中3数学 関数y=ax²の比例定数—二乗に比例する条件を表と式で照合する｜武蔵野個別指導塾

表の値と原点を手がかりに、点から式を求める条件と有限の表からは決まらない理由をたどる比例定数です。

よくあるのは、表の一組の値だけで比例関係を断定する場面です。例えば、xが2のときyが8なら、8を2の二乗で割って2を得られます。しかし、この計算が示すのは、その一組がy=2x²に合うということです。他のxでも同じ式が成り立つかは、もとの条件を読まなければ決まりません。表に書かれた値を使う計算と、表にない値にも及ぶ判断を分けて考えます。

表、点、条件の3つの問い

この関数の比例定数を扱う問いには、いくつかの入口があります。1つ目は、yがxの二乗に比例するという条件と1組の値が与えられ、式を求める問いです。0でないxを代入すれば比例定数を求められます。求めた式を、もとの値へ戻して照合します。

2つ目は、複数の値が並んだ表を調べる問いです。0でない各xについてyをx²で割り、商が共通かを見ます。違う商が1つでもあれば、同じ比例定数では表せません。一方、見えている商が一致しても、表にない値の関係は別途与えられる必要があります。

3つ目は、座標が条件を満たすか、または条件だけで式が決まるかを問う形です。原点はどのy=ax²にも含まれるため、原点を通るという条件だけではaを決められません。計算の前に「比例することが与えられたか」「0でないxがあるか」を確かめることが到達点です。

二乗と商の役割

関数y=ax²では、xの値を二乗し、それに一定の数aをかけてyを求めます。この一定の数が比例定数です。ここではaは0でない数とします。aが正なら0でないxに対するyは正、aが負なら負です。xが正でも負でもx²は正なので、符号を決めるのはaです。

図1のように、xからyへの計算は「二乗してからaをかける」という順です。xが0でないときは、逆にyをx²で割ればaを取り出せます。例えばx=-3、y=18なら、x²=9なのでa=18/9=2です。負のxのまま割って-6とするのではなく、分母に二乗を置きます。

図1の矢印を逆にたどる割り算は、x²が0でない場合に限ります。x=0なら式はy=a・0²=0です。したがって原点は式と矛盾しませんが、0/0という商からaを求めることはできません。反対に、x=0でyが0でない値が与えられれば、どんなaでもこの関係は成り立ちません。

また、y/xが一定であることと、y/x²が一定であることは別の条件です。xを2倍にしたとき、二乗に比例するyは4倍になります。ただし1組だけでこの性質を全体に広げてはいけません。表の各列を調べる作業は、与えられた値と候補の式が食い違わないかの点検です。関係がすべての対象のxで成り立つ保証とは区別します。

表を使うときは、まずxの行とyの行を縦に対応させます。次に0でないxの列ごとに二乗と商を書けば、どの列で食い違ったかが見えます。0の列は商を空欄にして、yが0かどうかを別に確かめます。例えば候補が負なのに正のyが並んでいれば、符号の時点で矛盾に気づけますが、符号が合うだけでは数値まで一致したとは言えません。

比例の条件がなく、表に1組しかない場合も同じです。その組に合う式は候補として作れますが、別の値を与える規則を除く材料はありません。問題が「候補を求める」のか「関係を断定する」のかを読み分け、結論の範囲を答えに含めます。

点から式を決める

基本例題

yはxの二乗に比例し、x=-2のときy=12です。比例定数と関数の式を求め、x=3のときのyを整数で答えてください。

比例する条件があるので、まずy=ax²と置けます。図2のように、与えられた点のxとyをそれぞれ代入します。負の数は括弧に入れて二乗するのが要点です。

12=a・(-2)²
12=4a
a=3

よって式はy=3x²です。図2の計算では、4が0でないため両辺を4で割れます。求めた3を元の条件に戻すと、3・(-2)²=3・4=12で、与えられたyに一致します。

次にx=3を代入します。

y=3・3²
y=3・9
y=27

答えは比例定数3、式y=3x²、求める値27です。x=3のときx²は9で、その3倍が27なので、式の意味からも確かめられます。xとyの両方が3倍になると考えると、二乗を見落としてしまいます。

標準例題

yはxの二乗に比例し、点(4, -6)を通ります。比例定数を分数で表して式を求め、点(-2, -3/2)がその式を満たすか判断してください。

点(4, -6)はx=4、y=-6を表します。比例する条件からy=ax²と置き、座標を代入します。

-6=a・4²
-6=16a
a=-6/16
a=-3/8

式はy=-(3/8)x²です。元の点に戻すと、-(3/8)・16=-6となります。次に調べる点のx=-2を式に入れます。

y=-(3/8)・(-2)²
y=-(3/8)・4
y=-3/2

指定された点のy座標と一致するので、この点は式を満たします。符号はaに由来し、(-2)²は4です。商の比較でも、-6/16=-3/8、(-3/2)/4=-3/8となり、2点は同じ候補の式に合います。ただし、この2点が一致したことだけを根拠に、未知の関係が全域で二乗に比例すると言うことはできません。この問題では最初に比例するという条件が与えられているので、1点から式を決められます。

表が一致しても残る分かれ目

発展例題

ある関数について、x=-1、0、1のとき、順にy=2、0、2であることがわかっています。この3組に合うy=ax²の比例定数を整数で求めてください。また、この表だけから、x=2のときのyが必ず8と決まるか説明してください。続いて、同じ表に加え、yがxの二乗に比例するという条件も与えられた場合のx=2の値を整数で求めてください。

候補の式をy=ax²とすると、x=1、y=2を代入して2=a・1²、よってa=2です。x=-1でも2=2・(-1)²、x=0でも0=2・0²となり、3組はいずれもy=2x²に合います。したがって候補の比例定数は2です。

しかし表だけなら、x=2の値は必ずしも8ではありません。反例として、次の関係を考えます。

y=2x²+x(x-1)(x+1)

x=-1、0、1のそれぞれでは、後ろの積に0になる因数があるため、追加された部分は0です。3組は元の表と一致します。一方、x=2ではy=2・2²+2・1・3=14です。y=2x²の場合の8とは異なるので、有限の表だけではx=2の値は決まりません。この反例は「3組に合う」ことと「いつも同じ式に従う」ことの差を示します。

比例するという条件を追加した場合は別です。x=1の値からa=2と決まり、その条件が対象のx全体に適用されるので、x=2でy=2・2²=8です。8を元の式へ戻すと8=2・4となり、条件に合います。表の各列で商を調べる方法と、1列を代入する方法は、与条件が比例を保証しているときに同じaに到達します。保証がない場合は、商の一致は候補を支持する情報にとどまります。

間違えた行から戻る

図3のように、基本例題の値から12/(-2)=-6としてa=-6とする答えを考えます。誤りの原因は、yをxで割ったことです。関係はy=ax²なので、割る相手はxではなくx²です。(-2)²=4を先に書けば、12/4=3と直せます。

図3の誤ったa=-6を元へ戻すと、y=-6・(-2)²=-24です。与えられた12に戻らないため、代入によって誤りを発見できます。答えが出た直後に符号だけを見るのではなく、元の座標の両方を式に入れて確認します。

別の誤答は、原点(0, 0)からa=0と決めることです。0=a・0²は、許されるどのaでも成り立ちます。例えばa=1でもa=-2でも原点を通るので、この情報では区別できません。さらにa=0は、ここで扱うaが0でないという条件にも合いません。原点以外の点が与えられたら、その点を使い直します。

もう1つは、表の商がそろったことから無条件に関係全体を断定する誤りです。発展例題の2つの式は3組で同じ値を出しながら、x=2で異なります。逆に、表の0でないxの列に異なる商があれば、その時点で共通のaは存在しません。一致と不一致では結論の強さが違います。x=0の列も、yが0かどうかの確認には使えますが、割り算には使えません。

自分で条件を見分ける5問

次の問題の数は練習のために作ったものです。比例定数や値は整数または分数で、式はy=ax²の形で答えてください。判断を求める問題では理由も書きます。

1. yはxの二乗に比例し、x=5のときy=15です。比例定数と式を求め、x=-10のときのyを求めてください。
2. yはxの二乗に比例し、点(-4, -8)を通ります。式を求め、点(6, -18)が式を満たすか判断してください。
3. 表のxが-2、0、3に対し、yが-12、0、-27です。この3組に合うy=ax²のaを求めてください。表だけで、他のすべてのxについて比例すると断定できるかも説明してください。
4. yはxの二乗に比例し、点(0, 0)を通ります。この条件だけで比例定数が決まるか、異なる2つの式を挙げて説明してください。
5. 表のxが1、2、-3に対し、yが4、16、-36です。これらの組を共通のaを用いたy=ax²で表せるか、各組を調べて判断してください。

5問の答えと照合

1. 15=25aよりa=3/5、式はy=(3/5)x²です。x=-10ではy=(3/5)・100=60です。元のx=5では(3/5)・25=15、x=-10では二乗100の3/5が60となり、どちらも条件に戻ります。xが5から-10になり、二乗が25から100に4倍になったことも一致します。

2. -8=16aよりa=-1/2、式はy=-(1/2)x²です。x=6を入れるとy=-(1/2)・36=-18なので、点(6, -18)は式を満たします。元の点でも-(1/2)・(-4)²=-8です。2点とも座標をそれぞれ式へ戻し、片方だけの照合で終えないようにします。

3. 0でない列では-12/4=-3、-27/9=-3です。0の列もy=0なので、3組に合うaは-3です。ただし表だけでは他の値を決められません。例えばy=-3x²とy=-3x²+x(x+2)(x-3)は、この3つのxで同じ値をとりますが、x=1ではそれぞれ-3と-9です。2つの関係が同じ表を作れるため、比例を断定できません。

4. 決まりません。y=x²とy=-4x²はどちらもaが0でなく、x=0でy=0です。2つの比例定数1と-4は異なるのに、指定された点は両式を満たします。0以外のxと対応するyがさらに与えられれば、その二乗で割って候補を決められます。

5. 各商は順に4/1=4、16/4=4、-36/9=-4です。最後の商が異なるので、共通のaでは表せません。最初の組からa=4とすると、x=-3ではy=4・9=36となり、指定された-36に戻りません。2組が合っていても残りの組が合わなければ、その表全体には使えません。

手元に残す要点

• 比例する条件があれば、0でないxの組からa=y/x²を求めます。
• x=0ではy=0ですが、0/0からaは決まりません。
• 商の不一致は反例になり、一致は表の外までの保証にはなりません。
• 求めた式に元の座標を代入し、与えられた値へ戻します。

答案のどこを見るか

お子さまが式を立てられないときは、まず問題文に「二乗に比例する」という条件があるかを一緒に確かめます。条件があればy=ax²と置いた行、なければ表の範囲に限って候補を考えた行を見ます。数値が合わないときは、負のxを括弧に入れて二乗したか、割る数がx²かをたどります。

個別指導で確かめる箇所は、正答だけでなく、原点からaを決めようとしていないか、表の一致からどこまで言えると書いたかです。別のxで違う値をとる関係を1つ作れると、条件の不足を言葉で説明しやすくなります。比例定数は、計算とその計算を使える条件を結びつけて捉えます。