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大学入試数学根号の和と最大値—根号の中の非負条件と等号の比を重ねて解く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴大学入試数学不等式と最大・最小

ルートの中が0以上になる範囲を先に決め、二乗で生まれた候補を元の式へ戻して確かめるところまでが根号の和です

よくあるのは、自習中のノートで √(x+2)+√x=1 のような式を両辺二乗して解き、出てきた x=1/4 をそのまま答えの欄に書いてしまう場面です。代入すると左辺は 3/2+1/2=2 になり、右辺の 1 と合いません。根号の和を扱う答案では、二乗する前に両辺の符号を確かめることと、出た候補を元の式へ戻すことの二つが抜けると、この行き違いが起こります。ここでは、根号の中の条件から定義域を決め、平方の差で上界を作り、等号を取る点を制約へ戻す順に進めます。

根号の和で問われる形は三つに分かれる

一つ目は、二つの一次式の平方根を足した式の最大値や最小値を求める形です。√(x+1)+√(3-x) のように根号の中が x の一次式で、二つの根号の中身の和が x によらず一定になるとき、平方の差から上界が作れます。和が一定でなければ右辺が x とともに動くので、この形の評価はそのままでは使えません。

二つ目は、根号を含む方程式や不等式を解く形です。√(x+2)+√x=1 のように、両辺を二乗して候補を出し、その候補が元の式を満たすかを確かめる流れになります。二乗は候補を増やす操作なので、最後の確認を省くと正しくない答えが残ります。

三つ目は、x と y の一次式が一定という制約のもとで、√x+√y のような二つの根号の和を評価する形です。x+2y=6 のように係数がそろっていないときは、根号の外へ係数を出す工夫が要ります。この三つは道具が同じで、根号の中の条件、平方の差から作る不等式、等号を取る比、達成点の確認という順に並びます。

根号の和が問われやすいのは、二乗という操作が根号を外す代わりに、符号と定義域の情報を落とすからです。計算自体は短く終わりますが、その前後で確かめることが増えます。式の形だけを見て二乗を始めると、答えの候補だけが増えて、正しい値にたどり着けません。

使う前提は、実数の範囲で根号を考えることです。根号の中が負になれば実数ではないので、定義域の外は最初から候補になりません。また、二乗を同値変形として使えるのは両辺が0以上のときだけです。この二点を答案の最初に書いておくと、後の計算で迷いません。

定義域と等号の位置を先に読む

実数の範囲で √A が意味を持つのは A≥0 のときだけです。二つの根号の和 √A+√B では、A≥0 と B≥0 の両方を満たす x の範囲が定義域になります。どちらも一次式なら、二つの不等式を連立して数直線の共通部分を取るだけです。図1のように、条件の向きをそろえてから共通部分を塗ると、端点を含むか含まないかの取り違えを防げます。

定義域を決めたら、次は評価の向きです。a≥0、b≥0 のとき、(√a-√b)²≥0 が成り立ちます。左辺を展開すると a+b-2√(ab) なので、2√(ab)≤a+b が導けます。これを (√a+√b)²=a+b+2√(ab) に戻すと、(√a+√b)²≤2(a+b) になります。等号は √a=√b、つまり a=b のときに限ります。

この評価が鋭くなるのは、a+b が一定のときです。a+b が x とともに動くと、右辺の 2(a+b) も動くので、値が一か所に止まりません。和が一定でない問題では、固定されている量に合わせて根号の外へ係数を出すか、平方の差を直接設計します。前者が次の標準例題、後者がやや難の例題で扱う形です。

二乗についても整理しておきます。A=B なら A²=B² ですが、A²=B² から A=B は言えません。A=-B の場合があるからです。両辺が0以上のときに限って、二乗は同値な変形になります。方程式で二乗を繰り返すときは、各段階で両辺の符号を確かめ、最後に候補を元の式へ戻して代入します。図1の赤い点のように、等号を取る位置が定義域の内側にあるかどうかも、この段階で見ておきます。

基本例題：平方の差で上界を作り、等号の点を定義域へ戻す

例題1（標準）

f(x)=√(x+1)+√(3-x) の最大値と、そのときの x の値を求めなさい。

まず定義域を決めます。x+1≥0 から x≥-1、3-x≥0 から x≤3 なので、-1≤x≤3 です。

a=x+1、b=3-x と置くと、a≥0、b≥0 で、a+b=4 になります。和が x によらず一定なのがこの問題の要です。

a+b = (x+1)+(3-x) = 4
(√a-√b)² = a+b-2√(ab) ≥ 0
2√(ab) ≤ a+b = 4
f(x)² = (√a+√b)² = a+b+2√(ab) ≤ 4+4 = 8

f(x)≥0 なので、f(x)²≤8 から f(x)≤2√2 です。次に等号を取る点を探します。等号は a=b のときなので、x+1=3-x を解いて x=1 です。x=1 は -1≤x≤3 の内側にあります。実際に f(1)=√2+√2=2√2 となり、上界が達成されます。

答えは、x=1 のとき最大値 2√2 です。端点も確かめておくと、f(-1)=0+2=2、f(3)=2+0=2 で、最大値より小さいことがわかります。図2のように、グラフは左右対称で、x=1 の真上に最大点が来ます。

a+b が一定のとき、√a+√b は a と b が離れるほど小さくなります。a=0、b=4 なら和は 2 ですが、a=b=2 なら 2√2 で約 2.83 です。根号は数が大きくなるほど増え方がゆるやかになるので、片方に寄せるより、二つを均す方が和が大きくなります。等号の条件 a=b は、この均した状態を式にしたものです。

ここで大切なのは、上界を作る計算と、その上界を実際に取る点を探す計算を分けて書くことです。上界だけでは「2√2 以下である」しか言えません。等号の条件を解き、その点が定義域に入ることを確かめて、初めて最大値になります。定義域の外に等号の点が来る問題では、上界は達成されないので、端点の値と比べ直す必要があります。

標準と発展：重みを設計し、値の範囲まで戻す

例題2（標準）

f(x)=√(x+3)+2√(5-x) の最大値と、そのときの x の値を求めなさい。

定義域は x+3≥0 と 5-x≥0 から -3≤x≤5 です。a=x+3、b=5-x と置くと a+b=8 で一定ですが、係数が 1 と 2 で違います。そのまま (√a+√b)²≤2(a+b) を使うと、2√b の係数 2 が扱えません。

係数に合わせて平方の差を作ります。(2√a-√b)²≥0 を展開すると 4a+b-4√(ab)≥0、つまり 4√(ab)≤4a+b です。

(√a+2√b)² = a+4b+4√(ab)
           ≤ a+4b+(4a+b)
           = 5a+5b
           = 5(a+b) = 40

f(x)≥0 なので f(x)≤√40=2√10 です。等号は 2√a=√b、つまり b=4a のときです。a+b=8 と連立すると 5a=8、a=8/5、b=32/5 で、x=a-3=8/5-3=-7/5 です。-7/5 は -3≤x≤5 の内側にあります。

実際に代入すると、√(8/5)+2√(32/5)=2√10/5+8√10/5=2√10 となり、上界が達成されます。答えは、x=-7/5 のとき最大値 2√10 です。

一般に、正の数 p、q について (q√a-p√b)²≥0 を展開すると、2pq√(ab)≤q²a+p²b が得られます。これを使って (p√a+q√b)²≤(p²+q²)(a+b) が成り立ち、等号は q√a=p√b、すなわち √a:√b=p:q のときです。例題2は p=1、q=2 の場合にあたります。係数を見て p と q を決め、等号の比を和の条件へ戻す、という順序を覚えておくと、係数が変わっても同じ手順で解けます。

例題3（やや難）

x≥0、y≥0、x+2y=6 のとき、√x+√y の最大値と、そのときの x、y の値を求めなさい。

固定されているのは x+2y です。√x+√y を二乗すると x+y+2√(xy) なので、x+2y との差を平方にできる係数を探します。

t(x+2y)-(√x+√y)² = (t-1)x+(2t-1)y-2√(xy)

これが平方になるには、x と y の係数の積が 1 であればよいので、(t-1)(2t-1)=1 を解きます。2t²-3t+1=1 から 2t²-3t=0、t>0 より t=3/2 です。実際に確かめると、次の恒等式になります。

(3/2)(x+2y)-(√x+√y)² = 3x/2+3y-(x+y+2√(xy))
                      = x/2+2y-2√(xy)
                      = (1/2)(√x-2√y)² ≥ 0

したがって (√x+√y)²≤(3/2)(x+2y)=9 で、√x+√y≤3 です。等号は √x-2√y=0、つまり x=4y のときです。x+2y=6 に代入すると 4y+2y=6、y=1、x=4 になります。どちらも0以上で、4+2·1=6 を満たします。このとき √4+√1=2+1=3 で、上界が達成されます。答えは、x=4、y=1 のとき最大値 3 です。

この例題の教訓は、恒等式を書いたら必ず展開して確かめることです。係数の積から t を決める計算は合っていても、最後の平方の形を書き違えると、等号の点が別の場所へ移ります。等号の点を制約へ戻し、元の式へ代入して値まで確かめれば、この種の取り違えはその場で見つかります。

例題4（難）

f(x)=√(x+2)+√(6-x) のとり得る値の範囲を求めなさい。

定義域は x+2≥0 と 6-x≥0 から -2≤x≤6 です。a=x+2、b=6-x と置くと a+b=8 で一定です。最大値だけなら例題1と同じ手順で 4 と出ますが、ここでは最小値も含めた範囲を聞かれています。上界だけでは答えになりません。

積 ab を x の式で書くと、ab=(x+2)(6-x)=16-(x-2)² です。この形が範囲を決める鍵になります。

f(x)² = (√a+√b)² = a+b+2√(ab) = 8+2√(16-(x-2)²)

-2≤x≤6 のとき x-2 は -4 から 4 まで動くので、(x-2)² は 0 から 16 までの値を取ります。したがって 16-(x-2)² は 0 から 16 まで、その平方根は 0 から 4 まで動きます。f(x)² は 8 から 16 までです。

ここで終わらせず、すべての値が実際に取れるかを確かめます。0≤t≤16 を満たす任意の t に対して、x=2+√t と置くと、2≤x≤6 で定義域に入り、(x-2)²=t になります。x=2-√t でも同じで、こちらは -2≤x≤2 です。つまり中間の値もすべて達成されます。f(x)≥0 なので、f(x) の範囲は 2√2 から 4 までです。

答えは 2√2≤f(x)≤4 です。最大値 4 は x=2 のとき、最小値 2√2 は x=-2 と x=6 のときになります。値の範囲を答える問題では、端点の値だけでなく、その間の値を取るかどうかまで示す必要があります。上の x=2±√t の確認がその部分です。

よくある誤り：二乗して増えた候補をそのまま答える

誤答の例

方程式 √(x+2)+√x=1 を解くときに、次のように二乗を繰り返して x=1/4 を答えにする答案があります。

(√(x+2)+√x)² = 1
2x+2+2√(x²+2x) = 1
√(x²+2x) = -(2x+1)/2
x²+2x = (2x+1)²/4
4x²+8x = 4x²+4x+1
x = 1/4

一見、計算は合っています。しかし x=1/4 を元の式へ戻すと、√(9/4)+√(1/4)=3/2+1/2=2 で、右辺の 1 になりません。図3のように、二乗の各段階で両辺の符号を確かめていれば、この候補は出てきません。

破綻しているのは、√(x²+2x)=-(2x+1)/2 の段階です。左辺は根号なので0以上ですが、右辺は x≥0 で負です。0以上の数と負の数が等しくなることはないので、この時点で解なしと判断できます。二乗すると両辺の符号の情報が消えるため、成り立たない式からも候補が生まれます。

正しい答案は、定義域を先に書くところから始まります。x+2≥0 と x≥0 から x≥0 です。この範囲では √(x+2)≥√2>1 なので、√(x+2)+√x≥√2>1 となり、右辺の 1 には届きません。したがって解はありません。

二乗を含む方程式では、次の順序を守ると候補の混入を防げます。定義域を書く、両辺の符号を確かめる、二乗して候補を出す、候補を元の式へ代入する。この四つを省略しないことが、根号の和の方程式で答えを確定させる条件です。

不等式でも同じ種類の誤りが起こります。√(x+2)<x を解くときに、両辺をそのまま二乗して x+2<x² とし、(x-2)(x+1)>0 から x<-1 または x>2 とする答案があります。x=-1.5 を元の式へ戻すと、左辺は √0.5 で約 0.71、右辺は -1.5 なので、不等式は成り立ちません。右辺が負の範囲では、左辺の根号が0以上である時点で左辺の方が大きいからです。

正しくは、まず x≥-2 を定義域として書き、x<0 では右辺が負で不等式が成り立たないことを示します。x≥0 の範囲では両辺が0以上なので、二乗して x>2 を得ます。定義域と合わせた答えは x>2 です。二乗の前後で符号の条件を分けて書くかどうかが、答えの範囲を左右します。

練習問題

次の五問を解きなさい。答えは次の節にまとめてあります。

f(x)=√(x-1)+√(7-x) の最大値と、そのときの x の値を求めなさい。
f(x)=√(x+1)+2√(9-x) の最大値と、そのときの x の値を求めなさい。
f(x)=√(x+2)+√(8-x) のとり得る値の範囲を求めなさい。
方程式 √(x+2)+√(4-x)=2√2 を解きなさい。
x≥0、y≥0、2x+y=12 のとき、√x+√y の最大値と、そのときの x、y の値を求めなさい。

練習問題の解答

1 の解答

定義域は x-1≥0 と 7-x≥0 から 1≤x≤7 です。a=x-1、b=7-x と置くと a+b=6 で一定です。

(√a-√b)² = a+b-2√(ab) ≥ 0
2√(ab) ≤ 6
f(x)² = a+b+2√(ab) ≤ 6+6 = 12

f(x)≥0 なので f(x)≤2√3 です。等号は a=b、つまり x-1=7-x から x=4 のときです。4 は 1≤x≤7 の内側にあり、f(4)=√3+√3=2√3 になります。答えは、x=4 のとき最大値 2√3 です。

2 の解答

定義域は x+1≥0 と 9-x≥0 から -1≤x≤9 です。a=x+1、b=9-x と置くと a+b=10 です。係数が 1 と 2 なので、(2√a-√b)²≥0 を使います。

(2√a-√b)² = 4a+b-4√(ab) ≥ 0
4√(ab) ≤ 4a+b
f(x)² = a+4b+4√(ab) ≤ a+4b+4a+b = 5(a+b) = 50

f(x)≥0 なので f(x)≤5√2 です。等号は 2√a=√b、つまり b=4a のときです。a+b=10 と連立すると 5a=10、a=2、b=8 で、x=a-1=1 です。1 は -1≤x≤9 の内側にあります。f(1)=√2+2√8=√2+4√2=5√2 なので、答えは x=1 のとき最大値 5√2 です。

3 の解答

定義域は x+2≥0 と 8-x≥0 から -2≤x≤8 です。a=x+2、b=8-x と置くと a+b=10 で一定です。積は ab=(x+2)(8-x)=25-(x-3)² になります。

f(x)² = 10+2√(25-(x-3)²)

-2≤x≤8 のとき x-3 は -5 から 5 まで動くので、(x-3)² は 0 から 25 までの値を取ります。したがって 25-(x-3)² は 0 から 25 まで、平方根は 0 から 5 までです。f(x)² は 10 から 20 まで動きます。

中間の値が実際に取れることも確かめます。0≤t≤25 に対して x=3+√t と置くと、3≤x≤8 で定義域に入ります。x=3-√t なら -2≤x≤3 です。どちらでも (x-3)²=t になるので、10 から 20 までのすべての値が達成されます。f(x)≥0 なので、答えは √10≤f(x)≤2√5 です。最大値 2√5 は x=3 のとき、最小値 √10 は x=-2 と x=8 のときです。

4 の解答

定義域は x+2≥0 と 4-x≥0 から -2≤x≤4 です。a=x+2、b=4-x と置くと a+b=6、ab=(x+2)(4-x)=9-(x-1)² です。

方程式の両辺は0以上なので、二乗しても同値です。

f(x)² = 6+2√(ab) = 8
2√(ab) = 2
√(ab) = 1
ab = 1
9-(x-1)² = 1
(x-1)² = 8
x = 1±2√2

1+2√2 は約 3.83、1-2√2 は約 -1.83 で、どちらも -2≤x≤4 に入ります。両辺が0以上で二乗が同値なので、この二つはそのまま解です。代入して確かめると、どちらも √(x+2)+√(4-x)=2√2 になります。答えは x=1+2√2 と x=1-2√2 です。

5 の解答

固定されているのは 2x+y です。(√x+√y)²=x+y+2√(xy) との差を平方にする係数を探します。

(3/2)(2x+y)-(√x+√y)² = 3x+3y/2-x-y-2√(xy)
                      = 2x+y/2-2√(xy)
                      = (1/2)(2√x-√y)² ≥ 0

したがって (√x+√y)²≤(3/2)(2x+y)=(3/2)·12=18 で、√x+√y≤3√2 です。等号は 2√x=√y、つまり y=4x のときです。2x+y=12 に代入すると 2x+4x=12、x=2、y=8 になります。どちらも0以上で、2·2+8=12 を満たします。√2+√8=√2+2√2=3√2 なので、答えは x=2、y=8 のとき最大値 3√2 です。