中学受験の算数 ピラミッド型の相似—対応する辺をそろえて部分と全体の長さを求める｜武蔵野個別指導塾

三角形の底辺に平行な線を引くと、切り取られた小さな三角形は元の三角形を縮めた形になります。対応する辺を図の上でそろえて長さを出すのがピラミッドです。

三角形の図に、底辺と平行な一本の線が引いてあります。線の上は小さな三角形、下は台形に分かれています。お子さまは小さな三角形の短い辺と、台形の短い辺を並べ、その二つをそのまま組にして比を立てようとします。ところが、その二本は同じ角をはさんで向かい合っていません。どことどこを組にするかで答えは変わるのに、短い順に並べれば合っているように見えてしまう。ピラミッド型の相似で最初につまずくのは、この組の選び方です。

ピラミッド型の相似が問われる三つの形

問題の形は大きく三つに分かれます。一つ目は、小さな三角形の一辺と、それに対応する全体の一辺が分かっていて、別の辺を出す形です。相似比を一度出せば、残りはかけ算で決まります。二つ目は、辺を分けた二つの部分の比だけが与えられる形です。ADとDBの比はわかるが、それぞれの長さはわからない。このときは、比を足して全体を作るか、部分どうしの比のまま使うかを選びます。三つ目は、平行線が二本引かれ、相似な三角形が三つ重なる形です。小さい順に、相似比を別々に求めることになります。

どの型かは、問題文に出てくる長さの組で見分けられます。小さな三角形の辺と全体の辺がそろって分かっていれば一つ目です。部分の比しか書かれていなければ二つ目です。平行線が二本あれば三つ目になります。型が決まれば、最初にどの組を比べるかも決まります。

式を立てる前に、図から三つのことを読み取ります。DEがBCに平行だと示されているか。DとEが辺の上にあるか、延長線上にあるか。そして、どの角とどの角が等しいか。この三つがそろって初めて、比が使えます。平行の印がなくても、問題文に「平行」とあれば条件は満たされています。逆に、図で平行に見えても、どこにも書かれていなければ相似とは言えません。

問われているものも確かめます。比を答えさせるのか、長さを答えさせるのか。長さなら単位をcmで書き、比なら約分した形で書きます。答えの形を間違えると、計算が合っていても点になりません。

図の向きにも癖があります。頂点が上を向いた図が多いのですが、頂点が横を向いた図や、斜めに傾いた図も出ます。向きが変わっても、頂点を共有する二つの三角形と、平行な二本の線を探せば同じ形です。図の向きに慣れるより、角と辺の関係を読むほうが確実です。

平行線がつくる二つの三角形—対応する辺の決め方

三角形ABCの辺ABの上に点D、辺ACの上に点Eをとり、DEをBCに平行に引きます。このとき、三角形ADEと三角形ABCは同じ形になります。頂点Aを共有し、底辺に平行な線で切り取られた上の部分が、先のすぼまった面のように見えることから、この配置をピラミッド型の相似と呼びます。

同じ形になる理由は角にあります。DEとBCが平行なので、辺ABが二本の平行線と交わる所で同位角が等しくなります。角ADEと角ABCが等しいのは、この同位角によるものです。辺ACの側でも同じことが起こり、角AEDと角ACBが等しくなります。さらに角Aは二つの三角形に共通です。三つの角がそれぞれ等しいので、辺の長さが違っても形は同じになります。

形が同じなら、対応する辺はすべて同じ割合で縮んでいます。ADとAB、AEとAC、DEとBCがそれぞれ組になります。文字で書くと、AD:AB = AE:AC = DE:BC です。この比を相似比と呼びます。

ためしに、小さい三角形の三辺が4cm、6cm、8cmで、大きい三角形の三辺が6cm、9cm、12cmだったとします。どの組も2:3で、形は同じです。一組だけ測って2:3と分かれば、残りの組も2:3と決まります。相似比は、辺の組ごとに測り直すものではなく、図形全体に一つだけある倍率です。

かけ算に使うときは、2:3を2/3という分数に直して、相手の辺にかけます。AD:ABが2:3なら、小さい三角形の辺は大きい三角形の辺の2/3です。かける前に、どちらが小さい三角形かをはっきりさせておくと、逆にかける誤りを防げます。

対応する辺は、等しい角をはさんで向かい合う順で決まります。角Aは両方に共通なのでAとAが対応します。角ADEと角ABCが等しいのでDとBが、角AEDと角ACBが等しいのでEとCが対応します。だからADの相手はABであって、DBではありません。DEの相手はBCです。この組み合わせを取り違えると、あとの計算がすべてずれます。

AD:ABのABは、ADとDBを合わせた全体です。細い三角形の辺と太い三角形の辺を組にする、と言い換えても同じです。部分と全体を組にする、これがこの比の約束です。

部分どうしの比も使えます。ADがABの3分の2なら、残りのDBは3分の1です。AEもACの3分の2なら、ECは3分の1になります。同じ割合で残るので、AD:DBとAE:ECは同じ比です。これを式にすると、AD:DB = AE:EC になります。

この関係は、全体の比から残りを引いても同じです。AD:AB = 2:3なら、DBは全体の1にあたるのでAD:DB = 2:1。AE:ACも2:3なら、ECは1にあたり、AE:EC = 2:1です。全体の比と部分の比を、同じ目盛りの上で行き来できることが、この単元で身につけたい力になります。

図1のように、平行線が一本入るだけで、頂点を共有する大小二つの三角形ができます。成り立つ条件は三つです。DEがBCに平行であること。DとEが辺の上にあること。そして、対応する辺を角の順で選ぶことです。平行でなければ同位角が等しくならず、形は同じになりません。図で平行に見えても、問題文に平行と書かれていなければ、この比は使えないままです。

条件を確かめるときは、等しい角を図に書き込みます。角ADEと角ABC、角AEDと角ACBの二組に同じ印を付けると、どことどこが対応するかが目で追えます。印を付けた角をはさむ辺が、そのまま対応する辺の組になります。式を覚える前に、この印を置く手順を身につけると、初見の図でも対応を外しません。

基本例題—一部分の長さから全体の長さを出す

例題1です。三角形ABCで、AB=12cm、AC=15cm、BC=18cmです。辺ABの上に点D、辺ACの上に点Eをとり、DEをBCに平行に引きます。AD=8cmのとき、AEとDEの長さを求めなさい。

解き方を一行ずつ進めます。まず、DEがBCに平行だと確かめます。問題文に平行とあるので、ピラミッド型の相似が使えます。次に、対応を書きます。AとA、DとB、EとCです。次に、両方の長さが分かっている組を探します。ADが8cmでABが12cmなので、この組が基準になります。AD:AB = 8:12 を約分して、相似比は2:3です。

相似比が2:3と分かったので、AEを出します。AEの相手はACで、ACは15cmです。AE:ACも2:3になるので、AE = 15 × 2/3 = 10cmです。同じように、DEの相手はBCで、BCは18cmです。DE = 18 × 2/3 = 12cmになります。

ここで、かけ算の向きを確かめます。小さい三角形は大きい三角形を縮めたものなので、答えは必ず相手の辺より短くなります。AEはACの15cmより短い10cm、DEはBCの18cmより短い12cmです。出した答えが相手の辺より長ければ、比を逆にかけたか、組を間違えたかのどちらかです。

答えを図に戻して確かめます。DBは12 − 8 = 4cm、ECは15 − 10 = 5cmです。AD:DBは8:4で2:1、AE:ECは10:5で2:1になり、部分どうしの比もそろっています。図2で、DEがBCの3分の2の長さに見えることも確かめてください。12cmと18cmの組なので、見た目の長さの差もこの割合に合っています。

標準例題—比の与えられ方で手順が変わる

例題2です。三角形ABCで、BC=24cmです。辺ABの上に点D、辺ACの上に点Eをとり、DEをBCに平行に引きます。AD:DB = 3:5のとき、DEの長さを求めなさい。

ここで与えられているのは、部分と部分の比です。DEを出すには、全体ABに対するADの割合へ直す必要があります。ADが3、DBが5なので、ABは3 + 5 = 8です。したがってAD:AB = 3:8になります。DE:BCも3:8なので、DE = 24 × 3/8 = 9cmです。確かめに、AE:ECも3:5になることを使います。DEが9cmなら、BCの24cmに対して9:24 = 3:8で、比は合っています。

この問題でも、答えの9cmはBCの24cmより短くなっています。相似比3:8は1より小さいので、小さい三角形の辺は必ず全体の辺より短くなるはずです。この見当は、答えの桁が大きく外れたときの早期発見に役立ちます。

例題3です。三角形ABCで、辺ABの上に点D、辺ACの上に点Eをとり、DEをBCに平行に引きます。AD:DB = 2:5で、AE=6cmのとき、ECの長さを求めなさい。

この問題では、全体を作る必要がありません。AD:DB = AE:ECなので、2:5の比をそのまま使えます。AEが2にあたる長さが6cmなら、1にあたる長さは3cmです。ECは5にあたるので、EC = 3 × 5 = 15cmになります。ACは6 + 15 = 21cmです。AE:ACは6:21で2:7、AD:ABも2:7になり、全体の比でも筋が通っています。

この答え15cmは、AEの6cmより長い辺です。残りの部分は全体の一部ではありますが、同じ辺のもう一方の部分より長くなることはあります。長さの大小だけを見て対応を決めないことも、ここで確かめておきます。

二つの例題は、どちらも部分と部分の比から始まっています。それでも手順が違うのは、求めるものが違うからです。DEのように全体側の長さを出すときは、全体ABに対するADの割合へ直します。ECのように残りの部分を出すときは、部分どうしの比のまま使えます。どちらの道を通るかは、答えたい辺が全体の一部なのか、残りの部分なのかで決まります。

比は、AD:DBのように部分どうしで書かれることも、AD:ABのように全体と組で書かれることもあります。問題文の書き方に合わせて、こちらの手元で形を変えるのが基本です。与えられた形のままでは答えに届かないとき、もう一方の形へ直す操作を入れる。この行き来が、ピラミッド型の相似を解く中心になります。

発展例題—全体と部分の差から比を戻す

例題4です。三角形ABCで、BC=18cmです。辺ABの上に点D、辺ACの上に点Eをとり、DEをBCに平行に引きます。DE=12cm、DB=5cmのとき、ADの長さを求めなさい。

DEとBCはどちらも長さが分かっているので、ここから相似比を出します。DE:BC = 12:18 = 2:3です。相似比が2:3なら、AD:ABも2:3になります。ADが2にあたり、ABが3にあたるということは、その差のDBが1にあたります。DBが5cmで1にあたるので、ADは2にあたる10cmです。ABは10 + 5 = 15cmになります。

答えを元の条件へ戻して確かめます。AD:ABは10:15で2:3です。BCが18cmなので、DE = 18 × 2/3 = 12cmとなり、問題文の12cmに戻ります。別の道からも確かめられます。相似比2:3からAD:DB = 2:1を先に出し、DBの5cmを2倍してAD = 10cmとする進め方です。どちらも同じ答えに着きますが、前者は全体の比から差を読み、後者は部分どうしの比を先に作ります。

二つの道を並べると、どちらも「相似比を出す」「部分と全体の関係に直す」「長さを読む」という三つの段階を踏んでいます。違うのは二段目だけで、全体の比から差を読むか、部分どうしの比を作るかです。問題文にDBの長さがあるときは、後者のほうが短い手順になります。

この形では、DBのように「全体でも部分でもない、残りの一辺」が与えられます。残りの辺は、全体から部分を引いた差です。差が1にあたると見抜ければ、比の目盛りがそのまま長さになります。図の上で、ABのうちADがどこからどこまでで、DBがどこからどこまでかを指でなぞると、この見方が身につきます。

ただし、二つの差を混ぜないでください。DEとBCの差は6cmですが、この6cmをそのまま比の1としてDBと結びつけると、5cmとずれます。二つの三角形の辺の差と、一辺を分けた差は、別のものです。どちらの差を扱っているのかを図で確かめてから計算します。

よくある誤答—短い辺を相手に選んでしまう

例題です。三角形ABCで、辺ABの上に点D、辺ACの上に点Eをとり、DEをBCに平行に引きます。AD=6cm、DB=4cm、BC=15cmのとき、DEの長さを求めなさい。

よくある誤答は、DE = 15 × 6/4 = 22.5cm とするものです。短い6cmと、その次に短い4cmを組にし、15cmにかけてしまっています。この式のどこが誤りでしょうか。6cmはADで、4cmはDBです。この二本は、どちらも全体ABの一部で、DEに対応する辺ではありません。DEの相手は全体のBCです。部分と部分を組にして、全体の辺にかけてしまったので、答えが全体より長くなりました。

図3を見ると、DEはBCより短いはずです。ところが22.5cmは15cmより長い。答えが全体の辺より長くなった時点で、組の選び方が間違っていると気づけます。直し方は、まずABを作ることです。AB = 6 + 4 = 10cm。次にAD:AB = 6:10 = 3:5を出します。DE = 15 × 3/5 = 9cmです。AE:ECも3:2になり、部分どうしの比もそろいます。

試験の場では、答えを書いたあとに一行だけ確かめを入れます。ABを作ったか。相似比は1より小さいか。答えは相手の辺より短いか。この三つを指で数えるだけなら数秒です。見直しの時間が短いときほど、この三つの確認が効きます。

別の誤り方もあります。図で平行に見えるという理由だけで相似と決めてしまう型です。問題文に平行の条件がなければ、角が等しいとは言えず、比は使えません。また、対応の順を逆にして、ADの相手をACにしてしまう型もあります。辺の長さの大小ではなく、等しい角をはさんで向かい合う順に相手を選ぶことが、この二つの誤りを同時に防ぎます。

見た目で長さを決める型もあります。図3のDEはBCの半分より少し長く見えるので、7.5cmや8cmと書いてしまう。相似比は、図の描かれ方ではなく、与えられた長さから出します。図は考えを助ける道具で、長さの根拠にはなりません。

条件が足りない図もあります。平行だという記述がなく、ADとDBとDEの長さだけが書かれている図では、相似比を作る根拠がありません。この場合は、ほかに等しい角や平行の印がないかを探し、それでも見つからなければ、その比では解けないと判断します。解けない問題を無理に解くより、条件の不足に気づくほうが大切です。

練習問題

五問とも、DEがBCに平行だという条件は問題文に書いてあります。図は自分で描き、分かっている長さを書き込みながら進めてください。答えは次の節にまとめてあります。

1. 三角形ABCで、AB=20cm、BC=25cmです。辺ABの上に点D、辺ACの上に点Eをとり、DEをBCに平行に引きます。AD=12cmのとき、DEの長さを求めなさい。

2. 三角形ABCで、辺ABの上に点D、辺ACの上に点Eをとり、DEをBCに平行に引きます。AD:DB = 4:5、BC=36cmのとき、DEの長さを求めなさい。

3. 三角形ABCで、辺ABの上に点D、辺ACの上に点Eをとり、DEをBCに平行に引きます。AE=9cm、EC=6cm、DE=12cmのとき、BCの長さを求めなさい。

4. 三角形ABCで、辺ABの上に点Dと点Fをこの順にとり、辺ACの上に点Eと点Gをこの順にとります。DEとFGはどちらもBCに平行です。AD:DF:FB = 1:2:3、BC=36cmのとき、DEとFGの長さを求めなさい。

5. 三角形ABCで、辺ABの上に点D、辺ACの上に点Eをとり、DEをBCに平行に引きます。DE=14cm、BC=21cm、DB=4cmのとき、ADの長さを求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 答えは15cmです。AD:AB = 12:20 = 3:5なので、DE = 25 × 3/5 = 15cmです。DBは8cm、AD:DB = 12:8 = 3:2になります。

2. 答えは16cmです。AD:DB = 4:5なので、ABは4 + 5 = 9にあたります。AD:AB = 4:9となり、DE = 36 × 4/9 = 16cmです。

3. 答えは20cmです。AE:EC = 9:6 = 3:2なので、AE:AC = 3:5です。DE:BCも3:5になるので、BC = 12 ÷ 3/5 = 20cmです。12 ÷ 3 = 4、4 × 5 = 20と計算しても同じです。

4. 答えはDE=6cm、FG=18cmです。AD:DF:FB = 1:2:3なので、ABは1 + 2 + 3 = 6にあたります。AD:AB = 1:6より、DE = 36 × 1/6 = 6cmです。AFはADとDFを合わせた3にあたるので、AF:AB = 3:6 = 1:2となり、FG = 36 × 1/2 = 18cmです。

5. 答えは8cmです。DE:BC = 14:21 = 2:3なので、AD:AB = 2:3です。差のDBが1にあたり、DB=4cmなので、AD = 4 × 2 = 8cmです。ABは12cmになり、14:21と8:12はどちらも2:3でそろいます。

五問に共通するのは、最初に全体の辺を作るか、部分どうしの比をそのまま使うかを決めることです。1と2と4は全体を作る道、3と5は部分どうしの比から入る道でした。どちらを選んでも、最後に全体の比へ戻して確かめれば、答えの筋が通ります。

覚えておくこと

• ピラミッド型の相似は、頂点を共有する大小二つの三角形。DEがBCに平行なことが条件です。
• 対応は角で決まる。AとA、DとB、EとC。ADの相手はABで、DBではありません。
• 全体の辺を出すときはAD:AB、残りの部分を出すときはAD:DBを使います。
• 部分と部分の比しかないときは、足して全体を作るか、そのまま使うかを選びます。
• 答えが全体の辺より長くなったら、組の選び方を疑います。

つまずきの見分け方と確かめ方

お子さまが比を立てたとき、まずどの二本を組にしたかを指で示してもらいます。ADとDBを組にしていたら、その二本は同じ角をはさんで向かい合っているかを図で確かめます。次に、答えが全体の辺より長くないかを見ます。長くなっていたら、ほぼ組の取り違えです。平行の条件を書き写しているかも見てください。図に平行の印を自分で書き足すと、条件の見落としが減ります。

説明を聞いたあとに、お子さま自身の言葉で「どの辺とどの辺が対応するか」を言ってもらいます。AとA、DとB、EとCとすらすら言えれば、比の立て方は身についています。言葉に詰まったら、等しい角に印を付け、その角をはさむ二辺を指でなぞる所からやり直します。式だけを直しても、対応の見方はなかなか変わりません。

つまずきが長引くときは、比の式を立てる前に、図の中で等しい角に印を付ける練習だけを分けて行います。角の印が正しく置ければ、対応する辺は自然に決まります。計算の練習と、対応を見つける練習は、別の日に分けて確かめるほうが定着します。

計算の途中では、比を約分したかどうかを確かめます。8:12をそのまま使っても答えは出ますが、2:3にするとかけ算が軽くなります。最後に、求めた長さを図へ書き戻し、部分どうしの比がそろっているかを一声かけながら確認します。平行線が一本あるだけで、図の中に同じ形が二つ生まれます。