勉強計画の十ページから二十ページは何ページか—両端を含む量を確かめる方法｜武蔵野個別指導塾

10ページから20ページの範囲を10ページ分として置いてしまう場面から、端の1枚を数え直す手順を、自作の例と表計算シートで確かめる方法を記します。両端を数えた11ページです。

範囲の両端を含めて何ページになるかは、終点の番号から始点の番号を引いたあとに1を足せば決まります。10ページから20ページまでなら11ページです。照合の第一の相手は手元のプリントに振られたページ番号の並びで、予定表に書いた数字だけでは確かめられません。

休日の午後、プリントの10ページから20ページまでを1回の学習で終える範囲として表計算シートの予定表へ書き込んだ場面はよくあります。範囲の欄には10ページから20ページまでと書かれていたのに、量の欄には10ページと入っていました。両端のうちの1枚が数え落とされていたため、終えるつもりだった範囲に1ページ分の穴が空きます。

量に書いたのは両端の差で、範囲は両端を数えたものです

取り違えの入口は、引き算の値が正しいのに、その値を量として使ってしまったところにあります。20から10を引いた10は、2つの番号の間の距離です。範囲に入るのは、始点から終点までの両端を含めた枚数のほうです。差の値には両端の1枚ずつが入っていないので、そのまま量へ書くと1枚分少なくなります。

範囲の欄だけを読むと、10ページから20ページまでと書かれていて、量の欄にも10ページとあります。両方を並べても矛盾したようには見えません。表計算シートに引き算の式を入力すると、その結果がそのまま量の欄へ入るのは、引き算の値を個数として扱う場面がふつうにあるからです。最初から個数を数えるつもりで式を書くのでなければ、離れた式と離れた数字が並びます。

図1のように、10から20までの並びには11個の点があります。隣り合う点の間が10つで、点そのものは11個です。端と端の距離を測る操作は間隔を数えることで、範囲に含まれるものを数える操作は点そのものを数えることです。同じ2つの番号から、どちらの数を手に取るかで答えが1つ変わります。

図1のように、点の数と点と点の間隔の数を並べて確かめると、この取り違えを早く見つけられます。

引き算の値そのものを嫌う必要はありません。両端を除いた枚数、つまり範囲の間の枚数を出したいときこそ差の値を使います。10から20の間の9枚は20から10を引いて9を出せばよいので、引き算は間隔を求める計算として働きます。問題は、差の値と個数を同じ欄へ置いてしまうことにあります。

差の値が正しいので、検算の一歩は計算の打ち間違いを探す検査になり、範囲の読み違いには使えません。数値は小さな値なので、1枚分のずれはすぐ気づけるという錯覚も残ります。気づけるかどうかは、並んだ数を見てからです。同じ数え方を2回やって同じ数字が出れば、その数字は根拠つきで記録に残せます。

引き算で済ませたくなる理由は、値が小さく、答えに見覚えがあるからです。10という値は、途中のどの2枚を数えても出てきそうな数字です。差の値は区間の長さで、枚数とは別の量です。まとめやすい番号の組合せ、たとえば10と20のような、を選びやすいプリントほど、この混同が起きやすくなります。

量に書いた数が少なくなると、範囲のいちばん最後に1枚分が残ります。最初は何も気づけないままに進み、最後のほうで余った紙にぶつかります。1枚分のずれが最後のほうにしか現れないことが、気づくタイミングを遅らせます。

元資料の端を読み直して個数を確かめる手順

予定表の数字を先に直すのではなく、元のプリントへ戻って端の番号を読み直すところから始めます。範囲の欄には10ページから20ページまでとあるため、この2つの番号が実際のどの紙に当たるかを確かめます。表紙や解答の別冊を範囲に入れるかどうかは、そのつど決めます。入れるか入れないかで個数が変わるので、決める前に枚数を数えないことにします。

日数を数える「勉強計画で開始日と終了日を両方数えるか—使える日を一日ずつ置く確かめ方」とは別件で、ページあたりの重さが違う話題とも混ぜずに、ここでは教材のページ数とその個数だけを確かめます。既存の「見積もりはなぜ外れるのか——計画錯誤を記録で直す」が扱う所要時間の予測とは分けて、ここでは時間の見積もりではなく個数の取り違えを直します。

手順は4段階です。図2のように、端の番号、列挙、式、記録の順に進めると、途中で止まった箇所がそのまま残ります。

図2のように、止まった段を残しておくと、次の日の続きから同じ手順で確かめ直せます。

1. 端の番号を読みます。10ページがどの紙で、20ページがどの紙かを、プリントそのものの数字で確かめます。読み違えた番号から式を作り始めると、あとで並べた数が合いません。読み取れた2つの数字は、式を作ったあとも照合できるよう書き残しておきます。
2. 番号を並べて数えます。10、11、12、…、20と一列に並べると、個数は11個です。並べ終えたあとに指で追って数え直すと、端の2個を含められているかが目で確認できます。頭の中で数えるより、紙に並べて指で追うほうが確実です。並べた列は、あとで読み返したときの証拠にもなります。
3. 差に1を足して、並べた数と突き合わせます。20から10を引いた10に1を足して11です。1を足すのは、始点と終点のどちらも範囲に入れるからです。端の2枚を数えた形になっていると、並べた数と式が一致します。列挙した11個と式の結果が一致すれば、この資料は両端を含めて数えられたことになります。両者が食い違うときは、資料のどれを範囲に入れていないかを疑います。式で決めた数と並べて確かめた数は、別々の数え方です。
4. 式の形をそのまま残します。式と量を並べて書くと、次に読み返す人が数値だけを見て判断せずに済みます。「20 − 10 + 1」という式は、量と数え方の両方を同時に示します。

途中で止まったときは、止まった段を書き込みます。ページ番号が資料に振られていない場合は、番号の並びとの照合はできません。枚数を一枚ずつ数えるか、綴じの順番と問題番号を手で確かめます。両面に問題番号が重なっているプリントでは、番号のない2枚が挟まっていないかを見ます。両端を数える手順は、番号のない紙があると止まります。やり直しは、列を残しておくと早く終わります。量だけを書き直して列を消すと、次に同じ範囲を数え直すときに一から並べ直すことになります。列と式を残した記録は、やり直しの土台としてそのまま使えます。

訂正したあとの再試行は、同じ資料でもう一度数え直すことです。直した記録を読み返して、端の2枚が数えられていることを確かめます。数字だけを直して根拠を残さないと、次に同じ範囲の数字を見たときに、推量が入ります。根拠を残しておくと、やり直すときの迷いが減ります。やり直した値は、書き直した跡がわかるように残しておきます。前の値と並べて残しておくと、同じ取り違えが次に起きたときに見つけやすくなります。

別の取り違えと、予定表へ戻して直す手順

範囲の数字を誤る原因は、引き算の値だけであっても、端の片方だけを含めても、番号の振られていない紙が挟まっていても起こります。

端の片方だけを含む誤りは、終点の20だけを見て20ページと書く取り違えと、始点の10だけを見て10ページと書く取り違えです。どちらも式が動いてしまうため、数字が合っていないことに気づけません。両端を数える手順では列挙が挟まるので、片方だけを書くことにはなりません。列挙した個数と式が食い違う時点で見つかります。

番号の欠番がある資料では、同じ並びを別のものとして数えてしまうことがあります。自作の例として、プリントQということにします。このプリントでは、10ページから20ページの間に、番号の振られていない2枚が挟まっています。振られている番号は10から12までと15から20までの9個です。実物の枚数は11枚です。式で求めた11枚は実物と一致しますが、番号だけを見ると9枚しか数えられません。数が一致したからと安心できるのは、個数と枚数を両方確かめたからです。

両面にページ番号が振られているプリントでは、紙の枚数とページ数がずれます。紙の枚数で数えた値と、ページ数で数えた値は別のものです。範囲を決めるときにどちらで数えるかを書いておくと、次に読み返す人が迷わずに済みます。

この例では、範囲のどこまでを数えるかを先に決めておくことも必要でした。補充のプリントが1枚混ざっていれば、10ページから20ページまでとしたときの実物の枚数は12枚になります。範囲に含める枚数を変えられる資料では、含める含めないの判断を先に書き、そのあとで個数を数え直します。

予定表へ書き写す段階でも同じ取り違えが起きます。範囲の欄に「10から20」と記したあと、隣の量の欄へ左の数だけを見て10と書く手順は、数え方を省いた計算です。記録へ写した数字は式が残っていないと検証できません。範囲の数字を量の欄へ移すのではなく、式を置いてから量を埋める手順にしておくと、この転記ミスが起きたときに見つけられます。範囲の欄を左から右へ一行ずつ読み、終点まで確認してから次の欄へ移ると、書き手が途中で欄をまたがことはありません。

予定表へ戻して直すのは、量の欄だけではありません。図3のように、範囲、式、量の三つの欄を並べて直します。範囲の欄は10から20ページと書き直し、式の欄には20 − 10 + 1を入れ、量の欄を11ページで埋め直します。順番は範囲、式、量の順で決めます。先に量を埋めてしまうと、次に式を見たときに、数え方と数が合わない理由が分からなくなります。

図3のように、範囲と式を先に残すと、量の欄は埋め直す作業ではなく、数え方が正しいかの確認の作業になります。

この順番で直す理由がもう1つあります。量の欄を空けてから入れ直せるからです。量だけを11ページへ書き換えて式を空のまま残すと、次に読み返す人が値を疑い直します。範囲と式が残っていれば、値を疑わずに済みます。自分で数え直した個数と式が食い違えば、予定表ではなく元のプリントに誤りがあります。

自分の記録へ戻すのは、根拠を残す作業でもあります。範囲、式、量、照合した枚数の順で並べて残しておくと、次に同じ範囲を読む人が矛盾の理由がすぐ分かります。矛盾の理由が分かれば、答えは元の資料のどこかにあります。

確かめの問題を2つ出します

問1です。43ページから61ページまでを終える範囲にしました。範囲に含まれるのは何ページでしょうか。

答えは19ページです。61から43を引いて18、端の1枚を加えて19枚です。43から61までを並べて数えても19個になり、3つの数え方が同じ数字に落ち着きます。並べた個数が19にならなかったときは、資料に挟まっている番号のない紙を数えていない可能性があります。

問2です。25ページから31ページまでなら、何ページでしょうか。

答えは7ページです。31から25を引いて6、端の1枚を加えて7ページです。ここでも、25から31までを並べて数えると7個になり、同じ数え方で同じ数字になります。

この2問は、資料に番号が連番で振られている場合の例です。番号の振られていない紙がある資料では、式で求めた個数と実物の枚数がずれることがあります。両方を確かめてから、自分の予定表へ書き戻すようにします。解答は並べた個数、式、理由の順に書きます。数字だけを残すと、次に自分で検算する手がかりが消えます。

個別指導で確かめる点

計画の表を一緒に開いて、範囲の欄と量の欄が別の読み方をされていないかを見ます。範囲は10ページから20ページまで、量は11ページと並ぶのを、本人に声に出して読んでもらうと、範囲を10ページと読み違えていないかどうかが分かります。

学校から配られたプリントなら、ページ番号の振られ方が教科書のものと同じかどうかを確認します。資料の作り方は教科によって違います。家庭の表と学校のプリントで番号の振られ方が違うときは、学校の資料に合わせて予定表を書き直します。学校のプリントが数える対象になります。

記録のしかたは話し合って決めます。範囲、式、量の三つの欄を持てるよう、記録表の形を一緒に整えます。欄の形が決まれば、中身は数え直した数字と式で埋めるだけになります。自分で表計算シートに10から20と入力して数えてみると、11と出ます。数字の入力を自分の手で確かめてから話すと、式の意味まで伝えられます。記録表を家族と一緒に使う場合は、数字の入力を家族にも確かめてもらうと、転記ミスが減ります。範囲を読み上げてから量を確認してもらう順番なら、誰が書いたかではなく、何を数えたかを確かめられます。

結び

両端の1枚は、範囲の一部です。予定表の欄を範囲、式、量の三つに分けて残しておけば、次に同じ範囲を読み返す人が、引き算の値と枚数を混ぜずに済みます。数え直した個数と式を並べて残しておくと、迷った人が机へ戻る先を見つけられます。両端を数えた値は、元の資料からしか確かめられないからです。値と数え方を並べて残した記録は、次の週にも使えます。