高校物理 光の干渉と回折—光路差と反射の位相差を分けて明暗の条件を立てる｜武蔵野個別指導塾

ヤングの明線位置と薄膜の膜厚を計算し、光路差と反射の半周期のずれを合わせます。くさび形の空気層で隣接する暗線の厚さがどう変わるかも追います。

よくあるのは、薄い膜の表と裏で反射した光について、膜内の往復距離だけを見て明線とする場面です。2つの光が同じ位相で戻るかどうかは、進む距離だけでは決まりません。反射で波の位相が反転した回数も調べます。距離によるずれと反射によるずれを別々に記録すると、明暗を取り違えた箇所を答案から探せます。

答案で問われる3つの型

細い2つのすき間を通った光がスクリーン上で重なる問題では、中央からの位置と縞の間隔を求めます。まず2本の道のりの差を表し、それが波長の何倍なら強め合うかを考えます。図からすぐに公式を書くのではなく、近似が成り立つ配置かどうかを確認します。

多数のすき間が等間隔に並ぶ回折格子では、ある方向に隣同士の光が同位相で届く条件を使います。角度が大きい場合は正弦をそのまま残し、小角近似を勝手に使わないことが重要です。何次の明線まで存在するかは、正弦の値が取り得る範囲から判定します。

薄膜やくさび形の空気層では、上面と下面で反射した光を比べます。膜内を往復する間の位相の変化に、各境界での反射による位相反転を加えます。反射光と透過光を混同せず、どの2本を観測するかを問題文に印します。

長さと位相を別の欄に置く

同じ振動数の光が一定の位相関係を保って重なると、振動が強め合う場所と弱め合う場所ができます。波長を λ とすると、同位相で出た2つの光が同じ媒質を進み、経路差が整数倍の λ なら位相がそろいます。半波長の奇数倍なら山と谷が重なります。ここでの差は長い経路から短い経路を引いた正の値です。

媒質が違う道を比べるときには、幾何学的な距離そのものではなく、屈折率 n と距離 l の積 nl を光路長として使います。真空中の波長を λ₀ とすれば、媒質中の波長は λ₀/n です。したがって、光路長の差を λ₀ と比べる方法と、同じ媒質内の距離差をその媒質中の波長と比べる方法は一致します。単位はどちらも長さです。

図1のように、薄膜の上面で反射する光と、膜内を往復して下面で反射する光を考えます。図は垂直入射の模式図で、斜め入射の経路を表していません。空気から屈折率 n の膜に進む境界では、屈折率の小さい側から大きい側への反射で位相が半周期ずれます。一方、膜から空気へ向かう下面の反射では、その反転はありません。

図1の2本には、膜の厚さを t として光路長の差 2nt があり、さらに反射で半周期の差がつきます。よって反射光が強め合うのは 2nt = (m + 1/2)λ₀、弱め合うのは 2nt = mλ₀ です。m は0以上の整数です。この条件は膜の両側が空気で、上面の反射だけが反転する場合のものです。下面の先に別の媒質があれば、その境界の反射も数え直します。

くさび形の空気層は、空気より屈折率の大きい2枚の透明な板で挟んで考えます。上の板から空気層へ向かう光の反射では位相は反転せず、空気層から下の板へ向かう光の反射では半周期ずれます。反転の回数差はやはり1回なので、垂直入射の反射光の明暗条件は同じ形です。ただし空気層の屈折率は1として扱います。厚さが場所によってゆっくり変わるくさびでは、各位置の局所的な厚さで考え、隣り合う同種の縞の厚さの差は λ₀/(2n) です。

回折格子では、隣り合うすき間から出た光の経路差が d sinθ になる方向を考えます。垂直に入射する光が各すき間に同位相で届くなら、d sinθ = mλ が主な明線の条件です。m = 0 は正面、正負の次数は正面の両側に対応します。多数の光がそろう方向は明るく鋭い縞になります。入射が垂直でない場合は、入射時に生じるすき間間の位相差も必要で、この式をそのまま適用できません。

一方、ヤングの実験の縞間隔はスクリーン上の距離です。回折格子で求める角度とは量が違います。角度から位置への変換にはスクリーンとの幾何関係が必要で、中央付近以外では x = L tanθ を使います。sinθ と tanθ を同じに置くのは角度が十分小さい場合の近似です。問題の図にスクリーンがなく角度を求めるだけなら、距離 L を持ち込む必要はありません。

くさびの縞は等しい厚さを結ぶ位置にできます。隣接する明線も暗線も、それぞれ光路差が1波長増えるごとに現れます。縞の間隔を長さで求めるには、厚さが横方向にどう増えるかという幾何条件が別に必要です。厚さの差だけから、板に沿った距離まで決めることはできません。

基本例題：2つのすき間から縞を測る

同位相の単色光が、間隔 d = 0.50 mm の2つの細いすき間を通ります。すき間からスクリーンまでの距離は L = 2.0 m、空気中の波長は λ = 500 nm です。中央の明線から片側へ数えた3次の明線の位置 x と、隣り合う明線の間隔を mm で求めてください。スクリーンはすき間の並びに平行で、d と x は L に比べ十分小さいものとします。答えは小数で表します。

図2のように中央からの角を θ とすると、2つの光の経路差は小角の条件でおよそ d sinθ です。さらに sinθ と tanθ はともにおよそ x/L なので、経路差は dx/L と近似できます。中央では経路差が0で、左右対称に同じ順の縞ができます。以下は中央から片側の距離を計算します。

図2では、すき間間隔とスクリーン上の位置を見やすく描いており、縮尺は一致しません。3次の明線は経路差が 3λ の位置です。したがって

dx/L = 3λ

x = 3λL/d

です。まず単位を m にそろえると、d = 5.0 × 10⁻⁴ m、λ = 5.0 × 10⁻⁷ m です。これを代入します。

x = 3 × (5.0 × 10⁻⁷) × 2.0 / (5.0 × 10⁻⁴)

x = 6.0 × 10⁻³ m = 6.0 mm

隣り合う明線では次数が1だけ増えるので、間隔は λL/d = 2.0 × 10⁻³ m = 2.0 mm です。逆に x = 6.0 mm を経路差に戻すと、dx/L = 1.5 × 10⁻⁶ m = 3λ です。求めた点は確かに3次の条件を満たします。また x/L = 0.003、d/L = 0.00025 なので、この配置で用いた小角近似と整合します。

暗線を聞かれた場合は、明線の式の次数をそのまま流用しません。中央から最初の暗線は経路差が λ/2 の場所です。どの明線や暗線を何番目と呼ぶかを先に書くと、中央を数に入れるかどうかで迷いにくくなります。

膜の下にある物質で条件が変わる

空気中に屈折率 1.5 の透明な膜を置き、真空中の波長が 600 nm の単色光を垂直に当てます。膜の両側は空気で、上面と下面で1回ずつ反射した2光線を考えます。厚さ t が 0 < t < 500 nm の範囲で、反射光が強め合う厚さをすべて nm の整数で求めてください。吸収は無視し、膜は一様とします。

上面は低屈折率側から高屈折率側への反射なので位相が反転し、下面では反転しません。膜内の往復による光路差は 2 × 1.5 × t = 3t です。反射による半周期の差を補うには、往復でも半波長の奇数倍だけずれる必要があります。よって

3t = (m + 1/2) × 600 nm

t = (m + 1/2) × 200 nm

となります。m = 0, 1, 2 では順に 100 nm、300 nm、500 nm ですが、上端の 500 nm は条件に含まれません。答えは 100 nm と 300 nm です。それぞれ光路差は 300 nm と 900 nm で、波長の 1/2 倍と 3/2 倍に戻ります。反射の半周期差を加えると、いずれも整数周期の差です。

ここで膜の下側が、膜より屈折率の大きな媒質に変わった場合を考えます。上面と下面の両方で位相が反転するので、反射による相対的な位相差は0です。この場合の強め合いは 2nt = mλ₀ となり、先ほどの条件を使えません。境界ごとに入射側と相手側を比べることが分かれ目です。膜内の波長を用いるなら往復距離 2t を λ₀/n と比較し、屈折率をもう一度掛けないようにします。

位相を落とした答案の直し方

空気中の薄膜について「往復の光路差が1波長だから反射光は明るい」と答えるとします。距離による位相差の計算は合っていますが、上面での反転を数えていません。実際には距離で1周期、反射でさらに半周期ずれるため、2光線は弱め合います。

図3のように、距離の欄と反射の欄を分けてから合わせます。光路差が λ₀ の行では、反射による半周期を加えると合計は 1.5 周期です。光路差が λ₀/2 の行なら合計は1周期です。図3は空気・膜・空気の順で垂直に入射する場合です。

別の誤りは、格子の明線で sinθ が1を超えても次数を採用することです。式に整数を入れる前に、実在する角度かを確認します。また、光路長の差を真空中の波長と比べる際に、膜内波長でさらに割ると屈折率を二重に数えます。何を長さの単位にしたか、式の横に書いて修正してください。

自分で解く4問

各問の光は単色で、指定した2光線または格子からの光は干渉できるものとします。計算に使う値は各問の条件です。長さは指定された単位に直し、近似が指定されたときだけ使ってください。

1. ヤングの実験で、すき間間隔 0.40 mm、スクリーンまで 1.2 m、空気中の波長 400 nm とします。小角近似が成り立つとして、中央から片側の2次の明線までの距離を mm の小数で求めてください。
2. 空気中の回折格子の隣り合うすき間の間隔は 2.0 μm、入射光は格子に垂直で波長は 500 nm です。明線について d sinθ = mλ を用い、片側で存在する最大次数を整数で求めてください。θ = 90° も数学上は条件に含めます。
3. 空気・屈折率 2.0 の膜・空気の順に、真空中の波長 800 nm の光を垂直入射します。上下面で反射した2光線について、0 < t < 500 nm で最も薄い明線の膜厚を nm の整数で求めてください。
4. 空気中の2枚の板の間に、薄いくさび形の空気層があります。板の屈折率はいずれも空気より大きく、真空中の波長は 600 nm です。ほぼ垂直に入射し、空気層の上下で反射した2光線を観測します。厚さが十分ゆっくり変わるとして、隣り合う暗線の位置での空気層の厚さの差を nm の整数で求めてください。

練習の答えと道筋

1. 明線の条件は dx/L = mλ です。d = 4.0 × 10⁻⁴ m、λ = 4.0 × 10⁻⁷ m、m = 2 を代入すると、x = 2 × 4.0 × 10⁻⁷ × 1.2 / (4.0 × 10⁻⁴) = 2.4 × 10⁻³ m です。答えは 2.4 mm です。これを戻すと dx/L = 8.0 × 10⁻⁷ m で、波長の2倍です。x/L = 0.002 なので小角の条件にも合います。

2. sinθ = mλ/d = m/4 です。正の側で sinθ は1以下なので、m は4以下です。最大次数は4次です。4を戻すと sinθ = 1 となり、問題の条件では端の方向も含まれます。5なら sinθ = 1.25 となり、対応する実数の角度がありません。実際に端の方向を観測できるかは配置にもよりますが、ここでは問題の条件に従います。

3. 上面だけで反射の位相が反転します。最も薄い正の明線は 2nt = λ₀/2 を満たすので、4t = 400 nm、t = 100 nm です。戻すと光路差は 400 nm で、反射の半周期差を加えて1周期になります。500 nm より薄いという範囲も満たします。

4. 空気層の上側では反転せず、下側で反転します。暗線は 2t = mλ₀ ですから、隣接する暗線では厚さが λ₀/2 だけ増えます。答えは 300 nm です。厚さがその分増えると往復の光路差は600 nm増え、位相が1周期進むため、次の暗線に戻ります。板と板が接する厚さ0も、この理想化した条件では暗線です。

手元に残す要点

• 経路差を同じ媒質の波長と比べ、異なる媒質では光路長を使います。
• ヤングの縞位置には、配置を確認してから小角近似を使います。
• 反射の位相反転は境界ごとに数え、経路によるずれと合わせます。
• 回折格子の次数は sinθ の範囲でも確かめます。

どこで迷ったかを答案から探す

学校のノートで、波長が真空中の値か媒質中の値かに印をつけてみてください。縞の位置を間違えた答案では、経路差を書いた行と次数を代入した行を分けて確認します。中央を0次として数えたか、単位をそろえたかも見直せます。

薄膜の答えが明暗逆なら、各反射の入射側と相手側を口に出して比較します。個別指導で確認するなら、膜の下の媒質を変えたとき、反転の回数と式がどう変わるかを本人の図と説明で追います。経路と反射を分けた記録が、光の干渉の判断を支えます。