高校物理 電気振動のエネルギー—電荷と電流の位相から二つの蓄積量を追う｜武蔵野個別指導塾

四分の一周期ごとの電荷と電流、電場と磁場の蓄積量から、電気振動をたどります。

よくあるのは、コンデンサーの電荷が零になった瞬間に、回路のエネルギーも零になると考える場面です。極板に電荷が残っていないなら電場のエネルギーは零ですが、その瞬間にはコイルに電流が流れ、磁場にエネルギーが蓄えられています。どこに蓄えられているかを時間とともに追うと、電気振動の図と式がつながります。

要点（結論から）

• 理想LC回路ではq²/(2C)+Li²/2が一定です。
• 電荷が零のとき電流は最大で、エネルギーは磁場にあります。
• T=2π√(LC)、最大電流はQ/√(LC)です。

何を求める問題なのか

電気振動の問題には、最初の電荷から最大電流を求める型、途中の電荷から電流の大きさを求める型、時刻による電荷と電流の向きを読み取る型があります。最初の2型ではエネルギー保存が近道です。3型では大きさの式に加えて、どちら向きに変化しているかが必要です。

例えば、同じ大きさの電荷を持つ時刻は、放電中にも逆向きの充電中にもあります。保存則はその2時刻の電流の大きさを同じと教えますが、電流の符号までは一意にしません。最初の極性と時間の経過を図に書き込み、向きを決めてから式を使います。

電気と磁気の結び付きは、高等学校の物理の「電気と磁気」の学習範囲に対応します。ここでは電源から切り離した理想LC回路を中心に扱い、抵抗がある場合は減衰を定性的に比べます。外部から周期的に電圧を加え続ける回路とは、エネルギーの出入りが異なります。

電荷と電流を同じ時計で読む

容量Cのコンデンサーと自己インダクタンスLのコイルを、抵抗のない導線で閉回路にします。電源は切り離され、放射などによる損失も無視します。極板Aの電荷をq、Aから外部のコイルへ流れ出る向きの電流をiとします。反対側の極板の電荷は-qで、極板間の電位差はAを基準側の極板より高い向きにq/Cです。

コンデンサーの電場のエネルギーはUₑ=q²/(2C)、コイルの磁場のエネルギーはUₘ=Li²/2です。両者の和Uは一定で、初めにq=Q、i=0ならU=Q²/(2C)です。Qは正の最大電荷とします。極板の電荷が逆符号になっても、エネルギーは電荷の二乗で表されるため負にはなりません。

図1のように最初は電場の側に全エネルギーがあり、放電が進むにつれて磁場の側が増えます。電荷が零になると電位差も零ですが、その時点では電流が最大です。コイルには電流の変化を妨げる自己誘導があるため、電流はそこで急に止まらず、極板を逆の極性に充電します。

図1の4段階は、最初から四分の一周期ずつ進んだ状態です。電流の正方向は放電時にAから流れ出る向きです。電場と磁場は場所の異なる貯蔵先であり、電荷と電流のどちらか一方を見ただけでは全エネルギーを判断できません。

Tは電荷と電流がともに元の状態に戻る最短の周期、Iは電流の最大値です。電荷の符号が逆になるT/2では電場の向きも逆ですが、電場のエネルギーは元と同じです。エネルギーの移り変わりだけを見るとT/2ごとに繰り返し、電荷の向きまで含む周期Tとは異なります。

理想回路の角周波数ωと周期は、ω=1/√(LC)、T=2π√(LC)です。高校の答案ではこの関係を使い、微分方程式を解く必要はありません。電荷が正弦的に変化することを用いれば、q=Q cos(ωt)、i=I sin(ωt)と書けます。選んだ電流の正方向がqの減る向きなので、正の符号が付いています。

この形と周期の関係を、回路の法則から確かめます。q=Q cos(ωt)なら、極板から流れ出る電流は電荷の減る割合なのでi=ωQ sin(ωt)です。コイルの自己誘導による起電力は電流の増加を妨げる向きで、その大きさと極板間電圧を閉回路で対応させると、Lω²Q cos(ωt)=Q cos(ωt)/Cです。零でない時刻について比較するとω²=1/(LC)となり、上の周期に一致します。これは与えた正弦波が法則を満たす確認であり、解法として微分方程式を解いたものではありません。

同じ関係は端の状態の保存則からも読み取れます。最初とT/4を比べるとQ²/(2C)=LI²/2なので、I=Q/√(LC)=ωQです。なお、最大電流と最大電荷は同時には起こりません。両方の最大値を同じ時刻のUₑとUₘに代入して足すと、実際の全エネルギーを2倍に数えます。

基本例題：放電の途中の大きさ

容量4.0 μFのコンデンサーを初めに12 Vまで充電し、電源を切り離して、自己インダクタンス9.0 mHの理想コイルと閉回路にします。初めの電流は零で、損失を無視します。極板Aを初めに正とし、そこからコイルへ流れ出る向きを電流の正方向とします。最大電荷、最大電流、Aの電荷が初めの正の最大値の半分になった最初の時刻の電流を求めてください。答えは有効数字2桁、電流には符号を付けます。

図2のように、初めと最大電流の瞬間を比べます。与えられた値は自作の計算条件で、μFは10⁻⁶ F、mHは10⁻³ Hです。

初めの電荷とエネルギーは次の通りです。

Q = CV = 4.0 × 10⁻⁶ × 12 = 4.8 × 10⁻⁵ C
U = CV²/2 = 2.9 × 10⁻⁴ J

最後の値は表示時に丸めています。保存則に丸め前の値を用いると、最大電流Iは次のように求まります。

LI²/2 = CV²/2
I = V√(C/L)
  = 12√(4.0 × 10⁻⁶ / (9.0 × 10⁻³))
  = 0.25 A

途中では電荷がQ/2なので、電場のエネルギーは初めの1/4です。残りの3/4が磁場にあるため、電流の大きさはIの√3/2倍です。答えは+0.22 Aです。最初の時刻はAから電荷が流れ出る途中なので正とします。

答えを場面に戻すと、最大電流のときの磁場エネルギーは9.0 × 10⁻³ × (約0.253)²/2で、初期の0.000288 Jに一致します。途中でも電場に1/4、磁場に3/4があり、合わせて初めの量です。電流を先に2桁に丸めて再計算すると多少ずれるので、照合には丸め前の値を使います。

標準例題：周期と符号を分ける

容量5.0 μF、自己インダクタンス20 mHの理想LC回路で、初めに極板Bの電荷が+30 μC、電流が零です。Bからコイルへ流れ出る向きを正とします。πは記号のまま残し、周期を秒で、3T/4におけるBの電荷と電流を有効数字2桁で求めてください。損失は無視します。

まずLC=1.0 × 10⁻⁷ s²です。したがってT=2π√(1.0 × 10⁻⁷) sで、整理するとπ√10 × 10⁻³ sです。最大電流はQ/√(LC)から0.095 Aです。3T/4ではBの電荷は0 C、電流は-0.095 Aとなります。

符号の理由は、T/2でBが負に帯電した後、Bへ正電荷が流れ込む向きに電流が流れるためです。Bから流れ出る正方向とは逆です。逆に、この時刻の磁場エネルギーをLI²/2で求めると、初期のQ²/(2C)=9.0 × 10⁻⁵ Jに戻ります。電流の符号を二乗で失う点も、エネルギーの式だけでは向きが決まらない理由です。

別の見方では、0からT/4へ向かう電流と、T/2から3T/4へ向かう電流を、極板の極性が逆であることから比較します。大きさは対称で向きは反対です。電流の正方向を反対に取れば答えの符号も逆になりますが、物理的な流れは変わりません。

発展例題：途中の電荷とエネルギーの比

理想LC回路の容量を8.0 μF、自己インダクタンスを2.0 mHとします。初めに電荷の大きさが40 μC、電流が零です。放電中に電場エネルギーと磁場エネルギーが等しくなるとき、電荷と電流の大きさを有効数字2桁で求めてください。方向は問わず、損失は無視します。

全エネルギーの半分が電場にあるので、q²/(2C)=Q²/(4C)です。よって電荷の大きさはQ/√2=28 μCです。最大電流はQ/√(LC)=0.32 Aであり、その1/√2倍の0.22 Aが求める電流です。丸め前ではそれぞれ20√2 μC、√0.05 Aです。

別解として、等しいエネルギーの条件q²/C=Li²と保存則を連立しても同じ答えです。求めた電荷を戻すと初期の電場エネルギーの半分になり、電流も残りの半分を担います。比が半分だから電荷も電流も半分とするのではなく、二乗の関係を戻して確かめます。

測定とグラフで模型の限界を見る

電圧の時間変化を観測するなら、学校の指導の下で、安全な範囲の装置を用い、測定器の入力が回路に加える負荷にも注意します。コンデンサーの電圧はq/Cに比例するため、容量が一定なら電圧の符号と波形から極板の電荷を追えます。電流の波形も同じ時間軸に重ねれば、電圧の山と電流の山が四分の一周期ずれるかを調べられます。

時間軸の目盛りを読み、同じ向きの隣り合う山の間隔を周期として複数回比べます。零を横切る点から次の山までを測る場合は四分の一周期に相当しますが、山の向きと横切る向きを区別しないと半周期を周期と誤認します。電圧の二乗に比例する電場エネルギーの山は、正負どちらの電圧の山でも現れます。

実際にはコイルの抵抗や測定器へのエネルギー移動が波形を変え、山の高さが小さくなることがあります。時間分解能が不足すると山の時刻や最大値も読み違えます。繰り返し測ってばらつきを見ることと、測定器をつなぐことで回路自体が変化する系統的な影響を考えることは別です。理想式と測定値が一致しないときは、すぐに式を捨てず、その式が仮定する損失の有無を点検します。

抵抗があれば電流によって熱が生じ、LCに蓄えられたエネルギーは減ります。熱を含む全体のエネルギーが消えるわけではありません。抵抗が小さく振動が続く場合には振幅が減衰しますが、抵抗の大きさによっては振動を繰り返さずに落ち着くこともあります。どんな抵抗でも同じ正弦波の振幅が下がるとは限りません。

誤答を直す：零の対象を取り違えない

図3のように、電荷が零の瞬間に電場のエネルギーを零とするところまでは正しい判断です。そこから全エネルギーも零とするのが誤りです。電流が最大となり、コイルの磁場に初期エネルギーが移っています。

図3の右側では電荷の零と電流の零を別々に確認します。電荷の正負は電場の向きに関係し、電流の正負は磁場の向きに関係します。どちらのエネルギーも二乗で決まるので、向きの反転とエネルギーが負になることは別です。

もう一つの誤答は、qがQ/2ならiもI/2とするものです。二つのエネルギーが比例する対象はqとiの二乗です。qが半分なら電場エネルギーは1/4、磁場エネルギーは3/4なので、電流は√3/2倍です。逆に電場と磁場のエネルギーが等しいとき、電荷と電流はそれぞれ最大値の1/√2倍です。

周期にも落とし穴があります。極板の電荷が正の最大から負の最大へ変わる時間はT/2で、符号まで元に戻る時間ではありません。エネルギーだけが元の配分に戻った時刻を、電荷と電流の状態の周期と混同しないようにします。

練習：条件を読み替える5問

いずれも電源を切り離した理想LC回路で、初めの電流は零、初めの正極板からコイルへ流れ出る向きを正とします。損失は無視し、数値は自作です。近似が必要な答えは有効数字2桁にし、πや根号を残す指定ではそのまま表してください。

1. 容量2.0 μFを10 Vに充電し、自己インダクタンス5.0 mHのコイルにつなぎます。初期電荷と全エネルギーをそれぞれCとJで求めてください。
2. 最大電荷が60 μC、容量が3.0 μF、自己インダクタンスが12 mHです。最大電流をAで求めてください。
3. 容量25 μF、自己インダクタンス4.0 mHです。周期を秒で、πと根号を使って表してください。
4. 最大電流が0.40 Aの回路で、正極板の電荷が正の最大値の4/5となる最初の時刻の電流を、符号付きで求めてください。
5. 初めの正極板の電荷と正方向の電流について、T/2と3T/4のそれぞれの符号または零を答えてください。また、各時刻に全エネルギーが蓄えられる場所を答えてください。

練習の答えと確かめ

1. Q=CV=2.0 × 10⁻⁵ C、U=CV²/2=1.0 × 10⁻⁴ Jです。電荷から電圧を戻すとQ/C=10 V、Q²/(2C)も同じエネルギーです。
2. I=Q/√(LC)=6.0 × 10⁻⁵ / √(3.0 × 10⁻⁶ × 12 × 10⁻³)=0.32 Aです。丸め前の電流をLI²/2に戻すと、初期のQ²/(2C)=6.0 × 10⁻⁴ Jに一致します。
3. LC=1.0 × 10⁻⁷ s²なので、T=π√10 × 10⁻³ sです。逆に(T/(2π))²を計算すると与えられたLCに戻ります。
4. 電場エネルギーは初期の16/25、磁場エネルギーは9/25です。電流の大きさは最大値の3/5で、放電中なので+0.24 Aです。二乗の比を足すと16/25+9/25=1となります。
5. T/2では電荷は負、電流は零で電場に蓄えられます。3T/4では電荷は零、電流は負で磁場に蓄えられます。さらにTまで進めると電流は零、電荷は初めの正に戻り、表の一巡と整合します。

要点

• 理想LC回路ではq²/(2C)+Li²/2が一定です。
• 電荷が零のとき電流は最大で、エネルギーは磁場にあります。
• T=2π√(LC)、最大電流はQ/√(LC)です。
• 電荷と電流の符号は正方向と時間の経過から決めます。
• 抵抗があるとLCのエネルギーは熱などへ移ります。

つまずきを見分けるには

電荷が零の絵を描いてもらい、コイルの電流と磁場を併記できるかを見ると、貯蔵先の見落としを見分けられます。式が合っていても向きの説明が止まる場合は、最初の極性と正方向を図に戻して、T/4ずつ状態をたどります。反対に、向きは追えるのに途中の大きさを誤る場合は、電荷とエネルギーの二乗関係を確認します。

個別指導では、同じ途中状態について保存式、電流の矢印、エネルギーの配分をそれぞれ説明し、互いに矛盾しないかを確かめます。計算結果を元の電圧や初期エネルギーに戻せば、単位換算の誤りにも気づけます。電荷の符号とエネルギーの所在を別々に追うことが、電気振動を読み解く鍵です。