときの2や3が素因数です。

1から20までを書いたときに1を入れてしまう

よくあるのは、素数を小さい順に書き出してくださいと言われて、1、2、3、5、7、11と1から書き始めてしまうという場面です。書き終えた列を親子で見ると、2の前に置いた1がそのまま残り、そのあとの判定もどこかあいまいになります。1は素数に含まれません。この一線を最初に決めておくと、数の材料を分ける作業が最後までぶれません。

素数と素因数の問いは、大きく3つの型で出てきます。1つ目は、その数が素数かどうかを判定する型です。2つ目は、その数を素数の積に分ける型です。3つ目は、2つの数の材料を並べて、同じ材料と違う材料を見分ける型です。どの型も、割り算の記録を表に残せば同じ順序で進みます。小さい素数から順に割る、割り切れたら商を次の段へ送る、材料を書き漏らさずに並べる、この3つの動きを繰り返すだけです。

判定の型では、答えが「素数」か「素数ではない」の2つに分かれます。分解の型では、最後に残った素数まで含めて材料を並べます。比べる型では、2つの材料の表を上下に置き、共通して出てくる素数に印を付けます。どれも特別な公式を覚える必要はなく、割り算の事実を1行ずつ積み上げる作業です。ここでは、その積み上げ方を表の形にそろえていきます。

素数を数の材料と呼ぶのは、これ以上かけ算に分けられない最小の単位だからです。12を材料に分けると2、2、3になり、これ以上は素数だけの積に分けられません。材料の見方を持っていると、約数を探す問題でも、2つの数を比べる問題でも、同じ表を使い回せます。問題文に素数とあれば約数の数を見て、素因数とあれば材料の並びを見る、という切り替えができるようになります。

素数を書き出す問題では、1から順に、その数が今まで出てきた素数で割れるかを見ていくと、見落としが減ります。2で割れない奇数だけを残し、その中から3の倍数、5の倍数を消していく進め方もあります。どちらの進め方でも、消した理由を1行残しておくと、あとで仲間分けを説明するときに困りません。書き出した列そのものより、消した記録のほうが役に立つ場面は多いものです。

素数と素因数という言葉を確かめる

ある整数を割り切ることのできる整数を、その数の約数といいます。たとえば12を割り切れる数は1、2、3、4、6、12の6つです。12 ÷ 1 = 12、12 ÷ 2 = 6、12 ÷ 3 = 4、12 ÷ 4 = 3、12 ÷ 6 = 2、12 ÷ 12 = 1と、どれも余りが出ません。約数は割り算の結果ではなく、割り算をしたときに余りが0になる数のことだと押さえてください。

素数は、1より大きい整数で、約数が1とその数自身の2つだけである数のことです。2の約数は1と2、3の約数は1と3、5の約数は1と5で、どれも2つです。4は1、2、4の3つ、6は1、2、3、6の4つあるので素数ではありません。1より大きい整数で、素数でない数を合成数といいます。合成数は2つ以上の素数をかけて作れる数だと言い換えることもできます。

1は素数ではありません。1の約数は1の1つだけで、約数が2つという条件に入らないからです。1は合成数でもありません。0も1より大きくないので、素数にも合成数にも入りません。この3つの仲間分けを最初に決めておくと、書き出しの問題で1を列に入れる誤りが消えます。

約数が2つという条件は、1とその数自身が別の数であることを意味します。1より大きい整数なら、1とその数自身は必ず約数に入るので、ほかに約数が増えるかどうかだけを見ればよいことになります。4なら1と4のほかに2が入るので素数ではありません。9なら1と9のほかに3が入ります。この見方をすると、小さい素数で割れるかを調べる作業が、そのまま素数判定になります。

素数と素因数は、似た音ですが指すものが違います。素因数は、ある整数を素数の積で表したときの、かけ算に並ぶ1つ1つの素数のことです。12を2 × 2 × 3と表すと、2と2と3が素因数です。整数を素数の積だけで表すことを素因数分解といいます。12は1 × 12や3 × 4とも書けますが、どちらもかけ算の途中に素数でない数が残っているので、素因数分解ではありません。

1から12までの数を、約数と判定の表に並べます。表の行を上から順にたどると、約数の数が1つ、2つ、3つと変わっていく様子が見えます。

表の1行目を見ると、1の約数は1つだけです。2行目の2は約数が2つ、5行目の5も2つです。4行目の4は1、2、4の3つ、6行目の6は4つあり、2つより多い数を数えられます。この表のように、約数を書き出して数えるところまでを1行ずつ残すと、素数かどうかの判断を目で確かめられます。表の列をそろえておけば、判定の言葉だけを後から見返しても根拠をたどれます。

表を作るときは、約数を小さい順に書き、最後にその数自身を忘れずに書きます。書き終えたら約数の個数を指で数え、1つなら素数ではない、2つなら素数、3つ以上なら合成数と判定します。判定の列を先に埋めてから約数を書き足すのではなく、約数を書き終えてから判定を書くと、思い込みで列を埋める誤りが減ります。約数の欄と判定の欄を交互に見比べると、書き漏らしにも気づけます。

図1のように、1と2と4を並べると、約数の数が1つ、2つ、3つと変わっていく様子が見えます。

3つの箱を左から順に見ると、1は約数が1つだけなので素数ではない、2は2つなので素数、4は3つなので合成数という順に分かれます。約数の数が2つかどうかが、素数かどうかの分かれ目です。

簡単な見分けも覚えておくと役に立ちます。偶数はすべて2で割り切れるので、偶数の中で素数なのは2だけです。一の位が5の数はすべて5で割り切れるので、一の位が5の素数は5だけです。3の倍数は各位の数字を足した数が3で割り切れるかで見分けられます。91なら9と1を足して10で、10は3で割り切れません。これらの手がかりは割り算を減らすための近道であり、判定そのものを省くものではありません。

数を小さい素数の積に分けると、その数を作っている材料がわかります。材料が並んだ表があると、2つの数を比べたときに、同じ材料と違う材料を取り違えずに済みます。材料は何度も使ってよいので、同じ素数がいくつ並ぶかも表に書き込みます。書き方をそろえておけば、後から見返したときに数え直す必要がありません。

基本例題　84を素数の積に分ける

84を素数の積に分けます。割り算の記録を縦に伸ばす形で、1行ずつ書いていきます。

84 ÷ 2 = 42
42 ÷ 2 = 21
21 ÷ 3 = 7

最後に出た7は、1と7でしか割れない素数です。ここで割り算を止めます。材料の欄には、割る数として使った2、2、3と、最後に残った7を並べます。

84 = 2 × 2 × 3 × 7

検算します。2 × 2 = 4、4 × 3 = 12、12 × 7 = 84となり、元の84に戻りました。途中で割り切れた数を材料に数え、最後の素数も材料に入れる、この2つを同時に確かめられるのが検算の利点です。

図2のように、割る数を左、商を右に置いて縦に並べると、どこで何を割ったかが一目でわかります。

図2の右側には、材料を並べた式と、2が2個、3と7が1個ずつという内訳を置いています。最後の行に残った7が素数であることを見落とさないでください。もし最後の数が9や15のように合成数なら、まだ割り算を続ける必要があります。

割る数の順番は、小さい素数からに決めておくと迷いません。2で割れるうちは2を続け、割れなくなったら3、その次は5、7と進みます。同じ素数を何回も使うときは、その都度材料の欄に書き足します。商が1になったら、もう割る数は残っていないので、そこで材料が確定します。84の例では最後に7が残り、7を7で割ると1になりますが、1は材料ではないので、7を材料の欄に書いた時点で終わりにします。

分ける入口を変えても、材料は同じになります。84を4と21に分けると、4は2 × 2、21は3 × 7なので、材料は2、2、3、7です。84を6と14に分けても、6は2 × 3、14は2 × 7で、同じ材料が並びます。入口が違っても、最後に残る素数の組は変わりません。この性質があるので、分けやすい入口を選んでよいことになります。

標準例題　91が素数かどうかを調べる

91が素数かどうかを調べます。小さい素数から順に、割り切れるかを試します。2で割れるかを見ると、91は奇数なので割れません。3で割れるかを見ると、各位の和は9 + 1 = 10で、10は3で割り切れません。5で割れるかを見ると、一の位が1なので割れません。7で割れるかを見ると、91 ÷ 7 = 13で、余りが出ません。

91 ÷ 7 = 13
91 = 7 × 13

91 = 7 × 13となり、1と91以外にも7という約数がありました。91は素数ではありません。

ここで、どこまで試せばよいかを決める理由を説明します。91の約数を小さい順に並べると、1、7、13、91です。7と13は91をはさんで対になっています。一般に、約数は同じ数を2回かけた数を境にして、小さい側と大きい側が対になります。9 × 9 = 81、10 × 10 = 100なので、91は81と100の間にあります。だから9以下の素数である2、3、5、7を試せば、91より大きい約数が見落とされることはありません。全部の数を試すのではなく、同じ数を2回かけた数が91を超えるまでの素数を調べれば足ります。

もう1つ、97で同じ調べ方をします。9 × 9 = 81、10 × 10 = 100なので、試すのは2、3、5、7です。97は奇数なので2で割れません。各位の和は9 + 7 = 16で3で割り切れません。一の位が7なので5では割れません。97 ÷ 7 = 13 あまり 6で、7でも割れません。4つの素数すべてで割り切れなかったので、97は素数です。

答えを元の数に戻して確かめます。7 × 13 = 91で、割り算の結果と一致します。97は7 × 13 = 91、7 × 14 = 98なので、7で割った商は13と14の間に来て、割り切れないことがわかります。この戻し算を1行添えるだけで、割り算の向きを取り違えた誤りは見つかります。

判定の記録は、試した素数と結果を1行ずつ残すと後から点検できます。91なら2は割れない、3は割れない、5は割れない、7は割れる、という4行です。割れる行が見つかった時点で判定は終わり、そのあとの素数は試さなくてよいことになります。割れない行が続いたときは、最後の行まで残っているかを確かめてください。行が途中で切れている答案は、素数と書いてあっても根拠が足りません。

発展例題　分ける順序を変えても材料は同じか

360を素数の積に分けます。今度は、途中の分け方を3通り試して、最後に残る材料がそろうかを比べます。枝Aは360を4と90に分ける入口です。

360 = 4 × 90
4 = 2 × 2
90 = 9 × 10
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
材料: 2, 2, 3, 3, 2, 5

枝Bは360を6と60に分ける入口です。

360 = 6 × 60
6 = 2 × 3
60 = 6 × 10
6 = 2 × 3
10 = 2 × 5
材料: 2, 3, 2, 3, 2, 5

枝Cは360を12と30に分ける入口です。

360 = 12 × 30
12 = 2 × 2 × 3
30 = 2 × 3 × 5
材料: 2, 2, 3, 2, 3, 5

3つの枝の材料を、素数の種類ごとに数えて表にします。並ぶ順序は違っても、同じ素数が何個あるかで比べれば、そろっているかを確かめられます。

表の3行はどれも同じ数になりました。360は2を3個、3を2個、5を1個かけてできる数です。検算すると、2 × 2 × 2 = 8、3 × 3 = 9、8 × 9 = 72、72 × 5 = 360となり、元の数に戻ります。

枝分かれの図を書くときは、分けた数を丸で囲み、素数になったらそこで枝を止めます。止めた素数を葉のように並べると、材料の一覧がそのまま出来上がります。3つの枝を比べると、途中の丸の数は違っても、葉に残る素数の組は同じです。この見方は、後で2つの数の材料を比べるときにもそのまま使えます。

途中の分け方が違っても、最後に残る素数の組は変わりません。だから、分けやすい入口を選んでから、最後に表で個数を数え直せばよいことになります。同じ素数をくり返しかけるときは、2が3個のように個数で数えると、書き漏らしが減ります。分ける順序を気にするより、材料の個数を表の同じ列に書き込むほうが、見比べる作業はずっと楽になります。

誤答を直す　1を材料に数えてしまう

12を素数の積に分ける問題で、12 = 1 × 2 × 2 × 3と書いてしまう誤りがあります。1をかけても値は変わらないので、この式の計算自体は12になります。しかし1は素数ではないので、材料の欄に1を入れることはできません。正しくは12 = 2 × 2 × 3です。

この誤りの原因は、材料を書き出したあとに足りない分を1で埋めるという癖です。1は何にかけても相手の数を変えないので、式を長く見せるためだけに使われます。材料の欄は、これ以上分けられない素数だけを置く場所だと決めておくと、1を書き込む余地がなくなります。式の長さと材料の数は別のものだと考えてください。

同じ原因が、別の場面でも顔を出します。素数を書き出す問題で1を列に入れる誤りも、1をこれ以上分けられない数と考えてしまうところから来ています。9を素数と書く誤りは、2で割れなかったことだけで判定を終えてしまうところから来ています。1の扱いと9の扱いは別に見えますが、どちらも1つの手がかりで判定を終えるという同じ癖から出ています。

図3のように、誤った式と正しい式を並べると、1が材料に入っているかどうかの違いだけが見えます。

左の箱は1を材料に加えた式で、1は素数ではないという理由を添えています。右の箱は1を使わず、材料を2、2、3の3つに絞った式です。値はどちらも12ですが、材料の数は違います。式の値が合っているかどうかだけでは、この誤りは見つかりません。

もう1つ、2は偶数だから素数ではないと判断する誤りもあります。偶数は2で割り切れるという一般の性質を、2自身に当てはめてしまうのです。2の約数は1と2の2つだけなので、2は素数です。一般の性質を使うときは、その数自身が当てはまるかどうかを一度立ち止まって確かめてください。同じ形の誤りは、5で終わる数は5で割れるという性質を5自身に当てはめたときにも起こります。

割り算の記録を見ると、誤りの手前で止まっていることがわかります。91の判定で2で割れないことだけを確かめて素数と書いた答案は、3、5、7を試した記録がありません。記録の行数が足りないときは、まだ試していない素数が残っていると考えてください。1を材料に足す誤りと、試すのを途中でやめる誤りは、どちらも材料の欄と割り算の記録を最後まで埋めていないことから起こります。

練習問題

次の5問を解いてください。答えは問題で指定した形に合わせ、途中の割り算も残します。5問は、書き出し、分解、判定、分解、比べるの順に並べています。前の問題で使った手順を、次の問題でそのまま使えるようにしてあります。解き終えたら、答えの節で割り算の記録と検算を照合してください。

1. 1から20までの整数のうち、素数をすべて書きなさい。小さい順に書き、個数も添えなさい。
2. 105を素数の積に分けなさい。同じ素数をくり返すときは、その回数がわかるように書きなさい。
3. 133が素数かどうかを判定しなさい。どこまで試せばよいかと、割り切れた素数も書きなさい。
4. 96を素数の積に分けなさい。
5. 36と54をそれぞれ素数の積に分け、共通する材料をすべて書きなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 2、3、5、7、11、13、17、19の8個です。1は約数が1つだけなので入りません。4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20は、1と自分自身以外の約数を持ちます。たとえば9は1、3、9の3つ、15は1、3、5、15の4つです。2は偶数で唯一の素数であり、11以上の奇数は小さい素数で順に割って確かめます。

2. 105を小さい素数から割ります。

105 ÷ 3 = 35
35 ÷ 5 = 7
105 = 3 × 5 × 7

検算すると3 × 5 = 15、15 × 7 = 105で、元の数に戻ります。105は一の位が5なので5で割れること、各位の和が1 + 0 + 5 = 6なので3で割れることを先に見つけてから式を立てても、同じ材料になります。7は素数なので、ここで割り算を止めます。

3. 11 × 11 = 121、12 × 12 = 144なので、133は121と144の間にあります。試すのは11以下の素数である2、3、5、7、11です。133は奇数で、各位の和は1 + 3 + 3 = 7、一の位は3なので、2、3、5では割れません。133 ÷ 7 = 19で割り切れます。

133 ÷ 7 = 19
133 = 7 × 19

したがって133は素数ではありません。検算すると7 × 19 = 133です。11まで試さなくても7で割り切れた時点で判定は終わりますが、どこまで試すかの見当を先に立てておくと、割り切れなかったときに素数と答える根拠になります。

4. 96を2で順に割ります。

96 ÷ 2 = 48
48 ÷ 2 = 24
24 ÷ 2 = 12
12 ÷ 2 = 6
6 ÷ 2 = 3
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

3は素数なのでここで止まります。検算すると2を5個かけた数は32で、32 × 3 = 96となり、元の数に戻ります。96は偶数なので2で割れ続け、最後に3が残る形になります。

5. 36と54を分けます。

36 = 2 × 2 × 3 × 3
54 = 2 × 3 × 3 × 3

36の材料は2が2個と3が2個、54の材料は2が1個と3が3個です。両方に共通して出てくる材料は、2が1個と3が2個で、2、3、3です。36だけに多いのは2が1個、54だけに多いのは3が1個です。共通する材料を全部かけると2 × 3 × 3 = 18で、36は18の2倍、54は18の3倍になり、分け方の照合になります。

覚えておくこと

• 素数は1より大きい整数で、約数が1とその数自身の2つだけの数です。
• 1は約数が1つだけなので、素数でも合成数でもありません。
• 素因数分解は、小さい素数から順に割り、商が素数になったら止めます。
• 分ける入口を変えても、最後に残る素数の組は変わりません。
• 素数かどうかは、同じ数を2回かけた数がその数を超えるまでの素数を試せば判定できます。

つまずきの見分け方

1を素数に数えるつまずきは、約数の数を指で数えさせると見つかります。1の約数は1つだけだと声に出せば、素数の条件である2つに届かないことがはっきりします。お子さまが1は特別だと感じているときは、約数の数を数える場面に戻すのが早道です。表の1行目を指でなぞりながら、約数の欄に書かれた数がいくつあるかを一緒に数えてください。

割り切れる数を1つ見つけて終わるつまずきは、割り算の記録の行数で見分けます。91の判定なら、2、3、5、7の4行が残っているかを見てください。2の行だけで素数と書いてあれば、3以降を試していません。記録が短い答案は、判定の途中で止まった答案です。逆に、行数がそろっていても同じ素数を2回試している答案は、試す順序が定まっていない答案です。

奇数と素数を同じものと思っているつまずきもあります。9、15、21、25はどれも奇数ですが、9は3で、15は3と5で、21は3と7で、25は5で割り切れます。奇数の中で素数なのは、約数が2つだけの数に限られます。具体例を4つ並べて、割り算を1行ずつ書かせると区別がつきます。この4つの例は、3の倍数と一の位が5の数から選んだもので、どちらの手がかりも使える場面です。

材料の書き漏らしは、最後の検算で見つかります。材料を全部かけたときに元の数に戻らなければ、どこかで割り算が抜けています。逆に、元の数に戻ったとしても1が混ざっていれば材料の欄としては誤りです。検算の掛け算と、1が入っていないかの確認を、2つ続けて行うようにしてください。この2つは別の検査なので、片方が通ったからもう片方も通るとは限りません。

最後に残った素数を材料に書き忘れるつまずきも多いものです。84の例で2、2、3だけを材料にして7を落とすと、かけ算しても84に戻りません。検算の掛け算が合わないときは、まず最後の行を見てください。素数が残ったまま材料の欄に入っていないことがあります。反対に、材料を全部書けているのに商の位置がずれている答案は、検算では見つかりにくいので、割り算の記録そのものを指でたどります。

個別指導の場では、次の3点を一緒に確かめます。1つ目は、割り算の商をどこに書くかです。商を次の段の数として書き直す位置がずれると、材料の順序もずれます。2つ目は、最後に残った数が素数かどうかです。3つ目は、材料を並べ直したときに同じ素数が何個あるかを数え直せるかどうかです。この3点がそろえば、素数と素因数の問いは同じ手順で解けます。

材料を並べ終えた表の最後の行に、その数自身が残っているかどうかを見てください。その確認が、素数かどうかの判断を毎回同じ場所へ着地させます。