高校数学II 円外の点から引く接線—傾きと接点の二つの求め方で取り落としを防ぐ｜武蔵野個別指導塾

傾きを使う方法と接点を求める方法を比べ、縦の直線や円内の点も含めて調べ、円外の接線を導きます。

よくあるのは、高2が円の外の点を通る直線を傾きで表し、傾きで置けない接線を答えから落とすという場面です。式の計算が合っていても、最初に表した直線の範囲が狭ければ、答えはそろいません。縦の直線を先に別に調べ、得られた接点を円と直線の両方へ戻すところまで進めます。

要点（結論から）

• 中心からの距離と半径を比べ、外部・円上・内部を分けます。
• 接点は円周上にあり、半径は接線に垂直です。
• 傾きで置いたら、縦の直線を別に調べます。

どんな条件から出発するか

第一の型は、円と外部の点が与えられ、そこを通る接線の方程式を求める問いです。傾きを文字で置くと、中心から直線までの距離が半径に等しいという条件を使えます。この方法は直線を直接求められますが、傾きを持たない縦の直線は別扱いです。

第二の型は、接線に加えて接点の座標を求める問いです。接点を文字で置き、円周上にある条件と、接点を結ぶ半径が接線に垂直である条件を連立します。接点を先に求めれば、その座標と外部の点を通る直線として接線を作れます。縦の直線も点の座標から自然に現れます。

第三の型は、与えられた点が円の外か、上か、内かによって接線の本数を調べる問いです。外にあると決めつけず、中心からの距離と半径を比較します。円上なら接点はその点自身、内部なら接線は引けません。以下では半径が正の円を扱います。

接点を結ぶ半径と直線

中心を C(a, b)、半径を r とする円を考えます。ただし r > 0 です。点 P(p, q) と C の距離の二乗を D = (p − a)² + (q − b)² と置きます。距離と半径はいずれも負でないため、D と r² の比較は距離と半径の比較と同じです。

図1のように、P が外部にあり、T が接点なら、半径 CT は接線 PT に垂直です。逆に、円周上の点 T を通り CT に垂直な直線は円に接します。実際、その直線上の T 以外の点 Q について、直角三角形より CQ² = CT² + TQ² > r² です。したがって Q は円周上になく、共有点は T に限られます。

図1では、2本の接線がそれぞれ異なる接点を持ちます。点 P が円上に近づいて接点に一致すると、その点での接線は1本です。点 P が円の内部なら、P を通るどの直線も円周と異なる2点で交わるので接線にはなりません。

この本数は接点の式からも確認できます。中心を原点に移して P の座標を (u, v)、接点を (s, t) とすると、円周上の条件は s² + t² = r²、垂直条件は s(u − s) + t(v − t) = 0 です。後者に前者を使うと us + vt = r² となります。P が中心でなければ、この式は直線であり、原点からの距離は r²/√D です。D > r² なら距離は r より小さく接点は2個、D = r² なら1個、0 < D < r² なら0個です。D = 0 では接点条件が 0 = r² となり、r > 0 に反するため0個です。

傾き法で P を通る縦でない直線を y − q = m(x − p) と書くと、一般形は mx − y + q − mp = 0 です。x と y の係数は m と -1 なので同時に0にはならず、距離公式を使えます。一方、この形に x = p は含まれません。x = p と中心との距離 |p − a| が r に等しいかを別に調べます。

基本例題：縦の1本を先に調べる

円 x² + y² = 25 と点 P(5, 10) について、P を通る接線の方程式と接点の座標を求めてください。方程式と座標は整数または分数で表します。

中心 O は (0, 0)、半径は5です。OP² = 5² + 10² = 125 > 25 なので P は外部にあります。図2のように、縦の直線 x = 5 は円の右端 (5, 0) を通り、中心からの距離が5なので接線です。これを別に記録してから傾きを使います。

縦でない直線を y − 10 = m(x − 5) と置き、mx − y + 10 − 5m = 0 とします。中心からの距離と半径を等しくします。

|10 - 5m| / √(m² + 1) = 5
(10 - 5m)² = 25(m² + 1)
100 - 100m + 25m² = 25m² + 25
100m = 75
m = 3/4

分母 √(m² + 1) は正です。また両辺は負でないので、二乗しても余分な解は生じません。斜めの接線は y − 10 = (3/4)(x − 5)、すなわち 3x − 4y + 25 = 0 です。

接点を求めるには、原点からこの直線への垂線の傾きが -4/3 であることを使います。垂線は y = -4x/3 です。直線に代入すると、次のようになります。

3x - 4(-4x/3) + 25 = 0
25x/3 + 25 = 0
x = -3
y = 4

よって答えは x = 5、接点 (5, 0) と、3x − 4y + 25 = 0、接点 (-3, 4) です。(-3)² + 4² = 25 で、3(-3) − 4・4 + 25 = 0 です。もう一方も円と直線の両式を満たします。両直線に P を代入すると成立し、中心からの距離もいずれも5です。

この例で傾きの方程式が1次式になったのは、縦の接線を別に持っているためです。傾きの解が1個だから接線全体も1本だとは結論できません。距離条件を二乗した後に次数が下がったら、縦の直線の検査を見直すきっかけにしてください。

標準例題：接点を先に求める

円 (x − 1)² + (y + 1)² = 25 と点 P(8, 0) について、P を通る接線の方程式と接点の座標を、整数または分数で求めてください。

中心 C(1, -1) から P までの距離の二乗は 7² + 1² = 50 で、半径の二乗25より大きいので、P は円外です。接点を T(1 + s, -1 + t) と置きます。T が円上にある条件と、CT と PT の垂直条件は次の通りです。

s² + t² = 25
s(7 - s) + t(1 - t) = 0
7s + t = 25

最後の式から t = 25 − 7s を円の式に代入します。

s² + (25 - 7s)² = 25
50s² - 350s + 600 = 0
s² - 7s + 12 = 0
(s - 3)(s - 4) = 0

したがって (s, t) = (3, 4), (4, -3) です。接点はそれぞれ (4, 3), (5, -4) となります。P と各接点の横座標は異なるので、傾きはそれぞれ -3/4、4/3 です。求める接線は 3x + 4y − 24 = 0 と 4x − 3y − 32 = 0 です。

接点の復元も確認します。(4, 3) は円の中心からの差が (3, 4) で、その二乗和は25です。また 3・4 + 4・3 − 24 = 0 です。(5, -4) も差の二乗和は 4² + (-3)² = 25 で、4・5 − 3(-4) − 32 = 0 です。両直線には P(8, 0) も属し、中心からの距離はそれぞれ |3 − 4 − 24|/5 = 5、|4 + 3 − 32|/5 = 5 となります。

接点法では、円と直線 7s + t = 25 の交点を求めたことになります。円の式と垂直条件は接点に必要ですし、両方を満たす点では半径に垂直な直線が接線になるので十分でもあります。座標を得た後は、外部の点との2点が異なることを確認して直線を決めます。

発展例題：点の位置で本数が変わる

円 x² + y² = 9 と点 P(k, 4) を考えます。実数 k の範囲を指定して接線の本数を答え、k = 0 のときの接線の方程式を根号を含む正確な係数で求めてください。

中心から P までの距離の二乗は k² + 16 です。どの実数 k に対しても k² + 16 ≥ 16 > 9 なので P は常に円外にあり、接線は2本です。k = 0 のとき、縦の直線 x = 0 は中心を通り、中心からの距離が0なので接線ではありません。傾き m を用いると y = mx + 4、すなわち mx − y + 4 = 0 です。

4 / √(m² + 1) = 3
16 = 9(m² + 1)
9m² = 7
m = √7/3 または -√7/3

接線は √7x − 3y + 12 = 0、√7x + 3y − 12 = 0 です。係数は根号を含む形で表しています。それぞれ P を通り、中心からの距離は 12/√(7 + 9) = 3 なので確かに接します。

点の位置を変えると本数も変わります。たとえば同じ円について点 (h, 0) なら、h² > 9 で2本、h² = 9 で1本、h² < 9 で0本です。h = 0 も内部に含まれます。接点法の直線を作る前に、中心と点が一致する場合も含めて比較すれば、存在しない接点を求めようとする失敗を避けられます。

誤答を直す：1本だけと決めない

基本例題で、傾きの計算から m = 3/4 を得て「接線は 3x − 4y + 25 = 0 の1本」と答えるのは誤りです。図3のように、点 P を通る縦の直線 x = 5 も円に接します。式 y − 10 = m(x − 5) の右辺は有限の m に対して必ず y を x の式に表すので、縦の直線を表せません。

修正は、傾きを使う前か後に x = 5 を調べることです。中心からこの直線までの距離は5で半径に等しいため、接線として追加します。縦の直線を無条件に追加してはいけません。たとえば中心からの距離が半径より小さければ2点で交わり、大きければ交わらないからです。

もう一つの失敗は、外部の点を接点と取り違えることです。P(5, 10) は 5² + 10² = 125 なので円 x² + y² = 25 上にありません。円周上の点に対する接線の式に P をそのまま接点として代入する手順は使えません。接点を未知数として円周上の条件を課すか、直線と中心の距離から出発します。

練習：接線と点の位置を確かめる

次の5問では、方程式は整数係数または根号を含む正確な係数で、座標は整数または分数で答えてください。各円の半径は正です。

1. 円 x² + y² = 16 と点 (4, 8) について、接線の方程式と接点を求めてください。
2. 円 x² + y² = 4 と点 (0, 5) について、接線の方程式を求めてください。
3. 円 (x − 2)² + (y − 1)² = 4 と点 (2, 1), (4, 1), (7, 1) それぞれについて、接線の本数を求めてください。
4. 円 (x − 1)² + (y − 2)² = 25 と点 (8, 3) について、接線の方程式と接点を求めてください。
5. 円 x² + y² = 25 と点 (a, 3) について、接線が0本、1本、2本となる実数 a の範囲をそれぞれ求めてください。

練習の解答と戻し方

1. 中心から点までの距離の二乗は 80 > 16 です。縦の直線 x = 4 は中心からの距離が4で接線、接点は (4, 0) です。縦でない直線を y − 8 = m(x − 4) とすると、距離条件は次のようになります。

|8 - 4m| / √(m² + 1) = 4
(8 - 4m)² = 16(m² + 1)
64 - 64m = 16
m = 3/4

もう1本は 3x − 4y + 20 = 0 です。原点からの垂線 y = -4x/3 と連立すると接点は (-12/5, 16/5) です。この点では x² + y² = (144 + 256)/25 = 16、直線の左辺も0です。2本とも (4, 8) を通り、中心からの距離は4です。

2. 点は円外で、縦の直線 x = 0 は中心を通るので接しません。y = mx + 5 として距離条件を立てます。

5 / √(m² + 1) = 2
25 = 4(m² + 1)
4m² = 21
m = √21/2 または -√21/2

答えは √21x − 2y + 10 = 0、√21x + 2y − 10 = 0 です。どちらも (0, 5) を通り、中心からの距離は 10/√25 = 2 です。傾きの符号が異なる2本が得られています。

3. 中心は (2, 1)、半径は2です。中心からの距離は順に0、2、5なので、本数は順に0本、1本、2本です。円上の (4, 1) では接線 x = 4 がその点を通り、中心からの距離も2です。内部の点を通る直線には接点がなく、外部の点では接点が2個存在します。

4. 中心からの差を使い、接点を (1 + s, 2 + t) と置きます。与点から中心への差は (7, 1) なので、接点について s² + t² = 25、7s + t = 25 が成り立ちます。

s² + (25 - 7s)² = 25
s² - 7s + 12 = 0
(s - 3)(s - 4) = 0

(s, t) は (3, 4), (4, -3) です。接点は (4, 6), (5, -1)、接線は 3x + 4y − 36 = 0、4x − 3y − 23 = 0 です。それぞれ与点 (8, 3) を通ります。接点の中心からの差の二乗和はどちらも25で、各接線にも代入して0となります。中心からの距離もそれぞれ25/5 = 5です。

5. 点から中心までの距離の二乗は a² + 9 です。半径の二乗25との比較を解きます。

a² + 9 < 25 ⇔ -4 < a < 4
a² + 9 = 25 ⇔ a = -4 または 4
a² + 9 > 25 ⇔ a < -4 または a > 4

順に接線は0本、1本、2本です。境界 a = ±4 では点自身が円周上にあります。例えば a = 0 では距離3で内部、a = 5 では距離の二乗34で外部となり、分類と一致します。

要点

• 中心からの距離と半径を比べ、外部・円上・内部を分けます。
• 接点は円周上にあり、半径は接線に垂直です。
• 傾きで置いたら、縦の直線を別に調べます。
• 得た接点と直線を元の条件に戻します。

どこで止まったかを見つける

接線が1本しか出なかったときは「最初に置いた式は縦の直線を含みますか」と自分に問いかけます。含まないなら与点を通る縦線と中心の距離を書き、半径と比較します。傾きの式の解の個数と接線全体の本数を区別できるかが確認点です。

個別指導で式を見直す場合は、円の中心と半径、与点が円外である理由、接点の所属を順に尋ねます。二乗後の式だけが残っているときは、元の距離式へ解を戻し、分母が正である理由も確かめます。接線は図から予想し、条件へ戻して確定します。