中学受験の算数 高さの比と面積比—共通の底辺から点の位置と面積を結び付ける｜武蔵野個別指導塾

底辺が同じ二つの三角形は、頂点が斜めの直線上を動いても、底辺までの高さの比で面積を読み取れます。線分図に位置を写し、斜めの長さと高さを取り違えない目印は高さの比です。

ノートに三角形を一つ書き、頂点を斜めの直線上で少し動かします。子どもは定規を当てて斜めの線分の長さを測り、その比をそのまま高さの比として面積を出します。ところが、底辺は動かしていないのに、面積は図の見た目ほど大きくならない。よくあるのは、斜めの線分の比を無条件に高さの比にしてしまう場面です。底辺が同じなら面積を決めるのは高さであり、その高さは斜めの長さではなく、底辺に垂直な長さです。この違いを図の上で確かめながら、点の位置と面積を結び付ける手順を組み立てます。

高さの比と面積比が問われる三つの形

問題の形は大きく三つに分かれます。一つは、底辺を共有する二つの三角形について、頂点が辺の上や延長の上にあるときの面積の比を求める形です。二つ目は、面積の比が先に与えられ、頂点がどこにあるのかを線分の比で答える形です。三つ目は、二つの頂点が同じ直線上を動く設定で、面積が等しくなる位置や、面積の比が入れ替わる場所を見つける形です。

三つ目の形は、面積の変化を位置の変化として読み替える練習になります。底辺を固定したまま頂点を斜めの線に沿って2倍の位置へ動かすと、高さが2倍になり、面積も2倍になります。逆に、面積が2倍になったと聞いて、頂点の位置を2倍と答える問題もあります。面積の増え方と位置の進み方が同じ割合で進むのは、頂点が底辺の直線と交わる一本の直線の上にあるときです。

どの形でも、式を立てる前に読む条件は三つあります。底辺が共通なのか、高さが共通なのか。頂点はどの直線の上にあるのか。点は辺の上なのか、辺を延ばした先なのか。この三つを図に印として書き込むと、使える比と使えない比が分かれます。特に三つ目の「どの直線の上か」は、斜めの線分の比を高さの比に変えてよいかどうかを決める条件です。

比がどの点から測られているかも、あわせて読みます。Aから測った比とBから測った比は、同じ図の中でも別の数を指します。ADとDBの比が2:1という条件は、Aから測れば2:1ですが、Bから測れば1:3です。高さを比べるときに使うのは、底辺の端点から測った比のほうです。

図が一枚しかない問題でも、底辺を延ばした直線と、頂点が動く直線を鉛筆でなぞると、考える土台ができます。底辺の直線に垂直な向きを意識して、高さを表す線を書き足すところから始めます。図にない平行や直角を勝手に補わないことも、同じくらい大切です。

共通の底辺と高さの関係を確かめる

三角形の面積は、底辺×高さ÷2で求めます。このときの高さは、頂点から底辺を含む直線へ向けて引いた垂線の長さです。斜めの辺の長さは高さではありません。底辺を共有する二つの三角形では、底辺の長さが同じなので、面積の比は高さの比とそのまま一致します。ここがこの単元の出発点です。

二つの三角形の面積を並べて書くと、底辺×高さ÷2という同じ形が二つできます。底辺と2が同じなら、面積の違いは高さの違いだけから生まれます。だから、高さが3倍なら面積も3倍、高さが5分の2なら面積も5分の2になります。面積をいちいち計算しなくても、高さの比が分かった時点で面積の比が決まるのは、この理由です。

頂点が同じ直線上を動くときは、高さが位置に比例します。直線が底辺の直線と点Bで交わるとします。Bから直線をのぼる距離が2倍になれば、底辺の直線から離れる高さも2倍になります。同じ角度でのぼるので、一定の距離を進むごとに増える高さが変わらないからです。三等分した位置なら高さも三等分になり、五等分した位置なら高さも五等分になります。この関係を線分図にすると、斜めの線分の目盛りがそのまま高さの目盛りとして読めます。

頂点を動かすときは、動く直線の向きで結果が変わります。頂点が底辺に平行な直線上を動く場合は、高さが変わらないので面積も変わりません。斜めの長さは変わっても、面積は同じままです。これに対して、頂点が底辺の直線と交わる斜めの直線上を動く場合は、位置に比例して高さが変わり、面積も変わります。同じ「頂点を動かす」でも、平行な直線か、底辺と交わる直線かで、面積の変化は正反対になります。

底辺を共有する二つの三角形の高さの関係を、図1で確かめます。

図1のように、底辺BCを共有する二つの三角形ABCとPBCで、頂点AとPがBを通る同じ直線上にあるとします。このとき、BからAまでの長さとBからPまでの長さの比が、Aの高さとPの高さの比になります。高さの比がわかれば、面積の比も同じ比で読めます。

成り立つ条件をはっきりさせておきます。二つの頂点が同じ直線上にあり、その直線が底辺の直線と一つの点で交わることが条件です。二つの頂点が底辺に平行な直線上にあるときは、高さが等しくなるので面積も等しくなります。逆に、二つの頂点が別々の斜めの直線上にあるときは、斜めの長さの比をそのまま高さの比にすることはできません。同じ長さでも、角度が違えば高さは変わります。

線分図を書くときは、斜めの線分の上ではなく、底辺に垂直な向きの目盛りに高さを写します。図1の点線がその目盛りです。位置の比と高さの比が同じ数字になるのは、同じ直線の上をのぼる場合だと確かめてから使います。

基本例題　辺の上の点と共通の底辺

三角形ABCがあり、辺BCの長さは10cm、頂点Aから辺BCまでの高さは6cmです。辺ABの上に点Dを、ADとDBの長さの比が2:1になるようにとります。三角形DBCの面積を求めてください。

まず、二つの三角形ABCとDBCが底辺BCを共有していることを確かめます。底辺が同じなので、面積の比は高さの比になります。

次に点Dの高さを求めます。ADとDBの比が2:1なので、辺ABは3つの等しい部分に分かれ、DBはそのうちの1つ分です。つまり、BからDまでの長さは、BからAまでの長さの3分の1です。点DはBを通る直線BAの上にあるので、高さの比はBDとBAの比、つまり1:3になります。

この1:3は、辺ABを3等分したうちの1つ分という意味です。Bから1つ分進むと高さは2cm、2つ分進むと4cm、3つ分進むとAの高さ6cmになります。階段を一段ずつのぼるように、同じ長さだけ進むたびに同じ高さが増えるので、位置の比と高さの比がそろいます。

頂点Aの高さは6cmなので、点Dの高さは6÷3で2cmです。図2のように、AとDから底辺BCへ向けて垂線を引くと、Dの垂線がAの垂線の3分の1の長さになることが目で確かめられます。

図2で色を付けた三角形DBCの面積は、10×2÷2で10cm²です。

検算をします。三角形ABCの面積は10×6÷2で30cm²です。高さの比が1:3なので、面積の比も1:3になり、30÷3で10cm²となって、求めた面積と一致します。

別の書き方をすると、面積の比が高さの比と同じ1:3であることを先に使い、30×3分の1として10cm²を出しても同じです。底辺を共有しているので、面積を二度計算しなくても比だけで進めます。

ここで気を付けるのは、ADとDBの比2:1を、そのまま高さの比2:1として使わないことです。高さを比べる基準は、底辺の端点Bから測った長さです。BからDまでが1つ分、BからAまでが3つ分なので、高さの比は1:3になります。どちらの点から測った比なのかを、式の1行目に書いておくと取り違えません。

ためしに、ADとDBの比をそのまま高さの比2:1として計算すると、Dの高さは4cmになり、三角形DBCの面積は20cm²になります。しかし、図2のDはBに近い位置にあり、高さはAの3分の1です。数だけで進めた答えが図の位置と合わないときは、比を測った点を取り違えていないかを見直します。

標準例題　延長上の点と面積から位置を読む

三角形ABCがあり、辺BCの長さは16cm、高さは8cmです。辺ABの上に点Dを、ADとDBの比が1:3になるようにとります。また、辺ABの真ん中の点をEとします。三角形DBCと三角形EBCの面積の比を求めてください。続けて、三角形PBCの面積が24cm²になるように辺ABの上に点Pをとるとき、BPとPAの長さの比を求めてください。

底辺BCは三つの三角形で共通です。まず三角形ABCの面積を出すと、16×8÷2で64cm²です。

点Dの高さは、BからDまでの長さがBからAまでの長さの4分の3なので、8×4分の3で6cmです。三角形DBCの面積は16×6÷2で48cm²です。

点Eは辺ABの真ん中なので、BからEまでの長さはBからAまでの2分の1です。高さは8×2分の1で4cm、三角形EBCの面積は16×4÷2で32cm²です。面積の比は48:32で、3:2になります。

続いて点Pです。三角形PBCの面積24cm²は、三角形ABCの面積64cm²の8分の3です。底辺が共通なので、高さも8分の3になり、BからPまでの長さはBからAまでの8分の3です。BPとPAの比は、全体を8つに分けてBPが3つ分、PAが5つ分なので3:5です。

検算として、点Pの高さを8×8分の3で3cmと求め、16×3÷2を計算すると24cm²に戻ります。面積から位置を読むときも、底辺が共通なら高さの比を経由すると迷いません。点Dと点Eの高さの比が6:4であることも、面積の比48:32と同じ3:2であることと合わせて確かめられます。

三つの面積を並べると、64、48、32になります。48は64の4分の3、32は64の2分の1です。点DはBから見てBAの4分の3、点Eは2分の1の位置にあるので、面積の数と位置の数が同じ割合で並びます。図を書かなくても、この対応が合っているかどうかで計算の向きを確かめられます。

発展例題　二つの斜めの線を同じ底辺で比べる

三角形ABCがあり、辺BCの長さは12cm、高さは8cmです。辺ABの真ん中の点をDとし、辺ACの上に点Eを、AEとECの比が3:1になるようにとります。三角形DBCと三角形EBCの面積をそれぞれ求め、比を答えてください。また、二つの三角形の面積の差も求めてください。

三角形ABCの面積は12×8÷2で48cm²です。

点Dは辺ABの真ん中なので、BからDまでの長さはBからAまでの2分の1です。DはBを通る直線BAの上にあるので、高さは8×2分の1で4cm、三角形DBCの面積は12×4÷2で24cm²です。

点Eは辺ACの上にあり、AEとECの比が3:1なので、CからEまでの長さはCからAまでの4分の1です。EはCを通る直線CAの上にあるので、高さは8×4分の1で2cm、三角形EBCの面積は12×2÷2で12cm²です。面積の比は24:12で2:1、面積の差は12cm²です。

ここが考え方の分かれ目です。点DはBから、点EはCから、それぞれ長さを測ります。同じ斜めの線に見えても、基準にする端点が違います。ADとAEは、どちらもAから測った長さですが、乗っている直線が違います。この二つの長さの比を高さの比にすると間違えます。高さの比は、それぞれの点が乗っている直線の端点から測った比、つまりBDとBAの比、CEとCAの比で読みます。

別解として、二つの三角形を三角形ABCから切り分けて考えます。三角形DBCは三角形ABCの2分の1、三角形EBCは4分の1なので、48×2分の1で24cm²、48×4分の1で12cm²と出ます。切り分けの比が高さの比と同じであることを使うと、面積を一つずつ計算しなくても進めます。

もしDとEがどちらも辺ABの上にあれば、同じ直線の上なので長さの比をそのまま高さの比にできます。頂点が別々の直線上にあるかどうかで、使える比が変わることを覚えておきます。別の特別な場合として、辺ABの真ん中と辺ACの真ん中をとると、どちらの高さもAの2分の1になり、二つの三角形の面積は等しくなります。

面積の和は24+12で36cm²です。三角形ABCの48cm²との差は12cm²で、たまたま三角形EBCの面積と同じ数字になりますが、この配置でそうなるだけで、どの図でも成り立つ決まりではありません。数を並べたときに見えた一致を、別の図にも当てはまる関係と決めつけないようにします。確かめるのは、あくまで底辺と高さの対応です。

誤答を直す　斜めの比をそのまま高さにしない

三角形ABCがあり、辺BCの長さは12cm、高さは9cmです。辺ABの上に点Dを、ADとDBの比が1:2になるようにとり、辺ACの上に点Eを、AEとECの比が2:1になるようにとります。三角形DBCと三角形EBCの面積の比を求める問題で、次のような答えが出ました。

「ADとAEの比が1:2なので、高さの比も1:2です。三角形ABCの面積は54cm²だから、三角形DBCは18cm²、三角形EBCは36cm²で、面積の比は1:2です。」

この答えは、二つの点が別々の斜めの線上にあるのに、Aから測った長さの比を高さの比としてしまっています。そもそも点Dと点Eは別々の辺の上にあり、辺ABと辺ACの長さも示されていないので、ADとAEの比を1:2と決めること自体ができません。仮にADとAEの長さの比がわかったとしても、ADは直線ABの上、AEは直線ACの上にあり、二つの直線は角度が違います。同じ長さでも角度が違えば高さは変わるので、その比を高さの比にはできません。図3のように、DとEから底辺へ垂線を引くと、二つの高さが同じ割合で並んでいないことが見えます。

図3で二つの高さを確かめると、正しい求め方は次のようになります。Dの高さはBから測ります。ADとDBの比が1:2なので、辺ABは3つに分かれ、BDは2つ分です。高さは9×3分の2で6cm、三角形DBCの面積は12×6÷2で36cm²です。Eの高さはCから測ります。AEとECの比が2:1なので、辺ACは3つに分かれ、CEは1つ分です。高さは9×3分の1で3cm、三角形EBCの面積は12×3÷2で18cm²です。面積の比は36:18で2:1になり、最初の答えとは逆になります。

この誤答の型は「斜めの線分の長さが2倍だから高さも2倍」という思い込みから生まれます。斜めの長さが高さに比例するのは、同じ直線の上をのぼる場合だけです。二つの点が同じ直線の上にあるかどうかを、図で確かめてから比を選びます。

似た誤りに、比を2乗して面積比にする型があります。相似な図形では面積の比が相似比の2乗になるので、その記憶が残っていると、高さの比も2乗したくなります。しかし、ここで比べている二つの三角形は、形が同じで大きさだけが違う相似な図形ではありません。底辺を共有し、頂点の高さだけが違う図形です。この場合は2乗にせず、高さの比をそのまま面積の比として使います。2乗を使うのは、縦も横も同じ割合で拡大していると確かめられたときだけです。

条件が足りない場合もあります。図に二つの斜めの線分とその比だけが書かれ、二つの点が同じ直線上にあるとも、底辺の直線とどこで交わるかとも書かれていなければ、高さの比は決められません。見た目で平行や一直線と判断せず、条件として書かれていることだけを使います。

練習問題

次の五問を解いてください。答えはこの節の後にまとめてあります。

1. 三角形ABCがあり、辺BCの長さは14cm、高さは7cmです。辺ABの上に点Dを、ADとDBの比が3:4になるようにとるとき、三角形DBCの面積を求めてください。

2. 三角形ABCがあり、辺BCの長さは9cm、高さは8cmです。辺BAをAの方向へ延ばした直線上に点Dを、ADとABの長さが等しくなるようにとるとき、三角形DBCの面積を求めてください。

3. 三角形ABCがあり、辺BCの長さは15cm、高さは8cmです。辺ABの上に点DをADとDBの比が2:3になるようにとり、辺ACの上に点EをAEとECの比が1:4になるようにとります。三角形DBCと三角形EBCの面積の比を求めてください。

4. 三角形ABCがあり、辺BCの長さは12cm、高さは5cmです。頂点Aを通り辺BCに平行な直線上に、Aと異なる点Pをとります。三角形PBCの面積を求め、三角形ABCの面積と等しくなる理由を説明してください。

5. 三角形ABCがあり、辺BCの長さは20cm、高さは9cmです。辺ABの上に点Pを、三角形PBCの面積が36cm²になるようにとるとき、BPとPAの長さの比を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 三角形ABCの面積は14×7÷2で49cm²です。ADとDBの比が3:4なので、辺ABは7つに分かれ、BDは4つ分です。高さの比はBDとBAの比で4:7になり、面積の比も4:7です。三角形DBCの面積は49×7分の4で28cm²です。点Dの高さを確かめると7×7分の4で4cmになり、14×4÷2を計算しても28cm²に戻ります。

2. 三角形ABCの面積は9×8÷2で36cm²です。ADとABの長さが等しいので、BからDまでの長さはBからAまでの2倍です。高さも2倍になり、三角形DBCの面積は36×2で72cm²です。点Dの高さを確かめると8×2で16cmになり、9×16÷2を計算しても72cm²に戻ります。

3. 三角形ABCの面積は15×8÷2で60cm²です。点DはBから測ると、BDはBAの5分の3なので、三角形DBCは60×5分の3で36cm²です。点EはCから測ると、CEはCAの5分の4なので、三角形EBCは60×5分の4で48cm²です。面積の比は36:48で3:4になります。高さで確かめると、Dは8×5分の3で4.8cm、Eは8×5分の4で6.4cmとなり、面積の比と同じ3:4です。

4. 三角形ABCの面積は12×5÷2で30cm²です。直線が辺BCに平行なので、その上のどの点から辺BCの直線までの垂線の長さも5cmで変わりません。点Pの高さも5cmなので、三角形PBCの面積は12×5÷2で30cm²となり、三角形ABCと等しくなります。高さが等しいことを、平行という条件から説明できるかがこの問題の要点です。

5. 三角形ABCの面積は20×9÷2で90cm²です。三角形PBCの面積36cm²は、90cm²の5分の2です。底辺が共通なので、高さも5分の2になり、BPはBAの5分の2です。よってBPとPAの比は2:3です。点Pの高さを確かめると9×5分の2で3.6cmになり、20×3.6÷2を計算しても36cm²に戻ります。

覚えておくこと

• 底辺が共通なら、面積の比は高さの比になる。
• 高さは頂点から底辺を含む直線へ引いた垂線の長さで、斜めの辺ではない。
• 二つの頂点が同じ直線上にあるとき、高さの比は底辺の端点から測った長さの比になる。
• 頂点が別々の斜めの線上にあるとき、斜めの長さの比を高さの比にできない。
• 面積から位置を読むときも、底辺が共通なら同じ比で戻せる。

つまずきの見分け方と確かめる場所

図の斜めの辺に「高さ」と書き込んでいたら、底辺に垂直な線を引き直させます。垂線がどこからどこまでかを指でなぞらせると、斜めの辺との違いがはっきりします。

比を出したときは、どの点から測った比なのかを言わせます。Bから測ったのか、Aから測ったのか、Cから測ったのかを言葉にすると、高さの比に使える比かどうかが分かれます。面積を求めた後は、元の三角形との面積の比に戻して確かめさせます。求めた面積が元の面積より大きくなっていたら、比の向きを取り違えています。

「この長さが2倍だから面積も2倍」という発言が出たら、その長さが底辺に垂直かを問い返します。垂直でなければ高さではないので、面積の比には使えません。線分図に高さの目盛りを写すときも、斜めの線の長さではなく、垂直に下ろした長さを縦の棒として書かせます。縦の棒の長さを並べれば、面積の比が目で見て分かります。

図にない平行や直角や一直線を仮定していないかも確かめます。問題文に書かれた条件と図を行き来し、条件にないことは使わないと伝えます。個別指導では、垂線を引く、線分図に高さの目盛りを写す、式の1行目に底辺と高さを書く、の三つを一緒に行うと、つまずきの場所がはっきりします。子どもがどこで止まるかによって、図を描く練習が必要なのか、比を測る点を確かめる練習が必要なのかが分かれます。

斜めの長さに引かれず、底辺に垂直な一歩を数えられたとき、面積は初めて手元の根拠になります。