高校物理 平行板コンデンサーの容量—面積と間隔の変化を電場の関係から導く｜武蔵野個別指導塾

極板を横にずらしたときの重なりと電場から、容量が変わる理由をたどる平行板の幾何。

よくあるのは、2枚の極板を横にずらして重なりを半分にしても、板そのものの大きさは変わらないから容量も変わらないと考える場面です。向かい合う領域が狭くなると、電荷を蓄える性質はどう変わるのでしょうか。板の面積という言葉を、実際に重なっている面積へ置き換えるところから考えます。

形を変える問題で何を選ぶか

平行板の問題には、面積や間隔から容量を求める型と、板を動かした前後の電荷や電圧を比べる型があります。後者では、電池につないだままか、充電後に切り離したかを先に調べます。形が決める容量と、接続条件が決める電荷・電圧を別々に整理すると、同じ式を使っても取り違えを防げます。

もう一つは、横にずらした板の重なりを図から読み取る型です。板の全幅からずれた長さを引き、奥行きを掛けて面積を出します。ずれが大きくなり重なりがなくなったところまで、簡単な式を無条件に延長してはいけません。縁の近くでは電場が曲がるためです。ここでは真空中の平行な導体板を扱い、板の寸法に比べて間隔が十分小さく、重なりの端の影響を無視できる模型を使います。文部科学省の学習指導要領解説の物理にある電気と電流に対応する内容です。

面積と電場をつなぐ

図1のように、向かい合う部分の面積をS、間隔をdとします。正極板の電荷を+Q、負極板の電荷を-Qとし、Qは正の大きさです。負極板を電位の基準0 Vとすれば、正極板の電位はVです。容量CはC=Q/Vで定義され、単位はFです。電荷が増えると電圧も比例して増えるので、その比は板の形と周囲の条件で決まります。

図1の板の間では、端を除けば電場は正極板から負極板へほぼ一様です。面電荷密度をσ=Q/S、真空の誘電率をε₀とすると、一様な電場の大きさはE=σ/ε₀です。両板それぞれの広い帯電面がつくる電場は、板の間では同じ向きに重なり、外側では打ち消し合うという模型です。実際の有限の板では縁から電場が外へ広がるので、これは近似です。

一様電場に沿って正極板から負極板へ距離dだけ進むと電位はEdだけ下がります。したがってV=Edです。順に代入すると、

V = Ed
  = Qd/(ε₀S)
C = Q/V
  = ε₀S/d

面積が大きいと同じQが広い領域に分かれて面電荷密度が小さくなり、電場と電位差も小さくなります。同じ電圧で比較すると、より多くの電荷を蓄えられるので容量が大きくなります。間隔が大きいと同じ電場でも電位差が大きくなり、容量は小さくなります。CはQやVの選び方で変わる量ではなく、この模型ではSとdに比例・反比例する量です。

横幅a、奥行きbの同じ長方形の板を、幅方向にxだけ平行にずらすと、0≦x<aの範囲で重なりはS=b(a-x)です。ずれが板の幅より小さく、残った幅も間隔より十分大きい場合にC=ε₀b(a-x)/dと近似します。板の全表面積を用いると、向かい合わない部分を一様電場の領域として数えてしまいます。ずれがない場合も同じ式にx=0を入れれば確かめられます。

基本例題：ずれた長方形

真空中に、幅8.0 cm、奥行き6.0 cmの同じ長方形の導体板があります。間隔は1.0 mmで、幅方向に2.0 cmずらしています。端効果を無視し、ε₀=8.8×10⁻¹² F/mを計算用近似値とします。容量を有効数字2桁で求めてください。図2は幅方向から見た重なりの対応を示します。

図2のように、重なる幅は8.0-2.0=6.0 cmです。長さをmにそろえてから面積を求めます。

S = 0.060×0.060
  = 0.0036 m²
C = 8.8×10⁻¹²×0.0036/0.0010
  = 3.168×10⁻¹¹ F

最後に丸めて3.2×10⁻¹¹ Fです。ずらす前の容量は同じ方法で4.224×10⁻¹¹ Fです。重なり幅が元の3/4なので容量も3/4となり、丸める前の値はその関係を満たします。ずれの長さを面積として使うのではなく、残った幅に奥行きを掛けることが要点です。

電池と切断を分ける

標準例題です。ある平行板の初めの容量は12 pFで、理想電池の電圧は6.0 Vです。真空中で端効果を無視し、板を平行に保って重なり面積を初めの1/3にします。間隔は一定で、操作後は静電平衡にあります。電池につないだままの場合と、初めに充電してから電池を切り離した場合について、操作後の容量、正極板の電荷、電圧をそれぞれ求めてください。答えはpF、pC、Vを用いて有効数字2桁で表します。

どちらも形は同じなので、容量は4.0 pFです。接続したままなら電池が電位差を6.0 Vに保ちます。Q=CVより正極板の電荷は24 pCです。初めは72 pCなので、差の48 pCが電池側へ移動します。電池を含む系全体では電荷が保存され、板だけの電荷は一定とは限りません。

切り離した場合、各板は外と電荷をやり取りしないので、正極板には72 pCが残ります。電圧はV=Q/C=72/4.0=18 Vです。負極板を0 Vとした正極板の電位は18 Vです。確認として4.0 pFと18 Vの積は72 pCに戻ります。いずれの場合も板の容量は形から決め、次に電荷か電圧の保存条件を使います。

発展例題です。幅10 cm、奥行き4.0 cmの板を、間隔0.50 mmのまま幅方向へゆっくりずらします。真空中で端効果を無視し、ε₀=8.8×10⁻¹² F/mとします。理想電池が一定の5.0 Vを保つとき、ずれが1.0 cmから4.0 cmへ変化した間に、正極板の電荷がどれだけ減るか求めてください。単位はpC、有効数字2桁とします。

初めの重なり幅は9.0 cm、後は6.0 cmです。面積はそれぞれ0.0036 m²、0.0024 m²なので、容量は63.36 pF、42.24 pFです。電荷はそれぞれ316.8 pC、211.2 pCとなり、減少量は1.1×10² pCです。丸める前は105.6 pCです。

別解では減った重なり面積0.030×0.040=0.0012 m²に注目します。この面積に対応する容量はε₀S/d=21.12 pFで、電圧5.0 Vを掛けると105.6 pCです。前後の電荷の差と一致します。これは端の影響を無視して各面積の寄与を足せる模型での比較です。実際の板の移動中に電荷がどう流れるかを時間ごとに求めたものではありません。

容量の式を使う前に、板の重なりの形が長方形かどうかも確認します。たとえば一方を斜めに回せば、単に幅の差に奥行きを掛ける式は使えません。共通部分の面積を別に求めたうえで、その領域が間隔に比べ十分広いかを調べます。面積が同じでも、細長くなって縁の割合が増えれば近似の精度は変わります。式の比例関係と、その式が適用できる条件を同時に見ることが必要です。

測定の設計とグラフ

学校の指導の下で、低い電圧に対応した測定器を使い、板の間隔と奥行きを一定に保ちながら重なり幅を変えて容量を調べる設計を考えます。測定器や配線にも容量があるので、板の配置以外をできるだけ一定にし、測定器の背景の影響を別に評価します。板が傾くと場所によって間隔が変わり、単一のdを使った予測からずれます。位置の読み取りや板の平行度も誤差の原因です。

横軸を重なり幅、縦軸を容量にすると、理想模型では傾きがε₀b/dの直線です。横軸をずれxにすれば傾きは負になります。2点の容量差を幅の差で割ると、一定の背景容量は差の中で消えますが、端効果が位置とともに変化する影響は消えません。重なりが狭い端のデータを直線に無理に合わせず、間隔に比べて幅が十分大きい範囲で模型を比べます。直線の切片が零でないことだけから、直ちに測定器の故障と決めることもできません。

誤答を図に戻して直す

「板を半分ずらしても板の面積は同じだからCは同じ」という答えでは、式に入れる面積の対象がずれています。図3のように、幅aの板をa/2ずらした場合、向かい合う幅はa/2です。奥行きと間隔が変わらなければ、近似容量は初めの1/2です。図3の重なりを色で追い、その領域の面積を式に入れ直します。

次に、電池をつないだまま面積を半分にして「Q一定なのでVが2倍」とする誤りがあります。これは孤立した板の条件を、電池が電荷を出し入れできる条件に持ち込んだものです。電池につながる場合はV一定、切り離した場合は各板のQ一定と、操作ごとに書き分けます。容量が半分になるという幾何の結論は共通です。

また、電池を外した板の間隔を2倍にしたとき、電場も必ず半分になるという考えにも注意します。この模型で面積と電荷が一定ならσは一定なので、E=σ/ε₀も一定です。距離が2倍になった分、V=Edは2倍です。電池につないだままならV一定なのでE=V/dは半分となり、電荷も半分になります。同じ操作でも何を固定したかで電場の変化が異なります。

自分で試す5問

いずれも真空中、平行な導体板、端効果無視の模型とし、操作後は静電平衡とします。電荷は正極板の正の値で表します。計算用近似値はε₀=8.8×10⁻¹² F/mです。数値の答えは指定の単位で有効数字2桁にしてください。

1. 面積0.020 m²、間隔2.0 mmの板の容量をpFで求めてください。
2. 幅12 cm、奥行き5.0 cmの同じ板を幅方向に3.0 cmずらします。間隔を変えないとき、容量はずらす前の何倍ですか。分数で答えてください。
3. 容量18 pFの板に理想電池で4.0 Vをかけたまま、間隔を3倍にします。操作後の容量と電荷をpF、pCで求めてください。
4. 容量8.0 pFの板を9.0 Vで充電後、電池を切り離します。面積を変えずに間隔を半分にした後の電圧をVで求めてください。
5. 同じ大きさの板の重なり面積を2倍、間隔を4倍にします。操作前後の容量の比を分数で求めてください。両方の配置で近似が成り立つものとします。

解答と戻し方

1. C=8.8×10⁻¹²×0.020/0.0020=8.8×10⁻¹¹ Fです。答えは88 pFです。逆にCd/ε₀を計算すると0.020 m²となり、与えられた面積に戻ります。

2. 残る幅は12-3.0=9.0 cmです。奥行きが一定なので面積比は9.0/12=3/4、容量も3/4倍です。残る9.0 cmとずれの3.0 cmを足すと元の12 cmになります。

3. 容量は18/3=6.0 pFです。電池が電圧を保つのでQ=6.0×4.0=24 pCです。24 pCを6.0 pFで割ると4.0 Vとなり、電池の条件と一致します。減った電荷は電池側に移り、板と電池を合わせた電荷保存に反しません。

4. 切断後の電荷は8.0×9.0=72 pCです。間隔が半分になると容量は16 pFなので、V=72/16=4.5 Vです。16 pFと4.5 Vの積は元の72 pCに戻ります。電池が外れているので電圧を9.0 Vに固定しません。

5. 面積による2倍と間隔による1/4倍を掛け、容量比は1/2です。操作後の容量を2倍すると操作前の容量に戻ります。面積と間隔が両方増えたという言葉だけでは大小を判断せず、それぞれの倍率を使います。

覚えておくこと

C=ε₀S/dのSは向かい合う面積です。 電池につないだままなら電圧が一定です。 切り離した各板は電荷が一定です。 端の影響が大きい配置では近似を点検します。

つまずきの位置を見つける

式を覚えていても正答できないときは、まず板を上から見た図を描き、重なりの境界を指でたどれるか確かめます。次に、長さから面積を出す段階と、面積から容量を出す段階を分けます。図は正しいのに数値が違えば、cmからmへの換算や面積の単位を調べます。

個別指導では、同じ図を使い、電池をつなぐ場合と外す場合の2通りを言葉で説明してもらいます。容量の変化を先に決め、その後に固定される量を書く順番が保てるかを見ます。電場についても、電荷密度から求める方法と電圧を間隔で割る方法が同じ結果に至るかを確かめます。重なりを描き直す一手が、容量の変化を見える形にします。