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大学入試数学コーシー・シュワルツの導出—平方の非負性から二組の数の比例条件まで導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴大学入試数学不等式と最大・最小

差の平方を展開してできる恒等式から、コーシー・シュワルツの不等式と等号の条件を読み解きます。零を含む組でも割り算を避けて、二組の成分が比例します。

よくあるのは、自習のノートで二組の数 (a, b) と (x, y) が比例するかを a/x = b/y と書き、x が 0 になる行で鉛筆が止まる場面です。比を分数で表す書き方に慣れていると、零が現れた瞬間に条件そのものを失ったように見えます。ところが不等式の等号は、その零の組でも平気で成り立ちます。ここで確かめるのは、比例という言葉を割り算から切り離し、平方が負にならないという一事実だけで不等式と等号を一続きに導く手順です。公式を覚える前に、式のどこが 0 以上なのかを見つける目を作ります。

出題の形と、使う道具

コーシー・シュワルツの不等式は、大きく三つの形で問われます。第一は、平方の差を展開して恒等式を作り、そこから不等式を導く形です。式変形の一行ごとに根拠を書けるかが見られます。第二は、与えられた二組の数について等号が成り立つかを判定する形です。零を含む組が混ざるので、比の分数に頼ると判断が崩れます。第三は、等号を成り立たせる組や比例定数を求める形です。評価が鋭いかどうかは、最後にこの組を書き切れるかで決まります。

使う道具は多くありません。実数の平方は 0 以上になること、展開の分配法則、そして二組の数の比例を ay − bx = 0 という差で表すことです。文字はすべて実数とし、割り算を使うときは分母が 0 でないことを先に確かめます。この三つを押さえれば、公式を暗記しなくても答案を組み立てられます。

三つの型は、問題文で何が固定されているかを見ると見分けられます。式の値が与えられていれば等号の判定、二組の数の大きさが与えられていれば達成する組の構成、文字のまま証明を求められていれば恒等式の導出です。どれも最後は ay − bx の値へ戻るので、迷ったらこの差を計算する習慣を持つと速くなります。

評価が鋭いとは、不等式が成り立つだけでなく、等号を取る組が実際に存在することをいいます。上から押さえる式を作っても、等号の組が条件の外にあれば、その評価で最大値を言い切ることはできません。ここで組み立てる導出は、不等式と等号の組を同時に手に入れる手順です。押さえた後で組を作る作業までを一組として進めます。扱うのは成分が二つの組だけで、三つ以上に増えると項の数が変わり、別の計算になります。

評価の向きは平方の符号で決まる

右辺と左辺のどちらが大きいかを決めるには、差を取って符号を調べます。符号の分からない二つの式をそのまま比べることはできないので、一度二乗して向きを固定します。二組の数 (a, b) と (x, y) に対して、次の恒等式が成り立ちます。

(a² + b²)(x² + y²)
= a²x² + a²y² + b²x² + b²y²   （分配法則で四つの項に分ける）
(ax + by)²
= a²x² + 2abxy + b²y²   （和の平方の展開）
(a² + b²)(x² + y²) - (ax + by)²
= a²y² - 2abxy + b²x²   （共通する二項を消す）
= (ay - bx)²   （ay と bx の差の平方にまとめる）

最後の行が要点です。この差は平方なので、どんな実数の組でも 0 以上になります。したがって (ax + by)² ≤ (a² + b²)(x² + y²) が成り立ちます。両辺とも 0 以上なので、平方根を取って |ax + by| ≤ √(a² + b²) × √(x² + y²) と書けます。絶対値を落として ax + by ≤ √(a² + b²) × √(x² + y²) とだけ書くと、負の値の場合を取り落とします。

向きを確かめるために、数を一つ入れてみます。a = 1、b = 0、x = 0、y = 1 とすると、積の側は 1 × 1 = 1、平方の側は (0)² = 0 です。積の側が大きくなり、逆の向きの不等式は成り立ちません。差の符号が平方で決まるという理由も、この一例で見当がつきます。

等号が成り立つのは、差が 0 になるときです。差は (ay − bx)² ですから、等号の条件は ay − bx = 0 という一行に尽きます。この式は、縦に並べた二組の数をたすきに掛けて引いた差が 0 だという意味で、a と b の組が x と y の組の定数倍になっていることを表します。零の組もここに含まれます。(a, b) が (0, 0) なら ay − bx は必ず 0 になり、(x, y) が (0, 0) でも同じです。

比例定数を求めるときも、割る相手を選べば安全です。(x, y) が (0, 0) でないとき、x² + y² は正ですから、λ = (ax + by)/(x² + y²) と置けます。この λ について a = λx と b = λy が成り立つことは、差を計算すれば確かめられます。

a - λx
= (a(x² + y²) - x(ax + by))/(x² + y²)   （λ を代入して通分する）
= (ay² - bxy)/(x² + y²)   （ax² の項が消える）
= y(ay - bx)/(x² + y²)   （y でくくる）

等号が成り立つときは ay − bx = 0 ですから、この差は 0 になり、a = λx が従います。b についても同じ計算で b = λy です。分母は x² + y² だけなので、x や y が 0 でも割り算が破綻しません。ここで確かめた流れは、定義域が実数全体で、例外は割り算を自分で持ち込んだときにだけ生まれるという構造になっています。境界として残るのは零の組で、その場合も等号は成り立ちます。図1のように、評価の向き、等号の位置、比例の言い換えを一枚の流れとして押さえると、答案で迷う場所が減ります。

基本の例題：恒等式を数で確かめる

文字のまま導いた式に数を入れると、どの項がどこへ移ったかが見えます。まずは恒等式の両辺が同じ数になることを、自分の手で確かめます。

【例題1】（標準）実数 a, b, x, y について、次の問いに答えよ。

(a² + b²)(x² + y²) = (ax + by)² + (ay − bx)² が成り立つことを示せ。
(ax + by)² ≤ (a² + b²)(x² + y²) を導き、等号が成り立つ条件を述べよ。
a = 2, b = -1, x = 3, y = 4 のとき、両辺の値を計算して等式を確かめよ。

(1) の答案は、右辺を展開して左辺に戻す向きで書きます。展開の根拠を一行ずつ添えると、途中で項を落としたときに自分で気づけます。

(ax + by)² + (ay - bx)²
= (a²x² + 2abxy + b²y²) + (a²y² - 2abxy + b²x²)   （二つの平方をそれぞれ展開する）
= a²x² + b²y² + a²y² + b²x²   （2abxy が打ち消し合う）
= a²(x² + y²) + b²(x² + y²)   （a² と b² でくくる）
= (a² + b²)(x² + y²)   （x² + y² でくくる）

別の書き方もあります。左辺の積を先に展開し、そこから (ax + by)² を引いても同じ差が出ます。どちらでも構いませんが、右辺から左辺へ戻す方が、平方の和が積に戻る様子を追いやすくなります。

(2) は (1) の等式を移項します。(ay − bx)² = (a² + b²)(x² + y²) − (ax + by)² であり、左辺は平方なので 0 以上です。よって (ax + by)² ≤ (a² + b²)(x² + y²) が出ます。等号は ay − bx = 0 のとき、つまり二組の数が比例するときに限ります。

(3) は代入して計算します。a² + b² = 4 + 1 = 5、x² + y² = 9 + 16 = 25 なので、左辺は 5 × 25 = 125 です。ax + by = 2 × 3 + (-1) × 4 = 6 − 4 = 2 で、その平方は 4 です。ay − bx = 2 × 4 − (-1) × 3 = 8 + 3 = 11 で、その平方は 121 です。右辺は 4 + 121 = 125 となり、左辺と一致します。図2のように、125 という面積が 4 と 121 に分かれる様子として見ると、恒等式の意味がつかめます。

この数値では ay − bx = 11 で 0 ではないため、等号は成り立ちません。実際 4 < 125 であり、差の 121 がそのまま (ay − bx)² になっています。等号かどうかを数値で判断するときも、両辺の差ではなく ay − bx の値を見れば一行で済みます。両辺の差を計算するのは、恒等式が本当に成り立つかの確認であって、等号の判定とは別の作業です。

等号が成り立つ数値も一つ見ておきます。a = 1、b = 2、x = 3、y = 6 とすると、a² + b² = 5、x² + y² = 45 で積は 225、ax + by = 3 + 12 = 15 でその平方も 225 です。ay − bx = 6 − 6 = 0 となり、等号の条件が数でも確かめられます。片方の組がもう片方の 3 倍になっている形で、比を書くなら 3 ですが、差の形なら 0 を確かめるだけで済みます。

標準と発展：零を含む組と、条件から組を復元する

ここからは、零を含む組の判定と、等号が強制される条件の読み取りを扱います。どちらも比の分数を書かずに進めます。

【例題2】（やや難）次の各組について、コーシー・シュワルツの不等式の等号が成り立つかを、割り算を使わずに判定せよ。

(a, b) = (0, 3)、(x, y) = (0, -2)
(a, b) = (0, 3)、(x, y) = (1, 0)
(a, b) = (2, -4)、(x, y) = (-1, 2)
(a, b) = (t, 2)、(x, y) = (3, 1) のとき、等号が成り立つ t の値を求めよ。

(i) は ay − bx = 0 × (-2) − 3 × 0 = 0 なので等号です。両辺を確かめると、(0 + 9)(0 + 4) = 36 で、ax + by = 0 + (-6) = -6、その平方も 36 です。a/x という分数は x = 0 で書けませんが、差の形ならそのまま 0 と計算できます。

は ay − bx = 0 × 0 − 3 × 1 = -3 なので等号ではありません。左辺は (0 + 9)(1 + 0) = 9、右辺は (0 + 0)² = 0 です。差の 9 は (-3)² に等しく、恒等式の右辺がそのまま現れています。この組は、片方の成分が 0 でも比例とは限らないことを示しています。
は ay − bx = 2 × 2 − (-4) × (-1) = 4 − 4 = 0 なので等号です。両辺は (4 + 16)(1 + 4) = 100 と、ax + by = -2 − 8 = -10 の平方 100 で一致します。比で見ると (2, -4) は (-1, 2) の -2 倍です。
は ay − bx = t × 1 − 2 × 3 = t − 6 です。これが 0 になるのは t = 6 のときだけです。t = 6 のとき (6, 2) は (3, 1) の 2 倍で、確かに比例しています。t が 6 以外なら等号は成り立ちません。文字が入っても、判定はこの差が 0 かどうかで変わりません。

【例題3】（難）実数 a, b, x, y が a² + b² = 9、x² + y² = 4、ax + by = 6 を満たすとする。

等号が成り立つことを確かめ、比例定数 λ を求めよ。
(a, b) を (x, y) で表し、条件を満たす組を一組挙げよ。
ax + by = 5 に変えたとき、等号は成り立つか。成り立たない場合、両辺の差を求めよ。
不等式の右辺は (a² + b²)(x² + y²) = 9 × 4 = 36 で、左辺は (ax + by)² = 36 です。両辺が等しいので等号が成り立ち、ay − bx = 0 です。比例定数は λ = (ax + by)/(x² + y²) = 6/4 = 3/2 です。ここで分母に使ったのは x² + y² で、これは 4 なので 0 ではありません。x や y を個別に分母へ置く必要はありません。
(1) から a = (3/2)x、b = (3/2)y です。(x, y) = (2, 0) を選べば、(a, b) = (3, 0) です。検算すると、a² + b² = 9、x² + y² = 4、ax + by = 6 となり、三つの条件がそろいます。x = 2 で y = 0 なので、やはり a/x の形は使えませんが、差の計算と λ の式は通ります。
ax + by = 5 のとき、左辺は 25 で、右辺の 36 より小さいので等号ではありません。差は 36 − 25 = 11 で、これは (ay − bx)² に等しくなります。実際 (a, b) = (3, 0) とすると 3x = 5 から x = 5/3、y² = 4 − 25/9 = 11/9 です。y = √11/3 と取れば ay − bx = 3 × (√11/3) − 0 = √11 で、その平方は 11 になります。条件を満たしたまま等号だけが崩れる組を作れるので、等号の確認は不等式の証明とは別の作業だとわかります。

この例題の逆も成り立ちます。等号が成り立てば差の平方が 0 なので ay − bx = 0 です。つまり、不等式の証明と等号の判定は、同じ恒等式の表と裏を見ているだけです。答案では、まず不等式を示し、その後に差が 0 になる条件を書く順にすると、読み手が迷いません。

なお、(x, y) = (0, 0) の場合は λ の式を使えませんが、そのときは ay − bx = 0 が自動的に成り立ち、不等式の両辺も 0 です。場合分けを増やすのではなく、差の形を先に置いておくことで、この場合も同じ答案の中で扱えます。比例定数を求める問題で「λ が存在しない場合」と「等号が成り立たない場合」を取り違えないよう、零の組は等号が成り立つ側に置きます。

誤答が生まれる場所と直し方

誤りはどれも、比を分数で書く習慣か、二乗と平方根の往復から生まれます。図3のように、誤った形と直した形を並べて覚えると切り替えが速くなります。

第一の誤りは、比例条件を a/x = b/y と書くことです。(a, b) = (0, 3)、(x, y) = (0, -2) は等号を成り立たせますが、x = 0 なので a/x は定義できません。破綻するのは分母が 0 になる場合で、零の組が入るたびに起こります。直し方は ay − bx = 0 に置き換えることです。この形なら零が入っても計算でき、等号の判定も一行で終わります。

第二の誤りは、平方根を取った後に絶対値を落とすことです。(a, b) = (2, -1)、(x, y) = (3, 4) では ax + by = 2 ですが、(a, b) = (-2, 1) に変えると ax + by = -2 になります。上からの評価だけを書くと、負の側の限界を見落とします。直し方は、二乗のまま評価し、最後に |ax + by| ≤ √(a² + b²) × √(x² + y²) と絶対値で包むことです。

第三の誤りは、等号の確認を「比が等しい」という言葉だけで済ませ、零の組を落とすことです。(a, b) = (0, 0) のとき、比は書けませんが不等式の両辺は 0 で等号です。(x, y) = (0, 0) でも同じことが起こります。直し方は、比例という言葉を使う前に ay − bx = 0 へ戻し、場合分けをせずに零を含めて判定することです。言葉の意味を「一方が他方の定数倍」と広げておけば、零の定数倍も自然に入ります。

第四の誤りは、差の符号を確かめずに不等式の向きを逆にすることです。(a² + b²)(x² + y²) ≤ (ax + by)² と書いてしまう答案があり、これは数値を入れればすぐに崩れます。a = 2、b = 1、x = 1、y = -2 なら積の側は 5 × 5 = 25、平方の側は 0 です。直し方は、差を平方の形に直し、その平方が 0 以上だから積の側が大きい、と向きを言葉で説明することです。

練習問題

次の五問を、まず自分で解いてください。答えはこの後にまとめて置きます。数値は例題と重ならないものにしてあります。

(p, q) = (6, 1)、(r, s) = (2, 3) について、(p² + q²)(r² + s²) − (pr + qs)² と (ps − qr)² をそれぞれ計算し、等しいことを確かめよ。
次の組のうち、コーシー・シュワルツの不等式で等号が成り立つものをすべて選べ。割り算を使わずに判定すること。
1. (1, 0) と (7, 2)
2. (0, 0) と (7, -3)
3. (4, -6) と (-2, 3)
4. (2, 3) と (4, 6)
(x, y) = (4, 1) とする。ay − bx = 0 を満たす (a, b) をすべて求めよ。
実数 x, y が 2x + y = 3 を満たすとき、x² + y² の最小値を求め、その値を取る組を答えよ。
(a, b) = (0, 2)、(x, y) = (3, 0) について、等号が成り立つかを判定せよ。成り立たない場合は、両辺の差が (ay − bx)² に等しいことを使って差の値を求めよ。

答えと解き方

左の式は (36 + 1)(4 + 9) − (12 + 3)² = 37 × 13 − 225 = 481 − 225 = 256 です。右の式は (6 × 3 − 1 × 2)² = (18 − 2)² = 16² = 256 です。両方とも 256 で一致します。恒等式の右辺が二つの平方の和であることを、数でも確かめられたことになります。
等号の判定は ay − bx の値で行います。(i) は 1 × 2 − 0 × 7 = 2 で等号ではありません。(ii) は 0 × (-3) − 0 × 7 = 0 で等号です。(iii) は 4 × 3 − (-6) × (-2) = 12 − 12 = 0 で等号です。(iv) は 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0 で等号です。よって (ii)、(iii)、(iv) の三つです。(i) だけが比例の関係から外れており、両辺の差は 2² = 4 になります。
ay − bx = 0 に (x, y) = (4, 1) を代入すると a − 4b = 0 です。これを満たす組は (a, b) = (4t, t)（t は実数）と書けます。t = 0 のときが零の組で、この場合も等号です。検算すると 4t × 1 − t × 4 = 0 となります。t を 1 にすれば (4, 1) 自身が得られ、2 にすれば (8, 2) が得られます。
(2, 1) と (x, y) に不等式を使うと (2x + y)² ≤ (4 + 1)(x² + y²) です。2x + y = 3 なので、9 ≤ 5(x² + y²)、つまり x² + y² ≥ 9/5 です。等号は (x, y) が (2, 1) の定数倍のときで、(x, y) = (2k, k) と置くと 4k + k = 3 から k = 3/5 です。このとき (x, y) = (6/5, 3/5) で、x² + y² = 36/25 + 9/25 = 45/25 = 9/5 になります。最小値は 9/5 です。求めた組を 2x + y = 3 に戻すと 12/5 + 3/5 = 3 となり、条件も満たしています。
ay − bx = 0 × 0 − 2 × 3 = -6 なので等号ではありません。両辺は (0 + 4)(9 + 0) = 36 と (0 + 0)² = 0 です。差は 36 で、(-6)² = 36 と一致します。したがって等号は成り立たず、差の値は 36 です。片方の組が零の成分を含んでいると、比は書けても意味を持たないので、この判定は差の形で行うのが確実です。

覚えておくこと

積の差を作り、平方が 0 以上という向きだけで不等式を導く。
等号の条件は ay − bx = 0 の一行で表し、零の組もここに含める。
平方根を取ったら絶対値を残し、負の側の限界を落とさない。
比例定数は x² + y² で割って求め、x や y を単独で分母に置かない。

つまずきの見分け方

式変形が止まる答案は、展開の途中で項を消す根拠を書いていないことが多いです。二つの平方を並べて書き、打ち消し合う項に線を引かせると、どこで差が平方に戻るかが見えます。等号を確かめない答案は、評価の向きだけを答えて満足している状態です。最後の一行に ay − bx の値を書かせ、0 かどうかを声に出して確認させます。

零で割る答案は、比例の条件を分数で覚えていることが原因です。具体例として (0, 3) と (0, -2) を渡し、差の形なら書けることをその場で試させます。比例定数を求める問題では、分母に x² + y² を選ぶ理由を説明できるかを見ます。x や y を単独で割ると零の場合に崩れることを、自分の言葉で言えたら理解は定着しています。数値を入れて両辺を計算させる確認は、最後の仕上げとして一度だけ行います。

答案の順序も見ます。不等式を先に書き、等号の条件を後に置く答案は読みやすいものです。逆に、等号の組を先に並べてから不等式を書くと、どの評価でその組が出たのかが追えません。等号の組が条件を満たしているかを別の行で検算している答案は、理解が定着している合図です。

評価が鋭いかどうかは、等号を取る組を最後まで書き切れたかで決まります。条件を見落とした答案は、式の変形が正しくても、最後の一行が空いたままです。