中学受験の算数 不足がそろう整数—倍数までの不足を足して候補の列を作る｜武蔵野個別指導塾

5で割って3あまり、7で割って5あまる数を、あと2でどちらも割り切れる点から並べます。余りが違っても候補がそろう不足です。

出方の型と、最初に見る場所

よくあるのは、5で割って3あまる数を「あと3で割り切れる」と読んでしまう場面です。23を5の段で見ると、20の次は25で、23から25までは2です。それなのに、余りの3をそのまま「あと3」と読み、25から3を引いた22を「5で割って3あまる数」だと考えてしまいます。22を5で割ると余りは2で、問題文の余り3になりません。余りと不足は、同じ割り算の中に出てくる別の数です。この2つを分けて書けるようになると、余りがばらばらな条件でも、当てはまる数を一本の列に並べられます。

問われ方は大きく3つに分かれます。1つ目は、2つの除数について不足が同じになる数を、最も小さいものから求める形です。2つ目は、100以上200以下のように範囲を決めて、当てはまる数を全部書く形です。3つ目は、3つの除数が並ぶ形や、余りだけが示されて不足を自分で計算してから比べる形です。どの形でも、最初にすることは同じです。それぞれの割り算について、次の倍数まであと何個足りないかを1つずつ書き、その数がそろうかどうかを見ます。そろえば、もとの数は公倍数から不足を引いた列に乗ります。そろわなければ、この型では解けません。

見通しを先に置きます。余りを書く、不足に直す、不足を比べる、公倍数を求める、公倍数から不足を引いて候補を並べる、最後に割り算へ戻して確かめる。この6つの手順を、どの例題でも同じ順にたどります。途中の数字を暗算で飛ばさず、1行ずつ書くことが、余りと不足の取り違えを防ぎます。

用語と考え方 — 余りから不足へ

割り算では、割られる数は、除数と商の積に余りを足した数になります。たとえば23を6で割ると、商は3、余りは5です。6が3個で18、そこに5を足すと23になります。このとき、次の6の倍数は24です。23から24までは1です。この1を、ここでは「倍数までの不足」と呼びます。余りが5のときの不足は、6から5を引いた1です。余りと不足を足すと、ちょうど除数になります。5と1で6、7と1で8です。この足し算が合っているかを見れば、不足を出したときに取り違えていないかがその場でわかります。

不足の求め方を整理します。余りが1以上なら、不足は「除数から余りを引いた数」です。余りが0なら、その数はすでに倍数なので、不足は0です。ここで0を除数と取り違えないことが大切です。9で割り切れる数の不足は9ではなく0です。次の倍数がその数自身だからです。代表的な組を表にすると、次のようになります。

不足が同じになる2つの条件を考えます。6で割って2あまる数と、9で割って5あまる数を見ます。14は6で割ると2あまり、9で割ると5あまります。不足は6から2を引いて4、9から5を引いて4で、どちらも4です。もとの数に4を足すと、6で割った側では余りの2が4で埋まって、ちょうど6で割り切れます。9で割った側でも、余りの5が4で埋まって割り切れます。つまり、もとの数に不足を足した数は、2つの除数でどちらも割り切れます。余りと不足を足すと除数になるので、余りに不足を足した数が除数で割り切れる、と確かめることもできます。

その数は2つの除数の公倍数です。公倍数は、最小公倍数、その2倍、3倍、…と、最小公倍数ずつ増えていきます。ですから、もとの数は、最小公倍数から不足を引いた数、最小公倍数の2倍から不足を引いた数、3倍から不足を引いた数、…と並びます。不足が0のときは、もとの数自身が最小公倍数の倍数です。候補どうしの間隔は、いつも最小公倍数です。2つの数の積をそのまま間隔にしないよう注意します。6と8なら積は48ですが、最小公倍数は24で、間隔は24です。積を間隔にすると、間にあった候補を落としてしまいます。

図1のように、数直線に2つの割り算を重ねると、不足が同じかどうかが見た目でわかります。上の段は6ずつ、下の段は8ずつ区切った線です。23はどちらの段でも、次の目盛りの1手前に止まります。止まる位置が同じだけ手前なら、不足がそろっているということです。

図1の赤いすき間は、どちらも長さが1です。上の段の止まり位置と下の段の止まり位置を指でなぞると、同じ長さのすき間が残ることがわかります。この長さが違うときは、この型の条件がそろっていません。まず不足を2つ書き、同じかどうかを確かめてから先へ進んでください。

基本例題 — 6と8で不足がそろう数

6で割ると5あまり、8で割ると7あまる整数のうち、最も小さいものを求めなさい。答えは整数で、単位は付けません。

まず6で割った側の不足を出します。余りが5なので、6から5を引いて1です。6の倍数の1つ手前の数は、6で割ると必ず5あまります。次に8で割った側です。余りが7なので、8から7を引いて1です。8の倍数の1つ手前の数は、8で割ると必ず7あまります。2つの不足が1でそろいました。

不足がそろったので、もとの数に1を足した数は、6でも8でも割り切れます。6と8の最小公倍数を求めます。6の倍数は6、12、18、24、…、8の倍数は8、16、24、…で、最初に共通するのは24です。したがって、もとの数に1を足した数は24の倍数です。24より小さい公倍数はないので、もとの数は24から1を引いた23が最も小さくなります。その次は48から1を引いた47、72から1を引いた71と続きます。

答えは23です。割り算へ戻して確かめます。23を6で割ると、6が3個で18、23から18を引いて5あまり。23を8で割ると、8が2個で16、23から16を引いて7あまり。どちらも問題文の余りと一致します。47も確かめておきます。47を6で割ると、6が7個で42、余り5。47を8で割ると、8が5個で40、余り7。こちらも条件に戻ります。図2のように、2つの割り算の式と不足を並べて書くと、どこで1を足したのかが一目で追えます。

図2の下の段は、24ずつ増える候補の列です。23、47、71と、間隔が24で並びます。この間隔を48と間違えると、23を見落として47から書き始めてしまいます。最小公倍数を先に求める理由は、候補の間隔を決めるためです。不足の1は、列を始める位置を決めます。間隔と開始位置を分けて考えると、範囲の問題でも書き始めを間違えません。

標準例題 — 範囲を決めて候補を全部書く

5で割ると3あまり、7で割ると5あまる整数を、100以上200以下の範囲で全部求めなさい。答えは小さい順に書き、読点で区切ります。

5で割った側の不足は、5から3を引いて2です。7で割った側の不足は、7から5を引いて2です。2つとも2でそろいました。5と7の最小公倍数は35です。5の倍数と7の倍数を並べると、最初に共通するのは35で、35は7の倍数でもあり5の倍数でもあります。したがって候補は、35から2を引いた33、70から2を引いた68、105から2を引いた103、140から2を引いた138、175から2を引いた173、210から2を引いた208、…と続きます。

このうち100以上200以下に入るものを拾います。33と68は100より小さいので外します。103は100以上で、138と173も200以下です。208は200を超えるので外します。したがって答えは103、138、173の3つです。範囲の始まりを探すときは、35の倍数を順に書き、そこから2を引いた数が100を初めて超える場所を探します。35が2つで70、70から2を引くと68で足りません。35が3つで105、105から2を引くと103で、これが最初です。

それぞれを割り算へ戻して確かめます。103は5が20で100、余り3。7が14で98、余り5。138は5が27で135、余り3。7が19で133、余り5。173は5が34で170、余り3。7が24で168、余り5。3つとも問題文の余りに戻ります。範囲の端は、100と200そのものが候補に入るかではなく、候補の列のどこからどこまでが範囲に入るかで決めます。ここでは103が最初で、173が最後です。35ずつ増えるので、この範囲には3つしか入りません。数を書いた後に、それぞれの前後にもう1つずつ候補があることを確かめると、書き漏れと書き過ぎの両方を防げます。

発展例題 — 3つの除数でも不足をそろえる

4で割ると1あまり、6で割ると3あまり、5で割ると2あまる整数のうち、300以下で最も大きいものを求めなさい。

3つの不足を順に出します。4から1を引いて3、6から3を引いて3、5から2を引いて3です。3つとも3でそろいました。次に3つの数の最小公倍数を求めます。4と6の最小公倍数は12です。12の倍数は12、24、36、48、60、…、5の倍数は5、10、15、…、60、…で、12と5が最初に共通するのは60です。したがって3つの数の最小公倍数は60です。3つの数を一度に扱うときも、2つずつ最小公倍数を求めていけば、同じ手順で進められます。

候補は60から3を引いた57、120から3を引いた117、180から3を引いた177、240から3を引いた237、300から3を引いた297、360から3を引いた357、…と並びます。300以下で最も大きいのは297です。357は300を超えるので外します。297が300を超えないことを確かめるには、300から297を引いて3余る、と見ます。不足の3だけ手前で止まっている数が、範囲の上限のすぐ下に入るわけです。

確かめます。297を4で割ると4が74で296、余り1。6で割ると6が49で294、余り3。5で割ると5が59で295、余り2。3つとも問題文の余りに戻りました。ここでの分かれ目は、3つの不足が全部そろうかどうかです。2つだけそろえて3つ目を確かめずに進むと、候補の列がずれます。3つ目の不足が違うときは、この型をそのまま使えません。3つのうち2つの条件で候補を絞り、残りの条件に合うものを選び直す手順になります。たとえば4と6だけで絞ると12から3を引いた9、次の21、33、45、57と候補が増えます。この中から5で割って2あまる数を選ぶと、57、117、…となり、60ずつ増える列が残ります。

誤答から直す — 余りを不足として足す

5で割ると3あまり、7で割ると5あまる整数を、小さい順に3つ求める問題で、32、67、102と答えた子がいました。35ずつ増える列を作った点は合っています。しかし、足した数が違います。5で割った側の余り3を、そのまま「あと3」として使ってしまったのです。32を5で割ると、5が6個で30、余りは2です。問題文の余り3になりません。32を7で割ると、7が4個で28、余りは4で、こちらも5になりません。最初の候補で条件を満たしていないのに、そのまま列を伸ばしてしまったのが誤りです。

直し方は、余りを書いたすぐ横で不足を計算することです。5で割って3あまるなら、不足は5から3を引いた2です。7で割って5あまるなら、不足は7から5を引いた2です。2つとも2なので、もとの数に2を足すと35の倍数になります。候補は35から2を引いた33、70から2を引いた68、105から2を引いた103です。33を5で割ると、5が6個で30、余り3。7で割ると、7が4個で28、余り5。条件に合います。68と103も同じように確かめられます。68は5が13個で65、余り3。7が9個で63、余り5。103は5が20個で100、余り3。7が14個で98、余り5です。

同じ誤りは、余りが大きい条件で起きやすくなります。6で割ると4あまり、8で割ると6あまる数を考えます。不足は6から4を引いて2、8から6を引いて2で、どちらも2です。最小公倍数は24なので、候補は24から2を引いた22、48から2を引いた46、72から2を引いた70です。22を6で割ると余り4、8で割ると余り6で、条件に戻ります。ここで余りの4や6をそのまま足すと、22ではなく26や28を作ってしまい、どちらも条件から外れます。余りが大きいほど、次の倍数までは近くなります。7で割って5あまる数は、あと2で7の倍数です。余りの5を「あと5」と読むと、倍数から遠ざかる向きに動いてしまいます。

図3のように、足す数を3と2で並べると、どちらが正しいかは一度の割り算で決まります。32は5で割ると2あまりで外れ、33は3あまって条件に合います。余りと不足を足すと除数になる、という確かめも一緒に使います。3と2で5、5と2で7です。この足し算が崩れていたら、どちらかの数を読み違えています。

余りが0の場合も同じ場所でつまずきます。9で割り切れ、6で割ると3あまる数を考えます。9で割った側の不足は0です。6で割った側の不足は3です。0と3はそろわないので、この型は使えません。条件に合う数は、9の倍数を順に書き、6で割った余りが3になるものを選んで探します。9、27、45、…が条件に合います。割り切れる数の不足を9としてしまうと、9と3で比べることになり、ますますずれます。不足は「次の倍数まであと何個か」であり、割り切れる数の次の倍数はその数自身なので0です。0が並ぶのは、2つの除数でどちらも割り切れるときだけです。そのときは、もとの数がそのまま2つの公倍数になります。

練習問題

次の5問を解いてください。答えはすべて整数です。範囲や順番の指定がある問題は、その形で答えます。

1. 1から順に番号をふったカードのうち、5で割ると2あまり、8で割ると5あまる番号で、最も小さいものを求めなさい。
2. 9で割ると7あまり、11で割ると9あまる本のページ番号を、50以上150以下の範囲で全部求めなさい。小さい順に書いてください。
3. 3で割ると2あまり、5で割ると4あまり、8で割ると7あまるロッカーの番号のうち、最も小さいものを求めなさい。
4. 4で割ると3あまり、9で割ると8あまる部屋の番号のうち、100に最も近いものを求めなさい。
5. 7で割ると5あまり、4で割ると2あまる札の番号を小さい順に並べたとき、3番目の番号を求めなさい。

答えと解き方

1の答えは37です。5で割った側の不足は5から2を引いて3、8で割った側の不足は8から5を引いて3で、そろっています。5と8の最小公倍数は40なので、候補は40から3を引いた37、80から3を引いた77、…と続きます。最も小さい37を確かめます。37を5で割ると、5が7個で35、余り2。8で割ると、8が4個で32、余り5。条件に戻ります。

2の答えは97です。9で割った側の不足は9から7を引いて2、11で割った側の不足は11から9を引いて2です。9と11の最小公倍数は99なので、候補は99から2を引いた97、198から2を引いた196、…です。50以上150以下に入るのは97だけです。97を9で割ると、9が10個で90、余り7。11で割ると、11が8個で88、余り9。条件に戻ります。

3の答えは119です。不足は3から2を引いて1、5から4を引いて1、8から7を引いて1で、3つとも1です。3と5と8の最小公倍数は120なので、候補は120から1を引いた119、240から1を引いた239、…です。最も小さい119を確かめます。119を3で割ると、3が39個で117、余り2。5で割ると、5が23個で115、余り4。8で割ると、8が14個で112、余り7。3つとも条件に戻ります。

4の答えは107です。4で割った側の不足は4から3を引いて1、9で割った側の不足は9から8を引いて1です。4と9の最小公倍数は36なので、候補は36から1を引いた35、72から1を引いた71、108から1を引いた107、144から1を引いた143、…です。100に最も近いのは、100まで7しか離れていない107です。71は29離れ、143は43離れています。107を4で割ると、4が26個で104、余り3。9で割ると、9が11個で99、余り8。条件に戻ります。

5の答えは82です。7で割った側の不足は7から5を引いて2、4で割った側の不足は4から2を引いて2です。7と4の最小公倍数は28なので、候補は28から2を引いた26、56から2を引いた54、84から2を引いた82、…です。3番目は82です。82を7で割ると、7が11個で77、余り5。4で割ると、4が20個で80、余り2。条件に戻ります。5問とも、答えを出した後に割り算へ戻し、問題文の余りと一致することを確かめてあります。

覚えておくこと

• 不足は、余りが1以上なら除数から余りを引いて求める。余りが0なら不足は0。
• 不足がそろうとき、もとの数にその不足を足すと、2つの除数の公倍数になる。
• 候補は、最小公倍数から不足を引いた数から始まり、最小公倍数ずつ増える。
• 2つの数の積と最小公倍数は違う。6と8なら積は48、最小公倍数は24。
• 答えは必ず割り算へ戻し、問題文の余りになるかを確かめる。

つまずきの見分け方と確かめる場所

1つ目の見分けは、余りをそのまま足していないかです。ノートに「あと3」と書いていたら、その3が余りなのか不足なのかを指で指して尋ねます。余りなら、除数から引いた数をもう一度書かせます。5で割って3あまるなら、あと2、と声に出して言えるかを見ます。言えたら、その2を足した数で割り算を書き、余りが問題文に戻るかを確かめます。余りと不足を足して除数になるかも、その場で計算させます。

2つ目の見分けは、間隔に二数の積を使っていないかです。6と8の公倍数を尋ねたときに48と答えたら、6の倍数と8の倍数を並べさせ、最初に共通する24を自分で見つけさせます。48は公倍数ではありますが、最初の公倍数ではありません。最初の公倍数を間隔にしないと、間にある候補を落とします。48を間隔にすると、23の次を71として、47を飛ばしてしまいます。

3つ目の見分けは、3つの条件のうち2つだけで満足していないかです。3つの不足を書かせ、3つとも同じ数を丸で囲ませます。2つだけ丸が付いていたら、残りの一つを計算し直させます。3つ目の不足が違うときは、この型では解けないと伝え、2つの条件で候補を絞ってから3つ目に合うものを選ぶ順に切り替えます。この切り替えができると、条件が増えても候補を絞る方向を失いません。

4つ目の見分けは、範囲の端の扱いです。候補の列を書き始めた位置と、範囲の最小値・最大値を並べて書かせ、範囲の外にある候補に線を引かせます。100以上200以下なら、103の前の68と、173の後の208に線が引ければ、端の判断ができています。端の数そのものを候補に入れるかどうかではなく、候補の列がどこで範囲に入り、どこで出るかを見るように伝えます。

確かめる場所は3つです。1つ目は、それぞれの割り算の余りが問題文と一致するか。2つ目は、候補どうしの間隔が最小公倍数になっているか。3つ目は、答えた数が指定された範囲や順番の形に入っているか。この3つを、答えを書いた直後に本人の言葉で説明させると、余りと不足の取り違えが残っていないかがわかります。説明が止まった場所が、その子がまだ手順を覚えていない場所です。

不足を先にそろえると、余りの見た目が違っても、候補は同じ間隔で並びます。