中学受験の算数 倍数の個数と重なり—二つの条件を満たす数を範囲内で数え分ける｜武蔵野個別指導塾

1から120までの整数で、3の倍数と5の倍数を別々に数えて足すと、共通する15の倍数を二度数えてしまいます。合計が合わない原因は、両方の列に入る数の重なりです。

出方の型と、数える前の見通し

よくあるのは、1から100までの整数のうち、3の倍数または5の倍数を数える場面です。3の倍数を33個、5の倍数を20個と書き出した子が、33+20=53と足して答えにします。ところが、条件に合う数は47個です。53と47の差の6個は、15の倍数を二度数えた分です。ここから先の中心にあるのは、二つの列が重なる場所を表で見つけ、一度だけ数えるという作業です。

出方は大きく三つに分かれます。一つ目は、一つの数の倍数が範囲の中にいくつあるかを数える型です。二つ目は、二つの条件のうちどちらかを満たす数を数える型で、いちばん迷いやすいのが重なりの処理です。三つ目は、範囲の始まりや終わりが倍数と重なるかどうかで個数が変わる型です。

三つの型は、どれも二つの道具で進められます。一つは割り算の商、もう一つは数を並べた表です。商で個数の見当をつけ、表で重なりと端を確かめる。この順番を決めておくと、数えすぎや数え落としのどちらが起きたかを、あとから自分で見つけられます。

どの型かを見分けるときは、問題文から三つの点を拾います。範囲が1から始まるか、条件が一つか二つか、範囲の端の数が倍数かどうかです。この三つが決まれば、使う手順はほぼ決まります。反対に、この三つを確かめずに計算を始めると、端の1個や共通部分の数個を、あとから足したり引いたりすることになります。

用語と考え方

倍数の個数は、範囲の終わりを割った商で決まる

1から120までの整数を、3で割って割り切れる数を並べます。3,6,9,12,…,120です。これは3×1,3×2,3×3,…,3×40と書けます。120÷3=40なので、3の倍数はちょうど40個あります。40番目の次は3×41=123で、120を超えるため、41個目はありません。

この数え方で大切なのは、書き出さなくても個数が決まることです。範囲の終わりを倍数の数で割り、その商を読めば、1からその数までの倍数の個数になります。割り切れないときは、商の整数部分だけを使います。100÷3=33余り1なので、1から100までに3の倍数は33個です。3×33=99が最後で、3×34=102は範囲の外にあります。

なぜ商がそのまま個数になるのかを、もう一度確かめます。3の倍数を小さい順に並べると、1番目は3×1、2番目は3×2、k番目は3×kです。k番目が範囲の終わり以下であるためには、3×kが終わり以下であればよいので、kは終わりを3で割った商までです。だから商の数だけ倍数が並びます。

範囲が途中から始まるときは、手前の分を引く

30から150までで4の倍数を数えます。150÷4=37余り2なので、1から150までには37個あります。ただし、この37個には1から29までの分が含まれています。29÷4=7余り1なので、その分は7個です。37-7=30個が、30から150までの4の倍数です。

別の数え方でも同じになります。4×8=32が範囲に入る最初の4の倍数で、4×37=148が最後です。8番目から37番目までを数えると、37-8+1=30個です。引き算で求めた30と、端の番号で求めた30が一致するので、どちらの手順でも同じ答えに着きます。

この引き算は、範囲を「1から終わりまで」と「1から始まりの手前まで」に分けて、大きい方から小さい方を取り除く考え方です。範囲の端を含むかどうかは、始まりの手前をどこにするかで決まります。30から数えるなら、手前は29です。ここを28や30と取り違えると、1個ずつずれます。

両方に入る数は、最小公倍数の倍数

3の倍数と5の倍数を二つの列に並べると、15,30,45,60のように、両方の列に現れる数があります。1から30までで確かめると、3の倍数は3,6,9,12,15,18,21,24,27,30の10個、5の倍数は5,10,15,20,25,30の6個です。両方に現れるのは15と30の2個だけです。

図1のように、二つの列を同じ数の位置にそろえて並べると、重なりが目で見えます。15と30のところだけ、二つの列が同じ数を指しています。この二つの数は、3でも5でも割り切れます。3と5の両方で割り切れる数は、15ずつ増えていきます。15は3と5の両方で割り切れる最小の数で、その次に両方で割り切れる数は、15だけ増えた数になるからです。

この15を最小公倍数と呼びます。二つの条件の両方を満たす数は、最小公倍数の倍数です。3と5なら15の倍数、4と6なら12の倍数、5と7なら35の倍数になります。両方に入る数を「共通部分」と呼ぶことにします。表の上では、二つの列に同じ数が二度現れる場所が共通部分です。

ここで気をつけたいのは、最小公倍数を二つの数の積と取り違えないことです。4と6では、4×6=24ですが、両方に入る数は12の倍数です。24も両方に入りますが、12の倍数でもあるので、24だけを共通部分とすると、12,36,60のような数を取り落とします。共通部分は、二つの列を並べて最初に重なる数から見つけます。3と5のように、二つの数が1以外の約数を共有しないときだけ、積がそのまま最小公倍数になります。

足すと二重になるので、表で四つの組に分ける

1から30までで、3の倍数または5の倍数を数えます。3の倍数は10個、5の倍数は6個なので、足すと16個です。しかし、実際にどちらかの倍数になる数は14個です。16と14の差の2個は、15と30を二度数えた分です。

そこで、数を四つの組に分けます。3の倍数だけの組、5の倍数だけの組、両方に入る組、どちらでもない組です。1から30まででは、3の倍数だけが8個、5の倍数だけが4個、両方が2個、どちらでもないが16個になります。8+4+2+16=30で、全体の個数に戻ります。

この四つの組で考えると、「どちらか」は前の三つの組を合わせた数です。8+4+2=14です。二つの列を足した16から、二度数えた2を引いた14と同じになります。四組の表は、答えの確かめにも使えます。四つの組の合計が全体に戻らなければ、どこかで数えすぎか数え落としが起きています。

表を書く順番は決めておくと迷いません。先に全体の個数を書きます。次に一方の倍数だけの組、もう一方の倍数だけの組、両方の組を出します。最後に、全体から前の三つを引いた数をどちらでもない組に書きます。この順番なら、四つの組の合計が全体に戻るかを最後に確かめられます。

基本例題　二つの条件のどちらかを数える

1から120までの整数について、次の問いに答えなさい。 (1) 3の倍数はいくつありますか。 (2) 5の倍数はいくつありますか。 (3) 3の倍数でも5の倍数でもある数はいくつありますか。 (4) 3の倍数または5の倍数はいくつありますか。 (5) 3の倍数だけで、5の倍数でない数はいくつありますか。

解き方を一行ずつ書きます。

1. 120÷3=40なので、3の倍数は40個です。3×40=120が範囲の終わりにちょうど入ります。
2. 120÷5=24なので、5の倍数は24個です。5×24=120が最後です。
3. 3と5の両方で割り切れる数は15の倍数です。120÷15=8なので、8個です。15,30,45,60,75,90,105,120が並びます。
4. 40+24=64は、15の倍数の8個を二度数えた数です。64-8=56個が、3の倍数または5の倍数です。
5. 3の倍数40個から、両方に入る8個を取り除きます。40-8=32個です。同じように、5の倍数だけは24-8=16個です。

図2のように、四つの組と個数を表にまとめると、全体との関係が確かめられます。

3の倍数だけで32個、5の倍数だけで16個、両方が8個、どちらでもないが64個です。32+16+8+64=120で、全体に戻ります。(4)の56は、32+16+8で求めた数と同じです。どちらでもない数は、120-56=64個と計算しても同じになります。

ここで確かめておきたいのは、40+24-8の引き算が、どこから来たかです。40にも24にも、15の倍数の8個が入っています。足すと、その8個だけが二度現れます。二度現れた分を一度取り除けば、どの数も一度ずつ数えたことになります。引き算の8は、共通部分の個数そのものです。

図2の表は、四つの組を上から順に並べています。数が合わないときは、まずどの組の数字を疑うかを決め、その組の割り算だけをやり直します。四つの組を全部計算し直すより、疑う組を一つに絞る方が、間違いの場所に早く着きます。

標準例題

例題2　範囲が1から始まらない場合

30から150までの整数について、4の倍数または6の倍数はいくつありますか。

4の倍数を数えます。150÷4=37余り2なので、1から150までに37個あります。29÷4=7余り1なので、1から29までに7個あります。37-7=30個が、30から150までの4の倍数です。4×8=32が最初、4×37=148が最後です。

6の倍数も同じように数えます。150÷6=25なので25個、29÷6=4余り5なので4個です。25-4=21個が、30から150までの6の倍数です。6×5=30が最初、6×25=150が最後です。

両方に入る数は、4と6の最小公倍数の12の倍数です。150÷12=12余り6なので12個、29÷12=2余り5なので2個です。12-2=10個が、30から150までの12の倍数です。12×3=36が最初、12×12=144が最後です。

したがって、30+21-10=41個が、4の倍数または6の倍数です。確かめに、四つの組を出します。4の倍数だけが20個、6の倍数だけが11個、両方が10個です。20+11+10=41で、上の答えと一致します。30から150までの整数は121個なので、どちらでもない数は121-41=80個です。

始まりが1でないときの引き算は、二つの範囲を頭に置くと納得できます。1から150までの37個と、1から29までの7個を並べ、後者を前者から取り除くと、30から150までの部分だけが残ります。29を含めないので、30から始まる範囲とちょうど重なります。始まりの数をそのまま割ると、29の分を引き忘れることがあるので、必ず始まりの1つ手前を割ります。

例題3　どちらでもない数を数える

1から300までの整数について、3の倍数でも5の倍数でもない数はいくつありますか。

3の倍数は300÷3=100個、5の倍数は300÷5=60個です。両方に入る15の倍数は300÷15=20個です。3の倍数または5の倍数は、100+60-20=140個です。全体の300個から140個を取り除くと、300-140=160個が、どちらでもない数です。

四つの組でも確かめます。3の倍数だけが100-20=80個、5の倍数だけが60-20=40個、両方が20個、どちらでもないが160個です。80+40+20+160=300で、全体に戻ります。

この問題では「どちらでもない」を求めているので、共通部分を引いたあとに、さらに全体から取り除きます。共通部分の20を引く位置を間違えて、100+60+20=180としてしまうと、両方に入る数を三度数えたことになります。足すのか引くのかは、四つの組のどれを数えているかで決まります。

発展例題

例題4　個数から範囲の終わりを決める

1からNまでの整数に、3の倍数がちょうど15個あるとき、Nにあてはまる最大の整数を求めなさい。

3の倍数を小さい順に並べると、15番目は3×15=45です。1から44まででは14個しかないので、15番目の45が範囲に入るためには、Nが45以上である必要があります。

次に、16番目の3×16=48が入らないようにします。Nが48以上になると、3の倍数は16個になります。したがって、Nは47以下です。45,46,47のどれでも、3の倍数は45までの15個だけです。

答えは47です。45,46,47の三つが条件に合い、その中の最大が47になります。46と47は3の倍数ではありませんが、3の倍数の個数は変わりません。個数を決めているのは、15番目の倍数と16番目の倍数の間のどこまでを範囲に含めるかです。

この型では、倍数そのものではなく、倍数と倍数の間の数が範囲の端になることがあります。45と47の間には、3の倍数が入りません。だから、終わりを47にしても、個数は15個のままです。端の数を1つ増やしても、その数が倍数でなければ個数は増えない、という見方をしておくと迷いません。

例題5　一方だけを数える

1から500までの整数について、3の倍数だけの数と、5の倍数だけの数は、それぞれいくつありますか。また、どちらか一方だけの数はいくつありますか。

3の倍数は、500÷3=166余り2なので166個です。3×166=498が最後です。5の倍数は500÷5=100個です。両方に入る15の倍数は、500÷15=33余り5なので33個です。15×33=495が最後です。

3の倍数だけは、166-33=133個です。5の倍数だけは、100-33=67個です。どちらか一方だけは、133+67=200個です。

別の数え方でも確かめます。3の倍数または5の倍数は、166+100-33=233個です。この233個の中には、両方に入る33個が含まれています。一方だけの数を出すには、233-33=200個と引いても同じです。二つの手順が同じ200に着くので、数え方は正しいといえます。

どちらでもない数も出しておきます。500-233=267個です。四つの組を並べると、133+67+33+267=500で、全体に戻ります。一方だけを問われたときに、両方の組を足してしまわないように、四つの組のどこを数えているかを確かめます。

誤答から直す

1から100までの整数について、3の倍数または5の倍数を数える問題で、33+20=53と答えた子がいました。3の倍数が33個、5の倍数が20個であることは正しく数えられています。しかし、この答えは6個多いのです。

原因は、15の倍数を二度数えていることです。1から100までの15の倍数は、15,30,45,60,75,90の6個です。この6個は、3の倍数の列にも5の倍数の列にも入っています。33と20をそのまま足すと、この6個を二度数えた合計になります。だから、33+20-6=47個が正しい答えです。

図3のように、二つの列の重なりを丸で囲んでから、重なった分を一度だけ引くと、数えすぎが消えます。四つの組で確かめると、3の倍数だけが33-6=27個、5の倍数だけが20-6=14個、両方が6個、どちらでもないが100-47=53個です。27+14+6+53=100で、全体に戻ります。

53という数は、どちらでもない数の個数と同じ値になっています。値が同じでも、表しているものが違います。数えすぎた合計と、条件に合わない数とを取り違えないように、四つの組の表に戻して確かめます。

同じ誤りは、別の条件でも起こります。1から100までで3の倍数または4の倍数を数えると、3の倍数が33個、4の倍数が25個です。両方に入る12の倍数は、12,24,36,48,60,72,84,96の8個です。33+25-8=50個が正しい答えで、33+25=58と足すと8個多くなります。共通部分の大きさが変わっても、引く位置は同じです。

練習問題

次の問いに答えなさい。答えはすべて整数で、範囲の両端の数も含めて数えます。

1. 1から200までの整数のうち、7の倍数はいくつありますか。
2. 1から180までの整数のうち、4の倍数または9の倍数はいくつありますか。
3. 50から200までの整数のうち、6の倍数はいくつありますか。
4. 1から240までの整数のうち、5の倍数でも7の倍数でもない整数はいくつありますか。
5. 1からNまでの整数のうち、5の倍数がちょうど12個あるとき、Nにあてはまる最大の整数を求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 200÷7=28余り4なので、7の倍数は28個です。7×28=196が最後で、7×29=203は範囲の外です。

2. 4の倍数は180÷4=45個、9の倍数は180÷9=20個です。両方に入る36の倍数は180÷36=5個です。45+20-5=60個が、4の倍数または9の倍数です。四つの組では、4の倍数だけが40個、9の倍数だけが15個、両方が5個で、40+15+5=60となります。

3. 200÷6=33余り2なので、1から200までに33個あります。49÷6=8余り1なので、1から49までに8個あります。33-8=25個が、50から200までの6の倍数です。6×9=54が最初、6×33=198が最後で、33-9+1=25と数えても同じです。

4. 5の倍数は240÷5=48個、7の倍数は240÷7=34余り2なので34個です。両方に入る35の倍数は240÷35=6余り30なので6個です。5の倍数または7の倍数は、48+34-6=76個です。全体の240個から76個を取り除くと、240-76=164個が、どちらでもない整数です。5の倍数だけが42個、7の倍数だけが28個、両方が6個、どちらでもないが164個で、42+28+6+164=240になります。

5. 5×12=60が12番目の5の倍数です。13番目は5×13=65なので、Nが65以上になると13個になります。したがって、Nは60以上64以下です。最大の整数は64です。60,61,62,63,64のどれでも、5の倍数は60までの12個だけです。

覚えておくこと

・1からある数までの倍数の個数は、その数を倍数の数で割った商で決まります。 ・範囲が途中から始まるときは、始まりの手前までの個数を引きます。 ・二つの条件のどちらかを数えるときは、両方に入る数を一度だけ引きます。 ・両方に入る数は、二つの数の最小公倍数の倍数です。 ・四つの組の合計が全体の個数に戻るかで、数えすぎと数え落としを確かめます。

つまずきの見分け方と、確かめる場所

二つの列の個数を足したまま答えにしているときは、共通部分を引いていない可能性があります。まず、両方に入る数を一つ挙げてもらいます。15の倍数を言えたら、その数を二度数えていることを自分で見つけられます。

範囲の始まりが1でない問題では、手前の分を引いたかどうかを見ます。40から160までの6の倍数で、160÷6=26としたまま止まっていれば、39までの6個を引き忘れています。始まりのすぐ手前の数を、6で割った商を書かせるだけでも、抜けに気づけます。

「だけ」「どちらでもない」という言葉が出てきたら、四つの組の表を書かせます。片方だけを聞かれているのか、両方を含めてよいのか、条件に合わない数を聞かれているのかで、引く回数が変わります。言葉を表の組に置き換えてから計算します。

個数から範囲を決める問題では、何番目の倍数と何番目の倍数の間を確かめます。15番目が45で16番目が48なら、45から47までが同じ個数になる範囲です。端の数が倍数かどうかを、毎回確かめる習慣をつけます。

個別指導では、答えを出す前に、どの組を数えたかを言葉で説明してもらいます。説明の中で「両方」が出てこなければ、重なりの見落としが残っています。四つの組の合計を書かせて、全体の個数に戻ることを本人の手で確かめてもらうと、次の問題でも同じ手順を使えます。

二つの列を並べて同じ数が二度現れる場所を見つけることが、数えすぎを防ぐ最初の一歩です。