大学入試数学 二変数の積の制約—逆数への置換と正負の枝を分けて値を評価する｜武蔵野個別指導塾

積が 6 で固定されていても、二数がともに正とは限りません。正の枝と負の枝を見分け、和の下限と上限を取り違えない入口は逆数です。

よくあるのは、夜の自習でノートの端に「xy = 6 だから x も y も正」と書き、そのまま x + y の最小値を 2√6 と締めてしまう場面です。翌朝その一行を読み返すと、積が正であることと、二数がともに正であることは同じではないと気づきます。-2 と -3 の積も 6 で、和は -5 です。正の枝で求めた 2√6 より小さい値が、負の側にいくらでも並びます。積の条件から和の行き先を読むときは、逆数に置き換えた式と、正負の枝の両方を机の上に並べる必要があります。

積が決まった二数で、和の行き先を読む

xy = k（k は 0 でない定数）という条件は、二数の積だけを固定し、それぞれの値は固定しません。x を決めれば y = k/x が決まるので、一見すると一変数の問題に変わります。しかし、その一変数 x の動く範囲を符号ごとに分けなければ、和の最大値や最小値の結論は変わりません。自習で出会う形は、おおむね次の三つです。

第一の型は、x > 0, y > 0 と符号を指定したうえで、x + y や x + 3y の最小値を求める問いです。積が正で、しかも両方が正と決まっているので、置換した式の符号は素直に読めます。第二の型は、符号を指定せず、xy = 4 のような条件だけで x + y の最大値と最小値を問う形です。ここでは正の枝と負の枝が両方生きており、片方だけを見ると結論を誤ります。第三の型は、xy = -18 のように積が負で、x > 0 と片方の符号だけを指定する形です。このとき y は自動的に負になり、x − y は正の項の和として評価できます。

どの型でも使う道具は同じです。x ≠ 0 を確認して y = k/x と書き、必要なら x = √|k| t や x = -√|k| t（t > 0）と置き、和を t + 1/t の形に直します。最後に、等号を取る組を元の xy = k に代入し、符号の条件まで満たすかを確かめます。答えは最大値・最小値と、その値を取る組をセットで書き、値が存在しない場合には「存在しない」と明記します。

逆数に置き換えると、和は t + 1/t の形になる

xy = k で k > 0 のとき、x と y は同じ符号です。積が正になる組は、両方が正の組と、両方が負の組に分かれます。前者を正の枝、後者を負の枝と呼ぶことにします。双曲線 y = k/x が第一象限と第三象限に分かれて見えることと、この二つの枝は同じものです。

正の枝では、x = √k t（t > 0）と置くと y = k/x = √k/t になります。この置換は t = x/√k で元に戻せるので、x と t は一対一に対応します。和は x + y = √k t + √k/t = √k (t + 1/t) となり、定数 √k と、逆数の和 t + 1/t に分かれます。t > 0 における t + 1/t の下限は、次の変形で確かめられます。

t + 1/t - 2
= (t² - 2t + 1)/t
= (t - 1)²/t
≥ 0

t > 0 なので分母は正で、最後の不等号は平方の非負性から従います。したがって t + 1/t ≥ 2 で、等号は t = 1 のときに限ります。この等号を x と y に戻すと、x = √k, y = √k です。実際に xy = √k・√k = k となり、積の条件も満たします。

負の枝では、x = -√k t（t > 0）と置くと y = k/x = -√k/t です。和は x + y = -√k (t + 1/t) となり、今度は係数が負です。t + 1/t ≥ 2 の両辺に -√k を掛けると、不等号の向きが反転して x + y ≤ -2√k になります。等号は t = 1、すなわち x = y = -√k のときです。正の枝の下限 2√k と、負の枝の上限 -2√k は、どちらも「その枝の中での端」であり、二つの枝を合わせた全体での最大値や最小値ではありません。

係数がついた和も、同じ形に持ち込めます。a > 0, b > 0, x > 0 のとき、ax + b/x の下限は次の差で読めます。

ax + b/x - 2√(ab)
= (ax² - 2√(ab) x + b)/x
= (√a x - √b)²/x
≥ 0

分母の x が正なので、この変形はそのまま使えます。等号は √a x = √b、すなわち ax² = b のときです。たとえば 2x + 9/x なら a = 2, b = 9 で、下限は 2√18 = 6√2、等号は 2x² = 9 から x = 3√2/2 と決まります。係数を見てから等号の位置を決めるのではなく、差の平方を書いて等号の条件を式から取り出す方が、符号の取り違えを防げます。

図1のように、同じ積 k でも、枝によって和の式の符号が反転します。ここを一枚に並べておくと、符号の指定がない問題で片方の枝を落とす誤りを減らせます。

k < 0 のときは、x と y は異符号です。x > 0 なら y < 0 で、x = √|k| t（t > 0）と置くと y = -√|k|/t になります。このとき x − y = √|k| (t + 1/t) は正の枝と同じ形になり、下限 2√|k| を持ちます。一方、x + y = √|k| (t − 1/t) は t を動かすとすべての実数を取るので、最大値も最小値もありません。実際、任意の実数 c に対して t − 1/t = c は t² − ct − 1 = 0 と同値で、定数項が -1 なので正の解を必ず持ちます。目的式が和なのか差なのかで、使える形が変わる点に注意します。

ここまでの内容は、符号の指定がない場合の範囲としてまとめられます。k > 0 で x と y の符号を指定しないとき、和は x + y ≤ -2√k または x + y ≥ 2√k の範囲に分かれ、最大値も最小値もありません。k < 0 で符号を指定しないとき、和 x + y はすべての実数を取り、差 x − y は 2√|k| 以上か -2√|k| 以下に分かれます。範囲の端の値を覚えるのではなく、どちらの枝でどちらの向きの評価になったかを、その都度 t + 1/t の式から決めます。

定義域の確認も欠かせません。xy = k で k ≠ 0 なので、x = 0 も y = 0 も起こりません。t を使うときは t > 0 を必ず添え、t = 0 や負の t を黙って混ぜないようにします。境界に近づくときの値も見ておくと、最大値や最小値が存在するかどうかの判断がぶれません。正の枝で t を 0 に近づけると和は無限に大きくなり、t を無限に大きくすると和も無限に大きくなります。負の枝では逆向きに、和がいくらでも小さくなります。

基本例題で、正の枝の最小値を最後まで書く

例題1（基本）　x > 0, y > 0, xy = 6 のとき、x + y の最小値を求めなさい。最小値を取る x と y の組も書きなさい。

積の条件から y を消去し、正の枝の置換で和を一つの文字にまとめます。まず y を x で表し、次に x の目盛りを √6 に取り替えます。

xy = 6 より y = 6/x
x + y = x + 6/x
x = √6 t（t > 0）と置くと 6/x = √6/t
x + y = √6 t + √6/t
= √6 (t + 1/t)
t + 1/t ≥ 2 より
x + y ≥ 2√6

等号は t = 1 のときです。このとき x = √6, y = √6 で、xy = 6 と x > 0, y > 0 をどちらも満たします。よって最小値は 2√6 で、その値を取る組は (x, y) = (√6, √6) です。

x = √6 t という置換は、x を √6 倍の目盛りで測り直すことです。x が t 倍になれば、y = 6/x は 1/t 倍になり、積は変わりません。二数の伸び縮みが逆になるので、和は t + 1/t という一つの形にまとまります。逆に、t + 1/t の値が決まれば、t は二つの正の値として求まり、x と y の組も二通りに戻ります。この行き来ができることが、逆数への置換の強みです。

同じ不等式を、x のまま差の平方で示すこともできます。x > 0 に注意して、次のように変形します。

x + 6/x - 2√6
= (x² - 2√6 x + 6)/x
= (x - √6)²/x
≥ 0

分母の x が正なので、最後の不等号はそのまま成り立ちます。等号は x = √6 のときに限られ、このとき y = 6/√6 = √6 です。置換で求めた結果と、x のまま変形した結果が同じ点で一致することを、答案の最後に確かめておくと安心です。

図2のように、双曲線 xy = 6 と直線 x + y = 2√6 は点 (√6, √6) で接します。直線 x + y = 6 は双曲線と二点で交わりますが、これは和が 6 になる組があることを示すだけで、最小値の証拠にはなりません。和の下限は、接する直線の位置で決まります。

答案では、最小値 2√6 だけでなく、等号を取る組 (√6, √6) と、その組が xy = 6 を満たす確認までを一続きに書きます。値だけを書いた答案は、枝の取り違えがあっても見た目が同じになるため、点検のときに原因を追えません。

枝と係数が絡む例題を三題で確かめる

例題2（標準）　x < 0, y < 0, xy = 16 のとき、x + y の最大値と最小値を求めなさい。最大値または最小値が存在しない場合は、その旨を書きなさい。

符号が指定されているので、枝は負の枝だけです。x = -4t（t > 0）と置くと、y = 16/x = -4/t になります。

x + y = -4t - 4/t
= -4(t + 1/t)
t + 1/t ≥ 2 より
x + y ≤ -8

等号は t = 1、すなわち x = y = -4 のときで、xy = 16 を満たします。よって最大値は -8 です。最小値については、t を大きくすると x = -4t がいくらでも小さくなり、和もいくらでも小さくなります。したがって最小値は存在しません。

ここで注意したいのは、最大値が負の数になることです。x と y がともに負なので、和が負になるのは自然ですが、答案では「最大値 -8」と「最小値なし」を一組で書きます。最大値と最小値を逆に書いたり、最小値を -8 として最大値なしとしたりすると、枝の向きを取り違えた答案になります。

同じ結論を、x を消去したまま差の平方で示すこともできます。x < 0 に注意して、x + 16/x + 8 を変形します。

x + 16/x + 8
= (x² + 8x + 16)/x
= (x + 4)²/x
≤ 0

分子は 0 以上ですが、分母の x が負なので、割った値は 0 以下になります。したがって x + 16/x ≤ -8 で、等号は x = -4 のときです。このとき y = 16/(-4) = -4 です。置換で求めた t = 1 の組と同じ点に戻ることまで確かめると、二つの方法の一致が確認できます。

例題3（やや難）　x, y は 0 でない実数で、xy = 4 を満たすとします。このとき、x + 2y の最大値と最小値を求めなさい。値が存在しない場合は、その旨を書き、x + 2y のとり得る値の範囲を答えなさい。

符号の指定がないので、正の枝と負の枝を分けます。まず x > 0 の枝では、x = 2t（t > 0）と置くと y = 4/x = 2/t です。

x + 2y = 2t + 4/t
= 2(t + 2/t)
t + 2/t ≥ 2√2 より
x + 2y ≥ 4√2

t + 2/t ≥ 2√2 は、(t − √2)²/t ≥ 0 を展開して確かめられます。等号は t = √2 のときで、x = 2√2, y = √2 です。次に x < 0 の枝では、x = -2t（t > 0）と置くと y = -2/t です。

x + 2y = -2t - 4/t
= -2(t + 2/t)
t + 2/t ≥ 2√2 より
x + 2y ≤ -4√2

等号は t = √2 のときで、x = -2√2, y = -√2 です。二つの枝を合わせると、x + 2y は -4√2 以下か 4√2 以上です。4√2 は正の枝での最小、-4√2 は負の枝での最大ですが、全体で見ると、正の枝はいくらでも大きくなり、負の枝はいくらでも小さくなります。したがって最大値も最小値も存在しません。

y = 4/x と消去して、x の符号だけで場合分けしても同じ結果になります。目的式は x + 2y = x + 8/x です。x > 0 のときは x + 8/x ≥ 2√8 = 4√2 で、等号は x = 2√2 です。x < 0 のときは、x + 8/x + 4√2 = (x + 2√2)²/x ≤ 0 から x + 8/x ≤ -4√2 で、等号は x = -2√2 です。置換の t で書いても x のまま書いても、枝の分かれ目は x = 0 にあります。どちらの書き方でも、x = 0 が条件から外れていることを一行目に書きます。

答えは「最大値なし、最小値なし、とり得る値の範囲は x + 2y ≤ -4√2 または x + 2y ≥ 4√2」です。範囲を書くときに、-4√2 < x + 2y < 4√2 の部分が抜けていることを、数の大小で確かめておきます。-4√2 と 4√2 の間の値は、どちらの枝でも実現しません。

例題4（難）　x > 0, y > 0, xy = 9 のとき、(x + 1)(y + 2) の最小値を求めなさい。最小値を取る x と y の組も書きなさい。

目的式を展開すると、積の項が消えて和の評価に戻ります。

(x + 1)(y + 2)
= xy + 2x + y + 2
= 9 + 2x + y + 2
= 11 + 2x + 9/x
2x + 9/x ≥ 2√18
2√18 = 6√2

等号は 2x = 9/x、すなわち x² = 9/2 のときです。x > 0 なので x = 3√2/2 で、y = 9/x = 3√2 です。このとき xy = (3√2/2)(3√2) = 9 を満たします。よって最小値は 11 + 6√2 で、その値を取る組は (x, y) = (3√2/2, 3√2) です。

2x + 9/x ≥ 6√2 は、次の差の平方でも確かめられます。係数の 2 と 9 をそのまま使い、等号の位置を式から読みます。

2x + 9/x - 6√2
= (2x² - 6√2 x + 9)/x
= 2(x - 3√2/2)²/x
≥ 0

x > 0 なので分母は正です。展開した目的式の定数 11 を忘れずに足し、等号の組を元の (x + 1)(y + 2) に代入して 11 + 6√2 に戻ることを確認します。係数がついた目的式でも、積の項を和に直してから逆数の形に置く、という順序は変わりません。

誤答が生まれる四つの分かれ目

一つ目の誤りは、符号の指定がない問題で、正の枝だけを見て最小値を決めてしまうことです。xy = 4 を満たす実数 x, y について「x + y ≥ 2√4 = 4 だから最小値は 4」と書いた答案を考えます。x = y = -2 とすると xy = 4 で、和は -4 です。4 より小さい値があるので、この答案は最小値の候補を取り違えています。実際には正の枝の下限 4 と負の枝の上限 -4 が枝ごとにあり、全体では最大値も最小値も存在しません。直し方は、x > 0 と x < 0 の場合を分け、それぞれの枝で t + 1/t の形を作ることです。

二つ目の誤りは、負の枝で不等号の向きを変えないことです。x < 0, y < 0, xy = 16 のとき「x + y ≥ 2√16 = 8」と書くと、x = y = -4 の -8 が反例になります。負の枝では x = -4t と置くので、和は -4(t + 1/t) となり、係数の -4 が不等号を反転させます。正の枝で使った式をそのまま流用せず、置換の符号を一行目に書いてから評価します。

三つ目の誤りは、積の定数の符号を落とすことです。xy = -18 で x > 0 のとき、y = 18/x と書いてしまうと、積は 18 になって条件を満たしません。y = -18/x と、k の符号ごと逆数にします。このとき y < 0 なので、x − y = x + 18/x は正の項の和になり、平方の非負性で下限を評価できます。

四つ目の誤りは、目的式を展開したときの定数を落とすことです。(x + 1)(y + 2) を xy + 2x + y とだけ展開し、xy = 9 を入れて 9 + 2x + 9/x の下限を 9 + 6√2 とした答案を考えます。等号の x = 3√2/2 を元の (x + 1)(y + 2) に代入すると、値は 11 + 6√2 です。9 + 6√2 は実際には取られない値なので、最小値の候補として誤りです。展開では最後の項 1・2 を書き落とさず、等号の組で目的式そのものを計算し直します。

図3のように、xy = 4 の和のとり得る値は、-4 以下の部分と 4 以上の部分に分かれ、その間は空きます。正の枝だけを見た答案は、図の左側の部分を落としています。数直線に範囲を写してから、最大値と最小値の有無を判断すると、この脱落に気づけます。

練習問題五問

練習1　x > 0, y > 0, xy = 12 のとき、x + 3y の最小値を求めなさい。最小値を取る組も書きなさい。

練習2　x < 0, y < 0, xy = 25 のとき、x + y の最大値と最小値を求めなさい。存在しない値があれば、その旨を書きなさい。

練習3　x, y は 0 でない実数で、xy = 49 を満たすとします。x + y のとり得る値の範囲を求め、最大値と最小値の有無を答えなさい。

練習4　x > 0, xy = -18 のとき、x − y の最小値を求めなさい。最小値を取る組も書きなさい。

練習5　x > 0, y > 0, xy = 8 のとき、(x + 2)(y + 2) の最小値を求めなさい。最小値を取る組も書きなさい。

練習1の解答

y = 12/x なので、目的式は x + 3y = x + 36/x になります。x > 0 で、x + 36/x ≥ 2√36 = 12 です。等号は x = 36/x、すなわち x² = 36 のときで、x > 0 より x = 6 です。このとき y = 12/6 = 2 で、xy = 12 を満たします。よって最小値は 12 で、その組は (x, y) = (6, 2) です。確認として x + 3y = 6 + 6 = 12 になります。

練習2の解答

x = -5t（t > 0）と置くと、y = 25/x = -5/t です。和は x + y = -5(t + 1/t) で、t + 1/t ≥ 2 より x + y ≤ -10 です。等号は t = 1、すなわち x = y = -5 のときで、xy = 25 を満たします。よって最大値は -10 です。t を大きくすると和はいくらでも小さくなるので、最小値は存在しません。答えは「最大値 -10（x = y = -5）、最小値なし」です。

練習3の解答

xy = 49 で、x と y は同符号です。x > 0 の枝では x = 7t（t > 0）、y = 7/t と置けて、x + y = 7(t + 1/t) ≥ 14 です。等号は t = 1 で、x = y = 7 のときです。x < 0 の枝では x = -7t、y = -7/t と置けて、x + y = -7(t + 1/t) ≤ -14 です。等号は x = y = -7 のときです。二つの枝を合わせると、x + y ≤ -14 または x + y ≥ 14 で、-14 より大きく 14 より小さい値は現れません。正の枝はいくらでも大きく、負の枝はいくらでも小さくなるので、最大値も最小値も存在しません。

練習4の解答

y = -18/x なので、x − y = x + 18/x です。x > 0 より、x + 18/x ≥ 2√18 = 6√2 です。等号は x = 18/x、すなわち x² = 18 のときで、x > 0 より x = 3√2 です。このとき y = -18/(3√2) = -3√2 で、xy = -18 を満たします。よって最小値は 6√2 で、その組は (x, y) = (3√2, -3√2) です。確認として x − y = 3√2 + 3√2 = 6√2 になります。

練習5の解答

目的式を展開すると、(x + 2)(y + 2) = xy + 2x + 2y + 4 = 12 + 2(x + y) です。xy = 8, x > 0, y > 0 より x + y ≥ 2√8 = 4√2 で、等号は x = y = 2√2 のときです。したがって (x + 2)(y + 2) ≥ 12 + 8√2 です。等号の組は xy = 8 を満たし、実際に (2√2 + 2)² = 8 + 8√2 + 4 = 12 + 8√2 になります。よって最小値は 12 + 8√2 で、その組は (x, y) = (2√2, 2√2) です。

覚えておくこと

• 積が正なら二数は同符号、積が負なら異符号です。
• xy = k は y = k/x と書き、x ≠ 0 を先に確認します。
• 正の枝は x = √k t、負の枝は x = -√k t と置き、t > 0 を添えます。
• 和は t + 1/t の形に直し、平方の非負性で向きを決めます。
• 等号の組を xy = k に戻して確かめ、値がない場合は「存在しない」と書きます。

つまずきの見分け方

答案を見るときは、まず一行目に符号の条件が書かれているかを確かめます。x > 0 とだけ書いて y の符号を書いていない答案は、負の枝を落としている可能性があります。次に、置換した文字の条件です。t > 0 が抜けていると、t + 1/t ≥ 2 を使う根拠が消えます。三つ目は、等号を取る x から y を計算し、その組を xy = k に代入しているかです。値だけ合っていても、組が条件を満たさなければ達成の証明になりません。

四つ目は、最大値と最小値の有無の判断です。範囲が二つの区間に分かれる問題では、片方の端が最大で、もう片方の端が最小に見えても、全体ではどちらも存在しないことがあります。数直線に範囲を写し、右へも左へも伸びていることを目で確かめてから、答えの欄に「最大値なし」「最小値なし」と書きます。説明を求められたときは、正の枝と負の枝で別々に t + 1/t の評価を書き、最後に二つの範囲を合わせた図を添えると、判断の道筋が相手に伝わります。

確かめるときは、式・条件・説明の三つを順に切り分けます。式では、y = k/x と t の置換が正しく書けているかを見ます。条件では、x ≠ 0、t > 0、積の符号の三つが答案のどこに現れているかを探します。説明では、なぜその値が最大または最小になるのかを、枝ごとの評価と等号の組で言えるかを聞きます。値だけを暗記している答案は、k の符号を変えた瞬間に崩れます。逆に、枝を分けて等号を戻す手順が身についていれば、数値が変わっても同じ順序で書き進められます。答案の強さは、枝を分けた後に xy へ戻って確かめた一行で決まります。