高校物理 自己誘導と相互誘導—電流変化と巻き方から起電力と蓄積量を読む｜武蔵野個別指導塾

コイルの電流の傾きと巻線の向きを手掛かりに、切替時の電流と蓄えたエネルギーを読み解く自己誘導。

よくあるのは、高校生がコイルの起電力の向きを電流そのものから決める場面です。同じ向きの電流でも、大きくなっているときと小さくなっているときでは、変化を妨げる向きが反対になります。コイルの両端に印を付け、電流の変化、誘導起電力、回路の電圧の順にたどると、切替直後の判断も整理できます。

何が変わっているかを先に見る

問題の出方は大きく3つあります。1つ目は電流と時間のグラフから自己誘導起電力を求める問題です。読み取るのはグラフの高さではなく傾きです。電流が大きくても一定なら、自己誘導起電力は零です。2つ目はスイッチの切替前後です。切替直後に電流が急に変わると扱うと、有限の電圧を前提とするコイルの模型と矛盾します。切替後も電流が流れる閉じた経路を図に残し、直前の電流を初期値にします。

3つ目は近くに置いた2つのコイルです。一次側の電流がつくる磁束の変化が、二次側に起電力を生じさせます。二次側の回路が閉じているなら、その起電力によって流れる電流の向きまで問えます。開いていれば端子に電位差は生じても、二次回路を巡る電流は流れません。向きの問題では、巻き方を確認する前に式の符号だけで結論を出さないことが必要です。

磁束の変化と端子の向き

コイルを貫く磁束が変化すると、変化を妨げる向きの誘導起電力が生じます。自分自身の電流がつくる磁束の変化によるものが自己誘導です。磁性体の状態や配置を一定とし、磁束と電流が比例する模型では、巻数を含めた磁束の合計は電流 I に比例します。その比例係数を自己インダクタンス L と呼びます。単位は H です。

電流の正方向と、その電流がつくる磁束の正方向を対応させると、一定の傾きの区間で自己誘導起電力 ε は次の式です。

ε = -LΔI/Δt

負号は、正向きに増える電流を妨げる起電力が負向きであることを表します。正向きの電流が減るときは ΔI が負なので、起電力は正向きです。これは電流を増やし続けるという意味ではなく、減少を妨げる向きに働くという意味です。区間ごとに傾きが変わるグラフでは各区間で別に計算し、折れ点そのものの瞬間の傾きは、この折れ線の模型から一意に定めません。

図1のように、電流が右向きを正として増加するとき、起電力は左向きです。減少するときは右向きです。起電力の矢印はコイル内部で正電荷を動かそうとする向きとして描いています。コイルの抵抗を無視するなら、正電流が流入する端子から流出する端子への電位差は LΔI/Δt です。起電力の向きと端子間の電位差の符号を混ぜないようにします。

次にエネルギーを考えます。初め電流が零の理想コイルに電流を徐々に流すと、電源は誘導起電力に逆らって仕事をします。ある電流 i まで増やすのに必要な電圧と電流の関係から、蓄えたエネルギーは U = LI²/2 です。電圧が電流の増加率に比例することを用いれば、一定の増加率では、電流と時間のグラフの三角形の面積に LΔI/Δt を掛けても同じ結果になります。エネルギーは電流の向きを反転しても非負です。これは抵抗で消費された熱とは別に、磁場に蓄えられる量です。

相互誘導では、一次電流 I₁ に比例する二次側の鎖交磁束を考えます。2つの基準電流が同じ向きの磁束をつくるように端子を選び、相互インダクタンスを M とすれば、二次の基準方向の起電力は ε₂ = -MΔI₁/Δt です。M の単位も H です。配置や向きを変えれば M や符号の対応も変わります。巻線に付けた印は、印の端子から各コイルへ正電流が入ると同じ向きの磁束をつくることを表します。印の端子を基準にした電位差と、閉回路を流れる向きを区別します。

基本例題：折れ線の傾きと蓄積量

理想コイルの自己インダクタンスを 2 H とします。正方向の電流は、時刻 0 s に 0 A、2 s に 4 A、4 s に 4 A、6 s に 2 A となり、その間はそれぞれ直線的に変化します。各区間の正方向の平均起電力と、6 s の蓄積エネルギーを、単位付きの整数で求めてください。端子を通る電流の正方向は図2の矢印の向きとします。

図2の最初の区間では、2 s の間に電流が 4 A 増えています。したがって傾きは 2 A/s です。

ΔI/Δt = (4 - 0)/2 = 2 A/s
ε = -2 × 2 = -4 V

正方向に電流が増えるのを妨げるため、起電力は負方向です。次の区間は 4 A という電流が流れていますが、変化はありません。したがって傾きも起電力も 0 です。

最後の区間では、電流は正方向に流れながら減っています。傾きは (2 − 4)/2 = -1 A/s ですから、起電力は正方向の 2 V です。向きが最初の区間と逆になっても、電流自体が逆向きになったわけではありません。

6 s のエネルギーは U = 2 × 2²/2 = 4 J です。逆に 4 J から I² = 2U/L = 4 A² となり、問題の正向きの電流 2 A に戻ります。最初の区間では電源側が理想コイルに渡すエネルギーは、端子電圧 4 V と平均電流 2 A と時間 2 s の積で 16 J です。これは 4 A での LI²/2 と一致します。最後の区間には 16 J から 4 J への減少があり、コイルから外部へ 12 J が渡ります。電流が一定の区間では理想コイルの端子電圧は零で、エネルギーも 16 J のままです。

切替と巻線を追う2題

標準例題：抵抗を通る減衰

起電力 12 V の理想電源、抵抗 3 Ω、自己インダクタンス 2 H の抵抗のないコイルを直列につなぎ、十分長く待ちます。次に切替スイッチで電源を回路から外し、同じ抵抗とコイルだけが閉回路をつくるようにつなぎます。切替前の定常電流、切替直後の電流とその変化率、切替直後の抵抗の電力、最終的に抵抗に生じる熱量を求めてください。正方向は切替前の電流方向とし、答えは単位付きの整数とします。スイッチの切替時間は模型上無視し、開いた経路は考えません。

十分後には電流が一定なので、理想コイルの自己誘導起電力は零です。電源電圧は抵抗にかかり、電流は 12/3 = 4 A です。切替直後もコイル電流は 4 A で、向きも同じです。抵抗による電圧降下 3 × 4 = 12 V をまかなうようにコイルが正方向へ起電力を生じます。

-LΔI/Δt = RI
ΔI/Δt = -RI/L = -3 × 4/2 = -6 A/s

ここでの変化率は切替直後の瞬間の値です。その後は電流が減るので、変化率の大きさも変わります。直後の抵抗の電力は I²R = 4² × 3 = 48 W です。最初にコイルが蓄えるエネルギーは 2 × 4²/2 = 16 J で、電源を外した後、他の損失を無視すれば最終的に 16 J が抵抗で熱になります。電流が十分後に零になることと、直後に零になることを区別してください。

閉回路の確認として、直後のコイルの起電力 12 V と抵抗の電圧降下 12 V はつり合います。また、直後のコイルのエネルギー減少率は LI × 6 = 48 W で、抵抗の電力と一致します。最終熱量を 48 W に時間を掛けて求めてはいけません。電力は減衰中ずっと一定ではないからです。減衰の細かな時間変化を求めなくても、前後のエネルギーで熱量を求められます。

発展例題：一次の傾きが変わるとき

2つの固定したコイルの相互インダクタンスを 0.5 H とします。印の端子からそれぞれのコイルに入る電流が同じ向きの磁束をつくります。一次電流の正方向は印の端子から入る向きです。一次電流は 0 s で 0 A、2 s で 6 A、4 s で 8 A、6 s で 4 A とし、各区間では直線的に変化します。二次側は開放し、二次の印の端子の電位から他端の電位を引いた値を、各区間について単位付きの整数または小数で求めてください。磁束と電流は比例し、外部磁束は変化しないものとします。

一次の傾きは順に 3 A/s、1 A/s、-2 A/s です。二次の印から入る向きを基準にした誘導起電力は、それぞれ -1.5 V、-0.5 V、1 V です。開放された二次では、その起電力が電荷を分離し、端子間の電位差とつり合います。したがって印の端子の電位から他端を引いた値は、起電力の符号と逆で、順に 1.5 V、0.5 V、-1 V です。

別の考え方では、一次電流が増えるとき、二次の誘導電流が流れるなら一次の磁束を打ち消す向きです。印の端子から二次へ入る電流は一次と同じ向きの磁束をつくるので、実際に流れようとする向きはその逆です。よって開放した印の端子は他端より高電位になります。一次電流が減る最後の区間では、磁束の減少を補う向きとなり、極性は逆転します。計算を戻して 1.5/0.5 = 3 A/s、0.5/0.5 = 1 A/s、-1/0.5 = -2 A/s となり、各区間の元の傾きに一致します。

この値は二次が開放され、一次電流の変化が問題文どおりに与えられる模型の値です。二次を抵抗で閉じると二次電流も磁束をつくり、一次側の電源や回路に影響します。一次電流の波形が同じに保たれる条件を別に指定しなければ、開放時の結果から一次の振る舞いまで決めることはできません。

測るなら何を比べるか

学校の指導の下で、低電圧の測定装置を使う設計を考えます。一次の電流と二次の開放端子の電圧を同じ時間軸で記録し、一次電流が直線的に変わる区間を選びます。電流の差を時間差で割った傾きと二次電圧を組にし、横軸を傾き、縦軸を印の端子の電位差にすると、理想模型では原点を通る直線の傾きが M です。横軸が電流そのものなら、その傾きを M と読むことはできません。

例えば自作の模型データで傾きが 1、2、3 A/s のとき電位差が 0.4、0.8、1.2 V なら、比例係数は 0.4 H です。これは説明用の値で、実測値ではありません。測定では電流の時刻合わせのずれ、電圧計の零点、巻線の位置の変化や外部磁場の変化が誤差になります。電圧計の抵抗が有限なら、厳密な開放状態からも外れます。傾きが変わる境目は応答の遅れの影響を受けやすいので、その近傍を避けて区間を比べます。測定値が原点を外れた場合、直ちに新しい法則とせず、零点や外部磁束の変化を確認します。

誤答を図で直す

「電流が正だから、誘導起電力は常に負」と書く誤答を考えます。電流が正でも、図3のように減少中なら傾きは負です。自己誘導は電流の存在を消すのではなく、変化を妨げます。減り始めた電流を保つ向きに起電力を描き直します。

図3では電流と起電力が同じ正方向です。電流が正で一定の場合と、正で減少する場合を並べると、両者の違いは高さではなく傾きにあります。数式でも ΔI = 最後の電流 − 最初の電流 と書けば、減少時に負になる理由を追えます。

別の誤答は「切替後の回路に電源がないから電流は即座に零」です。電源が外れても閉じた抵抗とコイルの経路があれば、蓄えたエネルギーを使って電流が続きます。切替直後は直前の電流を初期値とし、その後の抵抗での発熱を考えます。実際の切替では接点や寄生要素も影響しますが、経路を指定しない理想的な開放では、この問題の有限な抵抗回路として計算できません。

相互誘導では「一次電流と二次電流はいつも反対向き」という言い方も不十分です。回路図上の左右では磁束の向きが決まりません。印の端子に入る電流がつくる磁束を比較し、一次の増減を打ち消す二次の磁束を決めます。二次が開放されている場合は、実際の周回電流を描かず、流れようとする向きから端子の極性を考えます。

練習：5つの場面

以下はすべて理想化したコイルで、インダクタンスと配置は一定です。答えは指定された単位で整数、分数または小数とし、符号は問題の正方向に従います。

1. 3 H のコイルに流れる正方向の電流が、4 s の間に 1 A から 5 A へ直線的に増えます。平均自己誘導起電力を V で求めてください。
2. 4 H のコイルの電流が負方向に 3 A 流れています。磁場に蓄えられたエネルギーを J で求めてください。
3. 定常電流 2 A が流れる 6 H の理想コイルを、電源から切り離して 4 Ω の抵抗と閉回路にします。切替直後の電流の変化率を、元の電流方向を正として A/s で求めてください。最後に抵抗で生じる熱量も J で求めてください。
4. 相互インダクタンスが 0.2 H の2コイルで、印から入る各電流は同じ向きの磁束をつくります。一次の印から入る電流が 3 s の間に 9 A 減少します。二次は開放です。二次の印の端子の電位から他端の電位を引いた値を V で求めてください。
5. 5 H の理想コイルの電流が 1 A から 3 A へ増えます。コイルに蓄えられるエネルギーの増加を J で求めてください。電流の正方向は変わらず、他の損失は無視します。

答えと途中の確認

1. 傾きは (5 − 1)/4 = 1 A/s です。起電力は -3 × 1 = -3 V です。逆に傾き 1 A/s を 4 s 続けると 4 A 増え、初めの 1 A から最後の 5 A に戻ります。
2. U = 4 × (-3)²/2 = 18 J です。逆算では I² = 2 × 18/4 = 9 A² です。大きさは 3 A で、方向は問題の負方向を使います。
3. 直後の電流は元と同じ 2 A です。6ΔI/Δt = -4 × 2 から、変化率は -4/3 A/s です。正確な分数で表します。直後の抵抗降下 8 V とコイルの起電力 6 × 4/3 = 8 V は一致します。蓄積エネルギーは 6 × 2²/2 = 12 J なので、最終熱量は 12 J です。
4. 一次の傾きは -9/3 = -3 A/s です。二次の印の電位から他端を引いた値は MΔI₁/Δt = 0.2 × (-3) = -0.6 V です。値を M で割ると -3 A/s に戻り、3 s で 9 A の減少に対応します。
5. 初めは 5 × 1²/2 = 2.5 J、最後は 5 × 3²/2 = 22.5 J です。増加は 20 J です。最後のエネルギーから 2U/L を計算すると 9 A² となり、指定された 3 A に戻ります。エネルギー差は電流差を二乗して計算する量ではありません。

持ち帰る4点

• 起電力の向きは電流の変化を妨げる向きです。
• 自己誘導の大きさは L と電流の時間変化率の大きさの積です。
• 閉じた経路を保つ切替では、直後のコイル電流を直前とつなげます。
• 相互誘導の極性は巻線の対応と一次電流の傾きから決めます。

途中のどこで迷ったかを見分ける

電流のグラフを見て起電力を答える前に、各区間の傾きを言葉と符号で説明できるか確かめます。高さを読む誤りなら、同じ高さを通る増加区間と減少区間を描き、電流と傾きを別々に指さします。切替で迷う場合は、スイッチの両状態を別の回路図に描き、閉じた電流経路と直前の電流を残せているかを見ます。

個別指導では、巻線の印から入る電流がつくる磁束を生徒自身の矢印で示し、増減を妨げる二次側の向きを説明できるか確かめます。式の答えが合っていても、開放端子の電位差と閉回路の電流を取り違えることがあります。最後に、エネルギーや抵抗の電圧へ答えを戻して整合を確かめれば、符号の理由まで追えます。変化率と巻線の対応が、自己誘導と相互誘導の向きを決めます。