高校物理 交流素子の位相差—抵抗とコイルと容量の時間グラフを重ねる｜武蔵野個別指導塾

同じ正弦波電圧に対する電流の山を比べ、周波数とリアクタンスの関係から読み解く交流の位相差。

よくあるのは、コイルにつないだ交流電源について、電圧と電流のどちらが先に山へ着くかを毎回逆にする場面です。名前を唱える前に、電流が増えるときに自己誘導が何を妨げるか、電圧が最大のときに電荷がどう変わるかを見ます。同じ電圧波形を基準にすれば、抵抗、コイル、コンデンサーの違いを時間軸上で比べられます。

文部科学省の高等学校学習指導要領解説では、交流を含む電流と磁界を「物理」の電気と磁気の範囲で扱います。

山の順序と大きさを問う問題

出方の1つは、電圧と電流の時間グラフから素子を判定する問題です。両者の正の山を同じ周期内で探し、先に山へ着く波を先行と呼びます。山が見えなければ、同じ向きに零を通過する時刻を比べても構いません。正から負への通過と負から正への通過を混ぜると、半周期の違いを余分に数えてしまいます。

別の出方では、周波数を変えたときの電流の最大値を尋ねます。電圧の最大値を固定しているか、実効値を固定しているかを先に確認します。正弦波で一方を固定すれば他方も固定されますが、最大値と実効値を混ぜて割ることはできません。

さらに、時刻ごとの電力や測定結果から、理想素子というモデルの限界を考える問題もあります。以下では十分に時間がたった正弦波の定常状態を扱います。各素子はそれぞれ単独で理想交流電源につなぎ、導線の抵抗は無視します。コイルの抵抗やコンデンサーの漏れは理想模型には入れません。

同じ電圧に対して電流はいつ動くか

電圧と電流の正方向をそろえ、素子に電流が流れ込む側の電位から反対側の電位を引いたものを電圧 v とします。角周波数を ω、周期を T とすると ω=2π/T です。正弦波電圧を v=V₀ sin(ωt) とし、V₀ を正の最大値とします。周波数 f は 1/T なので ω=2πf です。

図1のように、抵抗の電流は電圧と同時に山へ着きます。理想コイルの電流の山は電圧の山より T/4 後、理想コンデンサーの電流の山は T/4 前です。位相差 π/2 は1周期の4分の1に当たります。図1は波形を上下に分けていますが、横軸の時刻は共通です。縦方向は電圧と電流の各瞬間値をそれぞれの最大値で割った値です。

抵抗 R では、瞬間ごとに v=Ri です。したがって i=(V₀/R) sin(ωt) となり、電圧と電流は同位相です。R が正なら電圧の符号が反転した瞬間に電流の符号も反転します。

インダクタンス L の理想コイルでは、自己誘導による起電力は電流の変化を妨げます。外から加える端子電圧はその逆向きを受け持ち、電流の増加率に比例します。電流を i=I₀ sin(ωt-π/2) とすると、時間に対する傾きは ωI₀ sin(ωt) です。ゆえに端子電圧は v=ωLI₀ sin(ωt) となり、V₀=ωLI₀ です。正弦波の傾きの関係を使った説明であり、微分方程式を解く必要はありません。

コイルでは、電流が零から正へ増える瞬間に、その増加を妨げる作用が強く、正の端子電圧が最大です。電流が正の最大値に達する瞬間には傾きが零なので、理想コイルの電圧は零です。この順序から、電圧が電流より T/4 先行すると確かめられます。

容量 C の理想コンデンサーでは、正方向に対応する極板の電荷を q として q=Cv です。電流はその電荷の増加率なので、v=V₀ sin(ωt) なら i=ωCV₀ sin(ωt+π/2) です。電圧が零を正向きに通過するとき、電荷の増加が最も速く、電流は正の最大値です。電圧が正の最大値に達すると電荷も最大で、その瞬間の電流は零です。よって電流が電圧より T/4 先行します。

電圧最大値を電流最大値で割った量を、コイルでは誘導リアクタンス Xₗ=ωL、コンデンサーでは容量リアクタンス X꜀=1/(ωC) と呼びます。どちらも単位は Ω です。抵抗と似た割り算ができますが、リアクタンスは位相差を伴うため、瞬間値について v=Xi と置けません。正弦波では実効値どうしの比も同じ X です。

周波数が高いほど、同じ振幅の電流をコイルに流すにはより急な電流変化が必要です。そのため Xₗ は f に比例して増えます。反対にコンデンサーでは、同じ電圧振幅なら同じ電荷をより短い時間で往復させるので電流振幅が増え、X꜀ は f に反比例します。これらは正の周波数での定常状態の式です。f=0 を代入して交流の位相を論じることはできません。

基本例題：同じ電圧で3つの山を探す

独立した3回の実験で、理想抵抗 R=4 Ω、理想コイル L=0.4 H、理想コンデンサー C=0.025 F をそれぞれ電源に単独でつなぎます。共通の電圧は v=12 sin(10t) V です。十分に時間がたった後の各電流の式と最大値、電圧の正の山から最も近い各電流の正の山までの時間を求めてください。t は秒、答えは根号や π を残す正確な形とします。

図2のように電圧の山は 10t=π/2 なので t=π/20 s です。まず ω=10 rad/s、周期 T=π/5 s と読みます。抵抗については次のように求めます。

iᵣ=v/R
  =3 sin(10t) A

電流の最大値は 3 A で、電圧の山と同時です。時間差は 0 s です。式に電圧が 12 V の瞬間を戻すと、4 Ω に 3 A が流れ、電圧は 12 V です。

コイルとコンデンサーについては次の通りです。

Xₗ=ωL=10・0.4=4 Ω
iₗ=3 sin(10t-π/2) A
X꜀=1/(ωC)=1/(10・0.025)=4 Ω
i꜀=3 sin(10t+π/2) A

電流の最大値はいずれも 3 A ですが、山の時刻は異なります。コイルの正の山は t=π/10 s で、電圧の山より π/20 s 後です。コンデンサーの正の山は t=0 s で、電圧の山より π/20 s 前です。コイルの電流が零を正向きに通過する t=π/20 s では、その増加率は 30 A/s です。L を掛けると 12 V となり、与えた電圧に戻ります。コンデンサーでも同時刻の電荷は 0.025・12=0.3 C で極大となり、電流は零です。

図2は各波の正の山を時刻の線上に並べた図です。コンデンサーの山とコイルの山の間は T/2 ですが、どちらも電圧を基準に T/4 ずつずれています。同じ大きさの電流が流れても、山が重なるとは限りません。

周波数を変えると何が変わるか

標準例題：電源の速さを変える

理想コイル L=0.6 H と理想コンデンサー C=0.015 F をそれぞれ単独で正弦波電源につなぎます。電圧の最大値はどちらも 9 V に保ち、角周波数を 10 rad/s から 20 rad/s に変えます。それぞれのリアクタンスと電流の最大値を、単位を付けて分数または整数で求めてください。定常状態とします。

コイルでは最初 Xₗ=10・0.6=6 Ω、電流最大値は 9/6=3/2 A です。変更後は Xₗ=20・0.6=12 Ω となり、電流最大値は 9/12=3/4 A です。コンデンサーでは最初 X꜀=1/(10・0.015)=20/3 Ω、電流最大値は 27/20 A です。変更後は X꜀=10/3 Ω、電流最大値は 27/10 A です。

逆算するとコイルの 12 Ω と 3/4 A の積は 9 V、コンデンサーの 10/3 Ω と 27/10 A の積も 9 V です。別の見方では、コイルの電流振幅は 1/ω、コンデンサーの電流振幅は ω に比例するため、周波数を2倍にすると前者は半分、後者は2倍です。増減の向きを計算前に予想でき、結果の点検に使えます。位相差は理想素子の範囲では変わらず、それぞれ π/2 です。時間差 T/4 は周波数が2倍になると半分になります。

発展例題：波の傾きと電力を追う

ある理想コイルの両端に v=8 sin(4t) V を加えたところ、定常状態の電流最大値が 2 A でした。インダクタンスと、t=π/8 s における電流・端子電圧・瞬時電力を求めてください。答えは整数と単位を用います。正方向は前節と同じです。

最大値の比から Xₗ=8/2=4 Ω、よって L=4/4=1 H です。電流は i=2 sin(4t-π/2) A です。t=π/8 s では電圧は 8 V、電流は 0 A、瞬時電力 vi は 0 W です。電流の傾きは 2・4=8 A/s なので、L=1 H を掛けると端子電圧は 8 V に戻ります。零電流で電圧が最大という結果は、コイルに電圧がかかる理由を電流の大きさではなく変化率に置けば自然です。

別解は、電圧が正の最大値になる時刻が電流の正の山より T/4 前であることを使う方法です。電流はその時刻に負から正へ零を通過します。積 vi が正の区間には電源からコイルの磁場へエネルギーが移り、負の区間にはエネルギーが電源へ戻ります。理想コイルの1周期の平均電力は零ですが、各瞬間の電力まで常に零という意味ではありません。理想コンデンサーでも電場への蓄積と返還が交互に起きます。抵抗では vi=Ri² なので負にならず、エネルギーは熱に変わります。

グラフと測定の条件

測定を設計するなら、学校の指導の下、安全な低電圧の交流電源を用い、素子の両端の電圧と電流に対応する信号を同じ時間軸で記録します。電流の正方向と電圧の測定端子を先に決め、位相を求める前に周期 T と同じ向きの零通過の時刻差 Δt を読みます。位相差の大きさは 2πΔt/T です。先行か遅れかは時刻の前後で別に示します。

例えば周期の読みが合っていても、電圧の測定端子を逆にすると波形が上下反転し、半周期ずれたように見えます。接続の向きを記録して修正します。零付近の雑音で通過時刻が定まらない場合は、複数周期で同じ向きの通過時刻を読み、周期と時間差を比較します。波形が正弦波から大きく外れた場合、山の時刻だけで理想素子の位相差を断定せず、波形と接続を調べ直します。

実際のコイルには巻線の抵抗があり、測定器にも回路への負荷や時間のずれがあります。理想値からずれた結果を直ちに計算ミスとは決められません。周波数を変えて電流振幅の傾向も調べ、端子の向きや測定系の遅れを確認してから、理想模型と比較します。図の滑らかな曲線は法則を見やすくする模型であり、実測データではありません。

逆に覚えた答えを直す

図3のように、電圧が正の最大値の瞬間を固定して考えます。コイルで「電流も最大」とすると、その瞬間の電流の傾きは零です。理想コイルの端子電圧は傾きに比例するので、正の最大電圧と矛盾します。正しくは電流が零を正向きに通過し、その後に正の山へ着きます。

図3では抵抗の電流は正の最大、コイルは増加しながら零、コンデンサーは減少しながら零です。コンデンサーについて「電圧が最大だから電流も最大」とした場合は、電圧に比例するのは電荷であることへ戻ります。電荷の山では一瞬変化が止まり、電流は零です。電流が先に山へ着いた後に電荷が積み上がり、電圧が最大になります。

もう1つの誤りは、コイルの自己誘導が電流そのものを妨げるとすることです。自己誘導が妨げるのは電流の変化です。電流が正でも減少中なら、変化を妨げる起電力の向きは増加中とは逆になります。素子の端子電圧と、コイル内部で生じる誘導起電力の向きも区別してください。

周波数に関して「容量が大きいほど電流が流れにくい」と判断したら、X꜀=1/(ωC) に戻ります。同じ電圧変化でも容量が大きければ移動する電荷が多く、電流振幅は大きくなります。式の分母と物理的な意味の両方から向きを点検できます。

自分で確かめる5問

次の問題は理想素子をそれぞれ単独で電源につないだ定常状態です。v と i の正方向は前と同じです。数値は学習用に設定しています。答えは指定の形で求め、最後に条件へ戻してください。

1. R=7 Ω の抵抗に v=14 sin(6t) V を加えます。電流の式と最大値を整数と単位で求め、電圧との位相関係を答えてください。
2. L=0.5 H のコイルに、角周波数 8 rad/s、最大値 20 V の正弦波電圧を加えます。リアクタンスと電流最大値を整数と単位で求め、電流の先行・遅れを答えてください。
3. C=0.02 F のコンデンサーに、角周波数 25 rad/s、最大値 6 V の正弦波電圧を加えます。リアクタンスと電流最大値を整数と単位で求め、電流の先行・遅れを答えてください。
4. ある正弦波の周期は 0.12 s です。電圧の正の山の 0.03 s 後に電流の正の山がありました。位相差を π を用いて表し、抵抗・理想コイル・理想コンデンサーのうち対応するものを答えてください。
5. 理想コンデンサーに最大値を一定に保った正弦波電圧を加え、周波数を元の 3 倍にします。電流最大値と容量リアクタンスがそれぞれ何倍になるか、整数または分数で答えてください。

解答と戻し方

1. i=v/R=2 sin(6t) A、最大値は 2 A です。電圧と電流は同位相です。電圧が最大の 14 V のとき電流は 2 A で、7 Ω に掛けると元の 14 V になります。

2. Xₗ=8・0.5=4 Ω、電流最大値は 20/4=5 A です。電流は電圧より π/2 遅れます。電流が負から正へ零を通過する瞬間、その増加率の最大値は 8・5=40 A/s です。L を掛けると 20 V となり、指定の電圧最大値に戻ります。

3. X꜀=1/(25・0.02)=2 Ω、電流最大値は 6/2=3 A です。電流は電圧より π/2 先行します。電圧が零を正向きに通過するとき、電圧の増加率は 25・6=150 V/s です。C を掛けると 3 A となり、求めた電流最大値に一致します。

4. 時間差は周期の 0.03/0.12=1/4 です。位相差は 2π・1/4=π/2 で、電流が遅れるので理想コイルです。逆に周期の1/4は 0.03 s となり、問題の山の間隔に戻ります。符号を省いて π/2 とだけ書くと、コンデンサーとの区別が残りません。

5. ω も 3 倍なので X꜀ は 1/3 倍、電流最大値は 3 倍です。戻して確認すると、電流最大値とリアクタンスの積は 3・1/3=1 倍となり、電圧最大値が一定という条件に合います。電流と電圧の位相差は π/2 のままですが、時間差は 1/3 倍です。

山を読むための要点

抵抗の電流は電圧と同位相です。 理想コイルでは電圧が電流より π/2 先行し、Xₗ=ωL です。 理想コンデンサーでは電流が電圧より π/2 先行し、X꜀=1/(ωC) です。 最大値どうし、または実効値どうしを対応させ、時間差は周期と比べます。

どこで止まったかを見分ける

位相の言葉を逆に書く場合は、正の山を時間軸に置き、左側が先という約束を確認します。グラフが描けてもコイルとコンデンサーを逆にする場合は、電流の傾きと電荷の傾きのどちらを見ているかを問い直します。最大値を求める計算で止まる場合は、ω と f の換算、単位、最大値と実効値の組を順に点検します。

個別指導では、まず電圧の山を1つ示して電流の零通過と増減を説明してもらい、次に周波数を変えたときの振幅を予想して式で照合します。答えが合ったときも、電流の式を元の電圧に戻せるか確かめます。電圧の山を基準に電流の変化を追えば、先行と遅れは図から決まります。