高校物理 直列交流の共振—位相をそろえた合成から電流と力率を求める｜武蔵野個別指導塾

電源を超えるコイル電圧を読み解く鍵は、位相を踏まえた直列共振です。

よくあるのは、直列につないだコイルの電圧が電源電圧より大きいという計算結果を見て、高校生が計算ミスだと決める場面です。電圧をそれぞれの最大値として足せば、確かに電源の値を超えてしまいます。しかし、交流では最大になる時刻がそろっているとは限りません。同じ時刻の電圧を足すという閉回路の決まりに立ち返ると、大きな電圧が現れる理由が見えてきます。

何を比べる問題なのか

直列交流の共振では、抵抗 R、コイルの自己インダクタンス L、コンデンサーの電気容量 C を直列にして、正弦波の電源につなぎます。以下では R は正、L と C は正で、コイルとコンデンサーは理想的、導線の抵抗は無視します。電源の角周波数を ω、電圧と電流の値は特に断らない限り実効値とし、十分時間がたった後の正弦波の定常状態を扱います。回路のどの素子にも同じ電流が流れます。

出方の1つは、与えられた ω で電流と各素子の電圧を求める型です。共通の電流を基準に電圧の位相をそろえれば、電源電圧を構成する成分が見えます。もう1つは、周波数を動かして電流が最大になる条件や、その前後の電圧の優劣を読む型です。さらに平均電力を問われたら、電流が流れていることと、電源から平均してエネルギーを受け取ることを区別します。

学習範囲は、高等学校の物理における電気と磁気のうち、交流と電流に関わる内容に沿います。並列共振や実際の機器の設計は扱わず、直列回路の理想化した模型に絞ります。

共通の電流を基準にする

抵抗の電圧は電流と同位相です。理想コイルでは電圧が電流より周期の4分の1だけ進み、理想コンデンサーでは電圧が電流より周期の4分の1だけ遅れます。同じ正弦波の位相差を、一定の速さで回る矢印の角度で表すと、各時刻の値は矢印の同じ軸への投影として読めます。矢印の長さには実効値を使い、瞬間値を表すときも同じ比で最大値に換算します。

図1のように電流と抵抗電圧を右向きに置くと、コイルとコンデンサーの電圧は互いに逆向きです。合成した矢印を同じ軸に投影すれば、各素子の瞬間電圧の和がその時刻の電源電圧になります。右向きの成分と上下の差は直角なので、三平方の定理で電源電圧を求められます。

図1の上向きと下向きは、紙面上の電流の経路ではなく位相を表す向きです。コイルのリアクタンスを X_L、コンデンサーのリアクタンスを X_C とすると、単位はどちらも Ω で、次の関係が成り立ちます。

X_L = ωL
X_C = 1/(ωC)
V_R = IR
V_L = I X_L
V_C = I X_C
V = √(V_R² + (V_L - V_C)²)
  = I√(R² + (X_L - X_C)²)

V は電源、V_R、V_L、V_C は各素子の電圧の実効値です。閉回路の電圧は瞬間値で足すため、実効値の大きさを V_R + V_L + V_C と足してはいけません。式中の V_L − V_C は位相の向きを含む成分で、負になっても電圧の実効値 V_C 自体は正です。

電源電圧と電流の実効値の比 Z = V/I をインピーダンスと呼びます。この回路では Z = √(R² + (X_L − X_C)²) です。コイルとコンデンサーの成分が等しいと差が零になり、Z は R まで小さくなります。電源電圧を一定に保つ条件では電流が最大となり、この状態を直列共振と呼びます。

共振条件 ωL = 1/(ωC) から、正の角周波数について ω₀ = 1/√(LC) です。振動数 f₀ は ω₀ = 2πf₀ より f₀ = 1/(2π√(LC)) となります。角周波数と振動数には 2π の違いがあるので、問題で求められた量を最後に確かめます。

共振時に V_L と V_C が等しくても、それぞれが零とは限りません。両者は逆位相で、回路全体の電圧を合成すると打ち消し合います。コンデンサーの電場とコイルの磁場にたまるエネルギーは時間とともに変化し、理想素子は一周期平均ではエネルギーを消費しません。電源と回路の間にも瞬間ごとのやり取りがあるため、打ち消しを各瞬間の蓄積エネルギーの単純な移し替えと決めつけないようにします。

基本例題：電源を超える電圧

抵抗 30 Ω、理想コイル L、理想コンデンサー C の直列回路に、電圧の実効値 60 V の正弦波電源をつなぎます。ある角周波数で X_L = 80 Ω、X_C = 80 Ω です。定常状態の電流と各素子の電圧の実効値を整数と単位で求め、電源電圧に戻して確認してください。電源と導線は理想的とします。

図2のように、同じ電流が3つの素子を通ります。共振条件が成立しているため、インピーダンスは 30 Ω です。

Z = √(30² + (80 - 80)²) = 30 Ω
I = 60/30 = 2 A
V_R = 2・30 = 60 V
V_L = 2・80 = 160 V
V_C = 2・80 = 160 V

図2の2つの 160 V は、それぞれ別の時刻の波形を実効値に直した大きさです。同じ時刻に同じ向きで 160 V ずつ加わるわけではありません。電源に戻すと √(60² + (160 − 160)²) = 60 V となり、与えた電源電圧と一致します。共振時には電源と電流も同位相なので、抵抗の平均消費電力は I²R = 120 W です。

別の見方では、電流が同じなので V_L と V_C が等しいとわかった時点で、その瞬間電圧は互いに打ち消し合います。したがって抵抗の瞬間電圧が電源の瞬間電圧と一致し、V_R = 60 V から I = 2 A を先に求められます。どちらの方法でも、打ち消すのは位相を含む電圧であり、素子そのものを回路から外すことではありません。

共振から離れたときの力率

抵抗 30 Ω の直列回路で、ある角周波数における理想コイルと理想コンデンサーのリアクタンスがそれぞれ 70 Ω、30 Ω です。電源電圧の実効値を 100 V とします。定常状態の電流と各素子の電圧、平均電力、力率を求め、整数または分数と単位で答えてください。電源電圧に対する電流の進み遅れも答えます。

Z = √(30² + (70 - 30)²) = 50 Ω
I = 100/50 = 2 A
V_R = 2・30 = 60 V
V_L = 2・70 = 140 V
V_C = 2・30 = 60 V

コイル側の成分が大きいため、合成電圧は電流より進み、電流は電源電圧より遅れます。電源電圧に戻すと √(60² + (140 − 60)²) = 100 V です。電圧の大きさの和は 260 V ですが、これは閉回路を同時刻で一周した電圧の和ではありません。

電源電圧と電流の位相差を φ とし、電源電圧に対する電流の遅れを正とします。図1の三角形から cosφ = V_R/V = R/Z = 3/5 です。この比を力率と呼び、正弦波の平均電力 P は VI cosφ で求めます。ここでは P = 100・2・(3/5) = 120 W です。

理由を瞬間の電力から見ると、電圧のうち電流と同位相の成分は、電流との積を一周期平均したときに正の値を残します。電流と4分の1周期ずれた成分は、一周期の正負の寄与が相殺されます。別解として抵抗の発熱 I²R = 2²・30 = 120 W を使っても一致します。理想コイルと理想コンデンサーには平均消費電力がない、という模型の条件に支えられた照合です。

周波数を動かすと山はどこにあるか

抵抗 30 Ω、理想コイル 0.50 H、理想コンデンサー 200 μF の直列回路で、電源電圧の実効値を 100 V に保ちながら角周波数を変えます。ω = 50 rad/s、100 rad/s、200 rad/s における電流の実効値を、根号を含む形または分数と単位で求めてください。各点のコイル側とコンデンサー側の大小も答えます。μ は 10のマイナス6乗です。

まず共振位置を求めます。LC = 0.50・0.000200 = 0.000100 s² なので、ω₀ = 1/√(LC) = 100 rad/s です。各点で、与えられた L と C からリアクタンスを計算します。

50 rad/s では Z = √(30² + (25 − 100)²) = 15√29 Ω、200 rad/s では差の符号が逆でも大きさが等しいため、同じ Z です。100 rad/s では Z = 30 Ω です。電源に戻すと、端の2点は I・15√29 = 100 V、中央は (10/3)・30 = 100 V となります。

共振より低い角周波数では X_C が大きく、電流は電源電圧より進みます。高い側では X_L が大きくなり、電流は遅れます。横軸を角周波数、縦軸を電流の実効値とするグラフには、電源電圧一定の条件で ω₀ に山があります。表の両端はたまたま同じ高さですが、周波数の差が共振点から等しい場所の高さが一般に同じとは限りません。

電源電圧が周波数によって変わる場合、I = V/Z の分子も変わるため、電流の最大点を Z が最小の点と直ちに同一視できません。また理想模型では R が小さいほど共振付近の山が高く鋭くなりますが、R = 0 の理想化では共振時に定常振幅を V/R で計算できません。実際の抵抗や電源の限界を無視した結果であり、無限の定常電流が実現するという意味ではありません。

測定値の読み方と模型の限界

周波数と電流の関係を調べるなら、学校の指導の下で、安全な電源と測定器を用い、電源電圧の実効値を各点で確認しながら周波数を変えます。測定前に定格と接続を確認し、定常になってから電流と各素子の電圧を読む計画です。電圧の測定位置を変えるときは、各値が同じ周波数、同じ電源電圧の条件に対応するように記録します。

たとえば表の模型を予想として使い、横軸に ω、縦軸に電流の実効値を取り、共振付近で測定点を増やします。縦軸の高さから電流を、山の横座標から最大となる角周波数を読みます。互いに逆位相の電圧の差を比べるときは、各素子の実効値の大小に加え、同じ電流を基準とした向きを記録します。この表は計算による自作の値で、実測値ではありません。

実際のコイルには抵抗があり、巻線やコンデンサーの性質も周波数によって理想式からずれることがあります。電源の出力が一定でないこと、計器が正弦波の実効値を正しく読める範囲に限りがあること、周波数の刻みが粗く真の山を外すことも誤差の原因です。山の位置が予想からずれた場合は、L と C の値、電源電圧、計器の測定範囲を順に確かめ、原因を1つと決めつけません。高い素子電圧が生じ得るため、家庭用電源を使った配線や操作は行いません。

誤答を図でほどく

図3のように、基本例題の 60 V、160 V、160 V を電圧の大きさとして一直線に足すと、380 V と出ます。これは異なる位相の波の実効値を足した値であり、電源の実効値ではありません。抵抗の成分を横、コイルとコンデンサーの成分を互いに逆向きに描き直すと、横の 60 V が残ります。

図3の右側では、同じ長さの上下の矢印が逆向きであることが重要です。コイル電圧が大きいときは上側の差が残り、コンデンサー電圧が大きいときは下側の差が残ります。差を二乗して電源電圧を求める前に、どちらが大きいかを見れば、電流の進み遅れも判断できます。

別の誤りは、共振時に V_L = V_C だから各素子の電圧も零とすることです。電流が零でなければ、それぞれ I X_L、I X_C の電圧があります。また、V_L が電源電圧より大きいことからエネルギー保存に反するとするのも誤りです。電圧と平均電力は別の量であり、理想素子の一周期平均の電力と抵抗での発熱を分けて照合します。

力率を X_L/Z や X_C/Z とする誤答もあります。力率は電源電圧と電流の位相差の余弦ですから、基準となる抵抗電圧の成分 V_R を電源電圧 V で割ります。電流を基準に直角三角形を描いて、斜辺が Z、横辺が R と対応するか点検すると修正できます。

練習：条件を読んでから手を動かす

いずれも理想電源、抵抗、理想コイル、理想コンデンサーを直列につないだ正弦波の定常状態です。電圧と電流は実効値で、R は正とします。各答えは指定の形で表し、近似せずに扱ってください。

1. R = 12 Ω、X_L = 17 Ω、X_C = 8 Ω、電源電圧 45 V です。電流と各素子の電圧を整数と単位で求め、電流の進み遅れを答えてください。
2. R = 8 Ω、X_L = 5 Ω、X_C = 11 Ω、電流 3 A です。電源電圧と平均電力を整数と単位で、力率を分数で求めてください。
3. L = 0.20 H、C = 500 μF です。共振角周波数を整数と単位で、共振振動数を π を使った式と単位で求めてください。μ は 10のマイナス6乗です。
4. 共振状態で R = 18 Ω、電源電圧 36 V、X_L = X_C = 27 Ω です。各素子の電圧と平均電力を整数と単位で求めてください。
5. R = 7 Ω、X_L = 2 Ω、X_C = 26 Ω、電源電圧 50 V です。電流、力率、平均電力を整数または分数と単位で求め、電流の進み遅れを答えてください。

練習の答えと途中式

1. Z = √(12² + (17 − 8)²) = 15 Ω より I = 45/15 = 3 A です。各電圧は V_R = 36 V、V_L = 51 V、V_C = 24 V です。コイル側が大きく、電流は電源電圧より遅れます。電源に戻して √(36² + (51 − 24)²) = 45 V です。

2. Z = √(8² + (5 − 11)²) = 10 Ω、V = 3・10 = 30 V です。力率は 8/10 = 4/5、平均電力は 3²・8 = 72 W です。各電圧は 24 V、15 V、33 V なので、√(24² + (15 − 33)²) = 30 V です。電源側からも 30・3・(4/5) = 72 W と確認できます。

3. LC = 0.20・0.000500 = 0.000100 s² より ω₀ = 100 rad/s、f₀ = 50/π Hz です。共振条件へ戻すと ω₀L = 20 Ω、1/(ω₀C) = 20 Ω となり、両者が等しくなります。振動数の形でも 2π・(50/π) = 100 rad/s です。

4. 共振では Z = 18 Ω なので I = 36/18 = 2 A です。V_R = 36 V、V_L = 54 V、V_C = 54 V、平均電力は 2²・18 = 72 W です。電源への合成は √(36² + (54 − 54)²) = 36 V、電源側の平均電力も 36・2 = 72 W です。

5. Z = √(7² + (2 − 26)²) = 25 Ω なので I = 2 A です。力率は 7/25、平均電力は 2²・7 = 28 W です。コンデンサー側が大きいので電流は電源電圧より進みます。各電圧は 14 V、4 V、52 V であり、√(14² + (4 − 52)²) = 50 V、電源の平均電力も 50・2・(7/25) = 28 W です。

手元に残す要点

• 直列回路では同じ電流を基準に、抵抗電圧とリアクタンス成分を直角に描きます。
• Z = √(R² + (ωL − 1/(ωC))²)、I = V/Z です。
• 一定の電源電圧では ω₀ = 1/√(LC) で電流が最大になります。
• 共振時のコイルとコンデンサーの電圧は等しく逆位相で、各電圧は零とは限りません。
• 力率は R/Z、平均電力は VI(R/Z) = I²R です。

つまずきの見分け方

解答の最初に電圧の値が並んでいたら、何を基準にした位相かを聞いてみます。各値に同じ電流を掛けられているのに電源電圧で足し算が止まる場合は、波形の山が同時かを図で確かめると、式を直す理由が明確になります。逆に図が描けても X_C が周波数とともに増えると考えている場合は、1/(ωC) の分母に ω があることと、低周波側での大小を照合します。

個別指導では、まず共振の内外でどちらの成分が勝つかを口頭で説明し、次に同じ問題を電圧の三角形と電力収支の2通りで確認します。最後に電源の値を元の条件へ戻せれば、計算値が大きいという見かけに惑わされず、直列共振の電圧を判断できます。