大学入試数学 相加相乗平均と区間制約—等号の点が使えない場合に端点で値を確かめる｜武蔵野個別指導塾

相加相乗平均の等号が区間の外に落ちるとき、その値は最小値になりません。逆数の和では両端の差を因数分解して大小を比べ、採る点を決めます。答えを左右するのは、閉区間の端点です。

自習のノートに、x + 4/x の最小値を 4 とした答案がありました。等号は x = 2 で成り立つ、と変形も正しく書いてあります。ところが問題の条件は 3 ≤ x ≤ 6 です。x = 2 は区間の外にあり、4 という値はこの範囲のどこでも取れません。相加相乗平均の式は合っているのに、答えだけが条件からはみ出しています。区間が付いた問題では、式を立てる前に等号の点が区内に入るかを見ます。ここを飛ばすと、正しい不等式から誤った答えが出ます。

区間が付くと何が変わるか

相加相乗平均の問題は、式だけを見ていると等号の点が答えに見えます。ところが条件に 3 ≤ x ≤ 6 のような区間が付くと、等号の点がそこに入るかどうかで答案の形が変わります。出方は大きく三つに分かれます。

第一は、等号の点が区間の内側にある型です。最小値は等号の点で取り、最大値は両端の値を比べて決めます。第二は、等号の点が区間の外にある型です。このとき相加相乗平均が与える値は下界であって最小値ではありません。区間の中で関数が下がるか上がるかを見て、等号の点に近い側の端で値を取ります。第三は、1/x + 1/(c − x) のような逆数の和の型です。x = c/2 に 4/c という基準の値があり、区間がこの基準より左か右かで端点の役割が入れ替わります。

使う道具は三つです。二数の相加相乗平均 a + b ≥ 2√(ab)（a ≥ 0、b ≥ 0、等号は a = b）、x + k/x − 2√k = (x − √k)²/x という恒等式、そして f(M) − f(m) を因数分解して両端の大小を決める計算です。前提は、文字が正であること、分母が0でないこと、区間が閉じているか開いているかです。この三つを答案の最初に書くと、後の判断がぶれません。

等号の点がどこに落ちるかは、係数と区間の両方で決まります。x + k/x では、k が大きいほど √k は右へ動くので、区間が原点に近い側にあると等号の点は区間の右外に出ます。逆に k が小さければ √k は左へ寄り、区間の左外に出ます。だから「等号が使えない」という一言で片づけず、√k と両端 m、M の大小を並べて、右外か左外かを決めます。この並べ方が、次の節の場合分けの土台になります。

等号の位置を先に決め、端点は差で比べる

最大値と最小値は取れる値

最大値とは、その範囲のどこかで実際に f(x) がその値になる、という意味です。上から押さえる値を上界、下から押さえる値を下界と呼び、上界のうち最も小さいものが上限、下界のうち最も大きいものが下限です。上限や下限は、範囲のどこでも値が取れなくても構いません。冒頭の x + 4/x の例でいえば、4 は正しい下界ですが、この区間の下限ではありません。3 ≤ x ≤ 6 での下限は 13/3 で、しかもその値は x = 3 で実際に取れます。4 を取る点は範囲にないので、4 は最小値ではなく、答えにはなりません。

相加相乗平均の等号の位置

a ≥ 0、b ≥ 0 のとき、(√a − √b)² ≥ 0 を展開すると a + b − 2√(ab) ≥ 0、つまり a + b ≥ 2√(ab) です。等号は √a = √b、すなわち a = b のときだけ成り立ちます。x > 0、k > 0 として a = x、b = k/x を入れると、x + k/x ≥ 2√k を得ます。同じことを恒等式で書くと x + k/x − 2√k = (x − √k)²/x となり、等号が x = √k のときに限ることが一目でわかります。右辺が0以上になるのは x > 0 のときですから、この形を使う前に x の符号を確かめます。

区間のどこで最小になるか

0 < m < M として、区間 m ≤ x ≤ M を考えます。m ≤ x < y ≤ M のとき、

f(y) - f(x) = (y + k/y) - (x + k/x)
            = (y - x) + k(1/y - 1/x)
            = (y - x) - k(y - x)/(xy)
            = (y - x)(xy - k)/(xy)

となります。y − x > 0、xy > 0 なので、f(y) − f(x) の符号は xy − k の符号で決まります。√k < m なら区間内のどの x, y でも xy > k なので f は増加し、最小は左端 m です。M < √k なら xy < k なので f は減少し、最小は右端 M です。√k が区間に入るなら、f は √k まで減ってから増えるので、最小は x = √k、値は 2√k です。等号の点が区間の外にあるときは、この増減を確かめてから端点を選びます。

図1のように、等号の点が区間の左・内・右のどこにあるかで、最小を取る場所が変わります。

最大は両端の比較で決める

f は √k まで減ってから増えるので、区間の最大は両端のどちらかで取ります。どちらが大きいかは、端点の差を因数分解して決めます。

f(M) - f(m) = (M - m)(mM - k)/(mM)

M − m > 0、mM > 0 なので、符号は mM − k で決まります。mM > k なら右端が大きく、mM < k なら左端が大きく、mM = k なら両端の値が等しくなります。最後の場合、両端は同じ値ですが、区間の内側には √k があり、そこが最小です。両端が等しいからといって、区間全体で値が変わらないわけではありません。

逆数の和は基準の位置で決める

1/x + 1/(c − x)（0 < x < c）は、通分すると c/(x(c − x)) です。分母の x(c − x) は x = c/2 で最大になり、h(x) − 4/c = (2x − c)²/(c x (c − x)) ≥ 0 から、h(x) ≥ 4/c、等号は x = c/2 です。増減は x(c − x) の増減の逆で、x = c/2 まで減ってから増えます。両端の比較は、二組の分数をそれぞれ通分してからまとめます。

h(M) - h(m) = (1/M - 1/m) + (1/(c - M) - 1/(c - m))
            = -(M - m)/(mM) + (M - m)/((c - M)(c - m))
            = (M - m)(mM - (c - M)(c - m))/(mM(c - M)(c - m))
            = c(M - m)(M + m - c)/(mM(c - M)(c - m))

符号は M + m − c、つまり区間の中央が c/2 より右か左かで決まります。区間の中央が c/2 より左なら右端の方が小さく、右なら左端の方が小さい値になります。c/2 が区間の外にあるときは、増減だけで最小を取る端が決まります。

区間付きの評価をまとめる

0 < m < M、k > 0 とします。f(x) = x + k/x は [m, M] で、√k が区間に入れば x = √k で最小 2√k を取り、入らなければ √k に近い側の端で最小を取ります。最大は常に両端のどちらかで、f(M) − f(m) の符号は mM − k の符号と一致します。h(x) = 1/x + 1/(c − x) は 0 < m < M < c で、c/2 が区間に入れば x = c/2 で最小 4/c を取り、入らなければ近い側の端で最小を取ります。最大は両端のどちらかで、h(M) − h(m) の符号は M + m − c の符号と一致します。

閉区間と開区間

閉区間では端点の値も取れますが、開区間では取れません。3 < x < 6 で x + 4/x を考えると、x = 3 の値 13/3 には限りなく近づけますが、x = 3 自身は範囲にないので、13/3 は最小値ではありません。この場合は「最小値はない。下界は 13/3」と書きます。開区間が関わる問題では、端点の値を答案の答えにせず、近づく値として扱います。

基本例題 等号が区内にある場合

例題 1（標準）　1 ≤ x ≤ 6 のとき、f(x) = x + 9/x の最小値と最大値を求めなさい。答えには、そのときの x の値も書きなさい。

解答　1 ≤ x ≤ 6 なので x > 0 です。a = x、b = 9/x に相加相乗平均を使うと、f(x) ≥ 2√9 = 6 です。等号は x = 9/x、つまり x = 3 のときで、3 は 1 ≤ x ≤ 6 を満たします。したがって最小値は 6 で、x = 3 で取ります。

恒等式で確かめると、

f(x) - 6 = (x - 3)²/x

となり、x > 0 で右辺は0以上、等号は x = 3 です。この形は、等号の点が区内にあることを代入だけで示せるので、答案の検算にも使えます。

最大は両端の比較で決めます。f は 3 まで減ってから増えるので、最大は x = 1 か x = 6 のどちらかです。両端の値は

f(1) = 1 + 9 = 10
f(6) = 6 + 9/6 = 15/2

です。差を因数分解すると

f(6) - f(1) = (6 - 1)(6・1 - 9)/(6・1)
            = 5・(-3)/6
            = -5/2

となり、15/2 − 10 = -5/2 と一致します。右端の方が小さいので、最大は x = 1 の 10 です。

答え: 最小値 6（x = 3）、最大値 10（x = 1）。図2のように、曲線は x = 3 で底を作り、そこから左へ上がって x = 1 の 10 が最も高くなります。右端の 15/2 は底より高いものの、左端よりは低い位置です。

標準と発展 等号が外れる場合と端点が並ぶ場合

例題 2（標準）等号が区内でも無理数のとき

3 ≤ x ≤ 8 のとき、f(x) = x + 12/x の最小値と最大値を求めなさい。

解答　x > 0 です。相加相乗平均から f(x) ≥ 2√12 = 4√3 で、等号は x = √12 = 2√3 です。2√3 が区間に入るかを確かめます。2乗して比べると 3² = 9、(2√3)² = 12、8² = 64 なので、3 ≤ 2√3 ≤ 8 です。したがって最小値は 4√3 で、x = 2√3 で取ります。

この値が端点の値より小さいことも確かめます。4√3 < 7 は両辺を2乗すると 48 < 49 となり、正しいです。f(3) = 3 + 12/3 = 7 なので、最小は確かに等号の点で取れています。大小を確かめずに「等号の点が区内だから最小」とだけ書くと、値の比較を飛ばした答案になります。

最大は両端の比較です。f(3) = 7、f(8) = 8 + 12/8 = 19/2 です。差は

f(8) - f(3) = (8 - 3)(8・3 - 12)/(8・3)
            = 5・12/24
            = 5/2

で、19/2 − 7 = 5/2 と一致します。正なので右端が大きく、最大値は 19/2（x = 8）です。

別解として、恒等式 f(x) − 4√3 = (x − 2√3)²/x を使えば、最小を取る点が x = 2√3 であることが直接わかります。この形は、2√3 が区内かどうかを別に確かめる必要がある点で、相加相乗平均の答案と同じ手間がかかります。どちらの道でも、等号の点の位置確認だけは省けません。

答え: 最小値 4√3（x = 2√3）、最大値 19/2（x = 8）。

例題 3（やや難）等号が区間の外にあるとき

1 ≤ x ≤ 4 のとき、h(x) = 1/x + 1/(10 − x) の最小値と最大値を求めなさい。

解答　区間の両端で分母が正であることを先に確かめます。1 ≤ x ≤ 4 なら 10 − x ≥ 6 なので、分母はどちらも0になりません。この確認を省くと、区間の端で分母が0になる場合に同じ計算を当ててしまいます。

通分すると h(x) = 10/(x(10 − x)) です。基準の値は x = 5 で 4/10 = 2/5 ですが、5 は 1 ≤ x ≤ 4 に入りません。等号の点が区間の右外にあるので、この 2/5 は最小値ではありません。

区間 [1, 4] では x < 5 なので、u = x(10 − x) は増加します。実際、1 ≤ x < y ≤ 4 のとき

u(y) - u(x) = (y - x)(10 - x - y)

で、x + y < 10 なので右辺は正です。u が増加するなら、h = 10/u は減少します。したがって最小は右端 x = 4、最大は左端 x = 1 です。

値を計算すると、

h(4) = 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12
h(1) = 1 + 1/9 = 10/9

です。端点の差で確かめると

h(4) - h(1) = 10・3・(4 + 1 - 10)/(4・6・1・9)
            = 30・(-5)/216
            = -25/36

で、5/12 − 10/9 = 15/36 − 40/36 = -25/36 と一致します。

別の見方もできます。1 ≤ x ≤ 4 で u = x(10 − x) は 9 から 24 までの値を取り、h = 10/u なので h は 10/24 = 5/12 から 10/9 までの値を取ります。分母の最大・最小から逆数を考えると、端点の計算を一組で済ませられます。

答え: 最小値 5/12（x = 4）、最大値 10/9（x = 1）。

例題 4（難）両端の値が並ぶ境目

2 ≤ x ≤ 5 のとき、h(x) = 1/x + 1/(7 − x) の最小値と最大値、およびそのときの x をすべて求めなさい。

解答　2 ≤ x ≤ 5 で 7 − x ≥ 2 なので、分母は正です。通分すると h(x) = 7/(x(7 − x)) で、基準の等号は x = 7/2、値は 4/7 です。7/2 = 3.5 は 2 ≤ x ≤ 5 に入るので、最小値は 4/7 で、x = 7/2 で取ります。

最大は両端の比較です。両端の値は

h(2) = 1/2 + 1/5 = 7/10
h(5) = 1/5 + 1/2 = 7/10

で等しくなります。差の因数分解でも

h(5) - h(2) = 7・3・(5 + 2 - 7)/(5・2・2・5)
            = 0

となり、M + m = c の境目にあたります。このとき最大は両端の 7/10 で、x = 2 と x = 5 の両方で取ります。

両端が等しいのは、区間の中央がちょうど c/2 だからです。中央では x(7 − x) が最大の 49/4 になり、h は最小の 4/7 になります。両端が同じ値だからといって、区間の内側まで同じ値ではありません。この点は次の誤りの節でもう一度扱います。

答え: 最小値 4/7（x = 7/2）、最大値 7/10（x = 2 と x = 5）。

発展 開区間では端点の値を答えにしない

条件が 3 < x < 6 のように開いているときは、端点の値は取れません。x + 4/x の例では、x を 3 に近づけると値は 13/3 に近づきますが、x = 3 は範囲にないので 13/3 は最小値ではありません。答案では「最小値はない。下界は 13/3」と書き、等号を取る点が範囲にないことを理由に添えます。閉区間と開区間の違いは、値の計算ではなく、その値を取る点があるかどうかです。

誤答を直す 三つの落とし穴

落とし穴1 区間の外の等号を採用する

3 ≤ x ≤ 6 で f(x) = x + 4/x の最小値を求める問題を考えます。相加相乗平均から f(x) ≥ 4、等号は x = 2 です。ここで「最小値 4（x = 2）」と答えると誤りです。x = 2 は 3 ≤ x ≤ 6 に入りません。4 は下界ですが、この区間では取れません。

正しくは、√4 = 2 が区間の左外にあるので、区間内で f は増加します。3 ≤ x < y ≤ 6 なら xy ≥ 9 > 4 なので、f(y) − f(x) > 0 です。したがって最小は左端で、

f(3) = 3 + 4/3 = 13/3

です。最大は右端で f(6) = 6 + 4/6 = 20/3 です。両端の差は (6 − 3)(18 − 4)/18 = 7/3 で、20/3 − 13/3 = 7/3 と一致します。

図3のように、等号の点 x = 2 は区間の外にあり、区間の左端 x = 3 で最小になります。等号の点と区間の位置を一枚に描くと、この誤りは見つけやすくなります。

落とし穴2 両端の差だけで区間全体の増減を決める

2 ≤ x ≤ 8 で f(x) = x + 16/x を考えると、f(2) = 10、f(8) = 10 で両端の値は等しくなります。ここから「区間全体で値が変わらない」とか「最小値も 10」と結論すると誤りです。実際、x = 4 では f(4) = 4 + 4 = 8 で、10 より小さい値があります。

端点の差 f(M) − f(m) は、2つの点の大小を比べる式です。区間の内側のようすは分かりません。この問題では √16 = 4 が区間に入るので、最小は x = 4 の 8 です。両端の差が0になるのは、両端が等しいというだけで、内部が一定という意味ではありません。

落とし穴3 開区間の端点を答えにする

3 < x < 6 で f(x) = x + 4/x の最小値を「13/3（x = 3）」とすると誤りです。13/3 は x = 3 の値で、3 は範囲に含まれません。範囲内の値はすべて 13/3 より大きいものの、13/3 にいくらでも近づけます。答えは「最小値なし、下界 13/3」です。不等号に等号が付いているかを、答えを書く直前に読み直します。

練習問題

次の5問を解きなさい。答えは最小値・最大値と、そのときの x の値を書くこと。分数は約分した形で答えること。

1. 5 ≤ x ≤ 9 のとき、f(x) = x + 6/x の最小値と最大値を求めなさい。
2. 2 ≤ x ≤ 9 のとき、f(x) = x + 20/x の最小値と最大値を求めなさい。
3. 2 ≤ x ≤ 8 のとき、h(x) = 1/x + 1/(12 − x) の最小値と最大値を求めなさい。
4. 2 ≤ x ≤ 3 のとき、h(x) = 1/x + 1/(11 − x) の最小値と最大値を求めなさい。
5. 4 < x < 9 のとき、f(x) = x + 16/x の最小値と最大値を求めなさい。存在しない場合はその旨と、値が近づく先を答えなさい。

解答

1. 5 ≤ x ≤ 9 で x > 0 です。√6 < 5 なので、区間内のどの2数 x < y でも xy ≥ 25 > 6 となり、f は増加します。よって最小は x = 5 で

f(5) = 5 + 6/5 = 31/5

最大は x = 9 で

f(9) = 9 + 6/9 = 9 + 2/3 = 29/3

です。両端の差は (9 − 5)(45 − 6)/45 = 156/45 = 52/15 で、29/3 − 31/5 = 52/15 と一致します。答え: 最小値 31/5（x = 5）、最大値 29/3（x = 9）。

2. 2 ≤ x ≤ 9 で x > 0 です。√20 = 2√5 は 2 と 9 の間にあり（4 < 20 < 81）、最小値は 4√5（x = 2√5）です。両端は f(2) = 2 + 10 = 12、f(9) = 9 + 20/9 = 101/9 です。差の因数分解は

f(9) - f(2) = (9 - 2)(18 - 20)/18
            = 7・(-2)/18
            = -7/9

で、101/9 − 12 = (101 − 108)/9 = -7/9 と一致します。左端が大きいので最大値は 12（x = 2）です。答え: 最小値 4√5（x = 2√5）、最大値 12（x = 2）。

3. 2 ≤ x ≤ 8 で 12 − x ≥ 4 なので分母は正です。h(x) = 12/(x(12 − x)) で、等号は x = 6、値は 4/12 = 1/3 です。6 は区間に入るので最小値は 1/3（x = 6）です。両端は h(2) = 1/2 + 1/10 = 3/5、h(8) = 1/8 + 1/4 = 3/8 です。差は

h(8) - h(2) = 12・6・(8 + 2 - 12)/(8・4・2・10)
            = 72・(-2)/640
            = -9/40

で、3/8 − 3/5 = -9/40 と一致します。答え: 最小値 1/3（x = 6）、最大値 3/5（x = 2）。

4. 2 ≤ x ≤ 3 で 11 − x ≥ 8 なので分母は正です。区間の中央は 5/2 で、c/2 = 11/2 より左にあります。したがって区間内で h は減少し、最小は右端、最大は左端です。値は

h(3) = 1/3 + 1/8 = 8/24 + 3/24 = 11/24
h(2) = 1/2 + 1/9 = 9/18 + 2/18 = 11/18

です。差は 11・(3 − 2)・(3 + 2 − 11)/(3・8・2・9) = -11/72 で、11/24 − 11/18 = 33/72 − 44/72 = -11/72 と一致します。答え: 最小値 11/24（x = 3）、最大値 11/18（x = 2）。

5. 4 < x < 9 で x > 0 です。√16 = 4 は範囲に含まれません。4 < x < y < 9 のとき xy > 16 なので f(y) − f(x) > 0 となり、f は増加します。したがって範囲内の値はすべて f(4) = 8 より大きく、f(9) = 9 + 16/9 = 97/9 より小さいものの、8 にも 97/9 にもなりません。答え: 最小値なし（下界 8）、最大値なし（上限 97/9）。

覚えておくこと

• 相加相乗平均は正の数で使い、等号は x = √k で確かめる。
• 等号の点が区間の外なら、その値は下界であって最小値ではない。
• 最小は等号の点か、等号の点に近い側の端で取る。
• 最大は両端の値を代入し、差の因数分解の符号で比べる。
• 逆数の和は 4/c と x = c/2 を基準に、区間の中央との位置で端点を決める。

つまずきの見分け方

答案が止まったときは、三つの順に指で確かめます。第一に、等号を解いた x が区間の不等式を満たすか。第二に、両端の値を実際に代入して2つとも書いたか。第三に、両端の大小を決めた根拠が、差の因数分解か増減の説明になっているか。この三つがそろえば、答えの値と、その値を取る点の両方を説明できます。

個別の指導では、生徒に f(M) − f(m) を自分で因数分解させ、符号から最大の位置を説明させます。逆数の和では、x = c/2 と区間の中央のどちらが右かを指で示させ、端点の役割が入れ替わる理由を言葉にさせます。開区間の問題では、端点の値を答案に書いた時点で「その x は範囲にあるか」と問い返します。式の変形が正しくても、等号の点が条件を満たさなければ答えにはなりません。

式の正しさと答えの正しさは別です。採用した x を区間の不等式に戻して、両側の不等号が成り立つかを確かめる。その一歩まで書けた答案だけが、相加相乗平均の等号の点を答えにできます。