高校物理 電荷と電場—電荷の符号とベクトルの向きを分けて合成電場を求める｜武蔵野個別指導塾

負電荷の周囲の矢印と2つの点電荷による合成を、距離と向きからたどる電場の考え方です。

よくあるのは、負電荷の近くでも電場の矢印を電荷から外向きに描いてしまう場面です。正電荷の図を覚えたまま、符号が変わったことを見落とすと、その後の力の向きも逆になります。電場は、その場所に正の試験電荷を置いたと考えたときの力の向きで決めます。電場を作る電荷と、力を受ける電荷を分けて見れば、複数の電荷がある図も順に整理できます。

答案で問われる形

出方の1つは、2つの点電荷の間に働く力の大きさと向きを求める形です。電荷の符号から引力か斥力かを決め、距離をメートルに直してからクーロンの法則に入れます。大きさの計算には電荷の絶対値を使い、向きは別に図で確定すると符号の混乱を避けられます。

次は、ある点の電場を複数の電荷について求め、ベクトルとして足す形です。電荷同士の力を足すのではなく、指定された同じ点での電場をそれぞれ描きます。一直線上なら正方向を決めて符号つきで加え、直角に交わるなら成分ごとに加えます。さらに、その点に負の電荷を置いたときの力を問われたら、最後に電場と反対向きへ直します。

もう1つは導体が静電平衡に達した状態を説明する形です。自由に動ける電荷が動かなくなった後の導体内部の電場と、表面付近の電場の向きを区別します。ここでは電場と力を扱い、電位の計算には進みません。

電場の矢印は誰に働く力か

点電荷 Q と q の間隔を r、計算に用いる比例定数を k とすると、力の大きさは F = k|Qq|/r² です。| | は絶対値を表します。両電荷が同符号なら互いに遠ざけ合い、異符号なら互いに引き合います。互いが受ける力は大きさが等しく向きが反対です。距離を2倍にすれば力は1/4になり、電荷の一方の大きさを2倍にすれば力は2倍になります。

電場 E は、正の小さな試験電荷 q₀ を置いたときに受ける力 F を q₀ で割ったベクトルです。単位は N/C です。点電荷 Q から距離 r の点では、大きさは E = k|Q|/r² です。向きは Q が正なら Q から外向き、負なら Q に向かう向きです。試験電荷はもとの電荷の配置を変えないほど小さいと考えます。

図1のように、同じ右側の点でも、正電荷と負電荷では電場の向きが逆です。電場はその点の性質としてまず決まり、実際に置く電荷の符号で描き直すものではありません。電荷 q が受ける力はベクトルの式 F = qE で表されます。q が正なら電場と同方向、負なら反対方向で、大きさは |q|E です。

電気力線は各点での電場の向きを表す線です。正電荷から出て負電荷に入り、線の接線がその点の電場の向きです。力線の密なところほど電場が強く、途中で交わりません。交点では電場の向きが2つに決まってしまうためです。図1は向きを示す模式図で、線の本数から数値を読む図ではありません。

導体中には動ける電荷があります。静電平衡では導体内部の電場は0です。内部に電場が残れば自由電荷が力を受けて動き続けるからです。また表面のすぐ外側の電場は表面に垂直です。表面に沿う成分が残れば電荷が表面を移動するためです。導体内部に電場が0という条件は、導体の外側でも0という意味ではありません。空洞のある導体では空洞内の電荷などの条件も確認します。

電場の重ね合わせでは、各電荷が他の電荷に邪魔されずに作る電場を求め、そのベクトルを足します。右向きと上向きのように直角な矢印なら、横成分と縦成分を別々に合計します。斜めの矢印は、電荷から指定点へ引いた線でできる直角三角形を使って成分に分けます。横の長さを斜辺で割った比を電場の大きさに掛けると横成分の大きさになり、縦も同様です。向きに応じて各成分に符号を付けます。

電場が0かどうかを調べる際は、大きさの等式を立てる前に向きを調べます。同方向の矢印は、どれほど大きさが近くても打ち消し合いません。反対向きなら大きさが等しいときに0です。0になる位置では、そこにどの符号の小電荷を置いても電気力は0ですが、各電荷が作る電場自体がそれぞれ消えたわけではありません。互いに反対向きの寄与が合計で消えています。

単位の換算も図と同じ段階で書きます。μC は 10⁻⁶ C なので、マイクロの数値をそのまま C として式に入れると大きさが大きく違います。距離を cm で与えられた場合は 100 cm = 1 m を用いて m に直し、その値を2乗します。計算結果の向きは単位からは判断できないため、数値が出た後も矢印を必ず添えます。式と図を照らして確かめます。

一直線上で足す基本例題

真空中で、点 A に +2.0 μC、点 B に -1.0 μC の点電荷を固定し、AB 間を 0.30 m とします。A から B へ向かう右向きを正とし、AB の中点 P の電場と、そこに置いた -2.0 μC の小さな電荷が受ける力を求めてください。計算用に k = 9.0 × 10⁹ N m²/C² とします。答えは有効数字2桁で、大きさ、単位、左右の向きを示してください。置いた小電荷は元の配置を変えないものとします。

図2のように、P では正の A からの電場は A から離れる右向き、負の B からの電場は B に近づく右向きです。距離はそれぞれ 0.15 m です。まず μC を C に直し、2.0 μC = 2.0 × 10⁻⁶ C、1.0 μC = 1.0 × 10⁻⁶ C とします。

A による電場の大きさは、

E_A = (9.0 × 10⁹)(2.0 × 10⁻⁶)/(0.15)²

= 1.8 × 10⁴/0.0225 = 8.0 × 10⁵ N/C です。

同様に B による電場の大きさは、

E_B = (9.0 × 10⁹)(1.0 × 10⁻⁶)/(0.15)²

= 9.0 × 10³/0.0225 = 4.0 × 10⁵ N/C です。

どちらも正方向なので、E = E_A + E_B = 1.2 × 10⁶ N/C、右向きです。小電荷が受ける力の大きさは |q|E = (2.0 × 10⁻⁶)(1.2 × 10⁶) = 2.4 N です。小電荷が負なので向きは電場と反対の左です。

条件に戻しても、負の小電荷は正の A に引かれ、負の B から押されます。両方とも左向きなので、求めた力の向きと一致します。電場と力の矢印を同じ色や同じ記号で一度に描くと混同しやすいため、電場の合成が済んでから力を描き加えます。

電場が0になる位置の分かれ目

真空中の一直線上で、左の A に +1.0 μC、右の B に +4.0 μC を固定し、間隔を 0.30 m とします。2電荷以外の位置で電場が0になる点を求めてください。k = 9.0 × 10⁹ N m²/C² とし、位置は A から右向きの距離を有効数字2桁の m で答えます。

A の左では両方の電場が左向き、B の右では両方が右向きです。どちらも打ち消せません。A と B の間では A による電場が右、B による電場が左を向くので、ここで初めて大きさを等しく置けます。A からの距離を x m とすると B からは (0.30 − x) m で、0 < x < 0.30 です。

k(1.0 × 10⁻⁶)/x² = k(4.0 × 10⁻⁶)/(0.30 − x)²

両辺の共通因子を消し、正の距離の平方根を取ると、

1/x = 2/(0.30 − x)

0.30 − x = 2x、したがって x = 0.10 m です。A から右へ 0.10 m の点が答えです。そこでは B までの距離が 0.20 m で、電荷の大きさが4倍でも距離の2乗が4倍なので、2つの電場の大きさは等しく向きは反対です。

同符号と異符号では、電荷の間の矢印の関係が変わります。異符号なら間では両電場が同方向なので0になりません。外側を調べるときは、それぞれの電荷までの距離を別々に表し、計算した位置が最初に仮定した領域に入るか戻して確かめます。式の解が出ても、領域外ならその領域の答えにはできません。

逆向きに描いた答案を直す

負の点電荷の右側にある P について、「電場は電荷から遠ざかる右向き」とした答案を考えます。これは正電荷についての向きを、電荷の符号を確認せずに使った誤りです。P に正の試験電荷を置くと負電荷に引かれるので、図3のように電場は左向きです。

図3では、実際に置く電荷も負の場合を重ねて示しています。負の電荷は負電荷から反発されるので力は右向きです。力が右向きだからといって電場まで右向きに変えてはいけません。電場を作る側の符号で電場を決め、その後に力を受ける側の符号で力の向きを決めます。

別の失敗は、反対向きの2つの電場を大きさのまま足すことです。たとえば右を正に選んだら、左向きの成分にはマイナスを付けます。合計が負になれば左向きと読み直します。距離が等しくない場合は電荷の大小だけで優劣を決めず、距離の2乗まで計算します。途中で向きが不明になったら、各電荷からその点に向かう線と、正の試験電荷への引力・斥力に戻ります。

手を動かして確かめる

以下はすべて真空中の固定された点電荷で、k = 9.0 × 10⁹ N m²/C² を計算用に用います。小電荷は元の配置を変えません。答えは有効数字2桁とし、向きがある量は向きも示してください。

1. +3.0 μC と +2.0 μC を 0.30 m 離して固定します。各電荷が受ける力の大きさと、相手に対する向きを求めてください。
2. -4.0 μC の点電荷の右 0.20 m の点に、+3.0 μC の小電荷を置きます。その点の電場と小電荷が受ける力を求めてください。
3. 左に +1.0 μC、右に +9.0 μC を 0.40 m 離して固定します。2電荷以外で電場が0になる点を、左の電荷からの距離と向きで答えてください。
4. 原点に +1.0 μC を固定します。その右 0.30 m、上 0.40 m の点 P における電場を、右向き成分と上向き成分、合成の大きさで答えてください。

答えとたどり方

1. 大きさは (9.0 × 10⁹)(3.0 × 10⁻⁶)(2.0 × 10⁻⁶)/(0.30)² = 0.60 N です。同符号なので各電荷は相手から遠ざかる向きに 0.60 N を受けます。互いの力は大きさが等しく逆向きで、与えた間隔を使って両方に同じ式を適用できます。

2. 電場の大きさは (9.0 × 10⁹)(4.0 × 10⁻⁶)/(0.20)² = 9.0 × 10⁵ N/C です。負電荷に向かう左向きです。正の小電荷の力は (3.0 × 10⁻⁶)(9.0 × 10⁵) = 2.7 N、左向きです。異符号の電荷間に引力が働くことと、位置を元の図に戻した向きが一致します。

3. 外側では電場が同方向なので、0になる点は2電荷の間です。左から x m とすると 1.0/x² = 9.0/(0.40 − x)² です。距離は正なので 0.40 − x = 3x、x = 0.10 m です。左から右へ 0.10 m が答えです。右まで 0.30 m と戻すと距離は3倍、電荷は9倍で、逆向きの電場の大きさが等しくなります。

4. 原点から P までの距離は、直角三角形より √(0.30² + 0.40²) = 0.50 m です。電場の大きさは (9.0 × 10⁹)(1.0 × 10⁻⁶)/(0.50)² = 3.6 × 10⁴ N/C です。正電荷から P へ向くため、右成分は (3.6 × 10⁴)(0.30/0.50) = 2.2 × 10⁴ N/C、上成分は (3.6 × 10⁴)(0.40/0.50) = 2.9 × 10⁴ N/C です。成分は最後に丸めました。丸める前の成分の比は 3 : 4 で、P の位置の方向と一致します。

答案に残す要点

• 電場は正の試験電荷が受ける力の向きです。
• 電荷ごとの電場を同じ点で描き、成分を足します。
• 負の電荷に働く力は電場と反対向きです。
• 静電平衡の導体内部では電場は0です。

どこで向きが変わったかを見る

答えが逆になったときは、まず各電荷から指定点までの矢印を答案に戻してみてください。電場の段階で逆なら、正の試験電荷への引力と斥力から描き直します。電場は正しいのに力が逆なら、力を受ける電荷の符号を式 F = qE に戻して確認します。

個別指導で確かめるなら、本人に電場を作る電荷と力を受ける電荷を指し示してもらい、距離の取り方と正方向を説明してもらいます。数式の値が合っていても、電荷間の距離と指定点までの距離を取り違えていないか図と照合します。矢印の理由を言葉にできれば、配置が変わっても電場を組み立て直せます。