中3数学 二次方程式の文章題—長さと面積の条件を立式して解を場面へ戻す｜武蔵野個別指導塾

額縁の幅を両側に加減して式を作り、求めた内外の寸法から面積差を復元して、場面に合う解を判定します。

よくあるのは、額縁の幅を片側にしか加えず、外側の長さを作ってしまう場面です。絵の左右に同じ幅の枠があるとき、横の長さは幅の2倍だけ増えます。式を解く前に、どの長方形の寸法かを図に書き分けましょう。求めた幅が方程式を満たしても、実際に額縁を作れるとは限りません。最後は寸法と面積を元に戻します。

額縁の条件はどこに現れるか

文章題には、内側の縦横と枠の面積から幅を求める型、外側の縦横と枠の面積から幅を求める型があります。前者では両側に幅を足し、後者では両側から幅を引きます。もう一つは、幅によって内側が消えてしまう候補を除く型です。どの場合も、面積差が外側から内側を引いたものだと読み取るところから始まります。

到達点は、答えの数値を出すことに加えて、文字の範囲を説明し、内外の辺と面積差を復元できることです。正しい式でも途中の計算で間違えることがあり、逆に計算が正しくても式が図に合わないことがあります。別々の段階として見直すと、誤りの場所を探しやすくなります。

額縁は平面上の長方形の枠とし、四辺の幅は等しいものとします。厚みや接合部分は考えません。ここでは長さと面積を二次方程式につなぐことに絞り、個数や整数の条件は扱いません。

内側、外側、幅を対応させる

内側の縦をa cm、横をb cm、枠の幅をx cmとします。図1のように、縦には上と下、横には左と右にそれぞれx cmが加わります。したがって外側の縦はa + 2x cm、横はb + 2x cmです。aとbは正で、実際の枠にはx > 0が必要です。

図1では淡い部分が枠です。外側全体の面積は(a + 2x)(b + 2x) cm²、内側の面積はab cm²ですから、枠の面積はその差になります。外側の面積に内側の面積が含まれているので、足すのではなく引きます。

枠の面積 = (a + 2x)(b + 2x) - ab
         = ab + 2ax + 2bx + 4x² - ab
         = 2ax + 2bx + 4x²

最後の式は、縦の両側にある細長い部分の合計2ax、横の両側の合計2bx、4つの角の正方形の合計4x²にも対応します。角を数え忘れると面積が足りません。この分け方と外側から内側を引く方法は、同じ枠を重なりなく数える2通りの方法です。両者が一致することを立式の点検に使えます。

反対に、外側の縦をA cm、横をB cmと決めたときは、内側の寸法がA − 2x、B − 2xになります。幅は正であり、内側の縦横も正でなければならないので、x > 0、A − 2x > 0、B − 2x > 0です。たとえば外側が縦10 cm、横14 cmなら、幅は0より大きく5 cmより小さい範囲です。5 cmでは内側の縦が0になり、長方形の穴が残りません。

幅が同じでも、内側を基準にするか外側を基準にするかで足し算と引き算が変わります。辺に付けた名前と式の単位を見比べ、面積を表す式には縦と横の2つの長さが掛かっているかも確認しましょう。

面積の式は幅の二乗を含むため、整理すると二次方程式になることがあります。方程式の解は数としての候補です。長さに負の値を使えないことや、内側が残ることは、元の場面に戻って判定します。

基本：内側から外側を作る

【基本例題】内側が縦6 cm、横10 cmの長方形の絵の周囲に、幅が一様な長方形の額縁を付けます。枠の面積が72 cm²のとき、幅と外側の縦横をcm単位で、正確な根号を使って答えてください。

図2のように、幅をx cmとすると外側は縦6 + 2x cm、横10 + 2x cmです。内側は6 × 10 = 60 cm²です。外側の面積から60を引くと72になるので、次のように式を作ります。

(6 + 2x)(10 + 2x) - 60 = 72
60 + 12x + 20x + 4x² - 60 = 72
4x² + 32x = 72
x² + 8x = 18
x² + 8x - 18 = 0
(x + 4)² = 34
x + 4 = ±√34
x = -4 ± √34

この条件では幅は整数になりません。正確な根号の形で候補を比べます。√34は4より大きいため、-4 + √34は正です。一方、-4 − √34は負なので幅には使えません。幅は√34 − 4 cmです。

外側は縦2√34 − 2 cm、横2√34 + 2 cmです。積は(2√34 − 2)(2√34 + 2) = 136 − 4 = 132 cm²となり、内側の60 cm²を引くと72 cm²に戻ります。寸法も正なので、条件を満たします。幅を両側に足したことと、面積差が元の値になることを別々に確かめています。

標準：外側から内側を引く

【標準例題】外側が縦18 cm、横24 cmの長方形の額縁があります。幅は四辺で等しく、枠の面積は144 cm²です。幅と内側の縦横をcm単位で、整数または正確な根号で求めてください。

幅をx cmとすると、内側は縦18 − 2x cm、横24 − 2x cmです。長方形の穴が残る条件は0 < x < 9です。外側の面積は432 cm²で、内側の面積は枠を取り除いた288 cm²です。

(18 - 2x)(24 - 2x) = 288
432 - 36x - 48x + 4x² = 288
4x² - 84x + 144 = 0
x² - 21x + 36 = 0
(x - 3)(x - 12) = 0
x = 3, 12

3は範囲内ですが、12は9より大きく、内側の縦が負になります。よって幅は3 cm、内側は縦12 cm、横18 cmです。12 × 18 = 216 cm²となり、先ほどの288 cm²と合いません。この不一致は計算の途中に誤りがあることを示します。

実際、積が36、和が-21となる整数の組は-3と-12ではありません。因数分解をやり直す代わりに平方の形にします。

x² - 21x + 36 = 0
(x - 21/2)² = 297/4
x - 21/2 = ±3√33/2
x = (21 ± 3√33)/2

√33は5より大きく7より小さいので、小さい方は正で9より小さく、大きい方は9より大きくなります。幅は(21 − 3√33)/2 cmです。内側の縦は3√33 − 3 cm、横は3√33 + 3 cmです。積は(3√33)² − 3² = 297 − 9 = 288 cm²で、外側432 cm²との差は144 cm²です。誤った候補を寸法に戻す検査によって、式の解き方を修正できました。

発展：同じ面積差を二通りに見る

【発展例題】内側が縦8 cm、横14 cmの長方形の絵の周囲に、幅が一様な額縁を付けます。外側の面積が内側の面積の2倍になるとき、幅と外側の縦横をcm単位で、正確な根号を使って求めてください。

内側の面積は112 cm²です。外側はその2倍の224 cm²なので、幅x cmについて次が成り立ちます。

(8 + 2x)(14 + 2x) = 224
112 + 16x + 28x + 4x² = 224
4x² + 44x - 112 = 0
x² + 11x - 28 = 0
(2x + 11)² = 233
2x + 11 = ±√233
x = (-11 ± √233)/2

√233 > 11ですから、正の候補は(√233 − 11)/2 cmです。負の候補は幅にできません。外側の縦は√233 − 3 cm、横は√233 + 3 cmで、積は233 − 9 = 224 cm²です。224は内側112の2倍なので、元の条件へ戻りました。

別の立て方では、外側が内側の2倍なら、枠の面積は内側と同じ112 cm²です。4つの帯と角を使うと16x + 28x + 4x² = 112となり、上の式に一致します。「外側が2倍」と「枠が2倍」は異なります。外側は絵と枠を合わせたものなので、ここで枠を224 cm²としてしまうと条件が変わります。

分かれ目は、比べる対象が外側全体なのか枠の部分なのかです。外側と内側が同じ面積なら幅は0になりますが、幅が正という条件の額縁は作れません。求めた式に数の解があっても、条件に合う解がない場合があります。その場合は無理に正の答えを作らず、どの条件で除いたかを記します。

片側だけ足した式を直す

内側の縦をa、横をb、幅をxとしたとき、外側を(a + x)(b + x)とする誤答を考えます。図3のように、その式は右と下にしか幅を加えていません。左と上にも幅があるという条件が式から抜けています。

修正は、縦にxを2回、横にxを2回加えることです。枠の面積は(a + 2x)(b + 2x) − abになります。図3の左右を見比べ、増えた部分がどこを表すかを指で追うと、係数の2の意味が残ります。

片側だけ足した式でも、別の条件なら使えます。たとえば内側の長方形の右と下にのみ幅xの領域を足し、その全体を長方形と定めた場合です。四辺に幅がある額縁と同じ図ではありません。式の形を覚える前に、問題の領域と一致するか確かめます。

また、外側を固定する問題で負の解を除くだけでは不十分です。正でも内側の辺が0以下なら長方形になりません。標準例題の大きい候補がその例です。答えを選ぶ条件を立式前に書けば、計算後に候補を残すかどうか判断できます。

幅と面積を自分で復元する5問

次の額縁はすべて四辺の幅が等しく、内側と外側は長方形です。長さはcm単位、面積はcm²単位とし、幅や寸法は整数または正確な根号で答えてください。問題を解き終えてから解答と照らし合わせましょう。

1. 内側が縦4、横8で、枠の面積が60です。幅と外側の縦横を求めてください。
2. 外側が縦16、横20で、枠の面積が112です。幅と内側の縦横を求めてください。
3. 内側が縦5、横9で、幅が2です。枠の面積を求めてください。
4. 外側が縦12、横18で、枠の面積が216です。正の幅で長方形の内側が残る額縁は作れますか。理由も答えてください。
5. 内側が縦3、横7で、外側の面積が内側の3倍です。幅と外側の縦横を求めてください。

解答と戻し方

1. 幅をxとすると(4 + 2x)(8 + 2x) − 32 = 60です。整理してx² + 6x − 15 = 0、(x + 3)² = 24となります。正の幅は2√6 − 3で、外側は縦4√6 − 2、横4√6 + 2です。積は96 − 4 = 92、内側32との差は60です。負の候補は幅にできません。

2. 内側の面積は16 × 20 − 112 = 208です。(16 − 2x)(20 − 2x) = 208からx² − 18x + 28 = 0、(x − 9)² = 53です。候補は9 ± √53ですが、内側が残るには0 < x < 8です。よって幅は9 − √53、内側は縦2√53 − 2、横2√53 + 2です。積は212 − 4 = 208で、外側320との差は112です。

3. 外側は縦5 + 4 = 9、横9 + 4 = 13です。枠の面積は9 × 13 − 5 × 9 = 72 cm²です。別に帯と角で数えると2 × 5 × 2 + 2 × 9 × 2 + 4 × 2² = 72となります。2通りで同じ枠に戻ります。

4. 外側の面積も12 × 18 = 216です。枠の面積が全体と等しいなら内側の面積は0です。長方形の内側は縦横がともに正で積も正なので、この条件では作れません。幅を3としても内側は縦6、横12で面積72となり、枠は144です。幅を6にすると内側の縦が0となり、穴は残りません。

5. 内側は3 × 7 = 21、外側は63です。(3 + 2x)(7 + 2x) = 63からx² + 5x − 21/2 = 0、(2x + 5)² = 67です。幅は(√67 − 5)/2です。外側は縦√67 − 2、横√67 + 2で、積は67 − 4 = 63となり、21の3倍です。√67 > 5なので幅は正です。

額縁の式を作る要点

• 幅が四辺で等しいとき、縦横はそれぞれ幅の2倍だけ増減します。
• 枠の面積は外側の面積から内側の面積を引きます。
• 幅と内側の縦横が正になる範囲を先に決めます。
• 解の候補から寸法と面積を復元し、元の条件に戻します。

答案のどの行に戻るか

お子さまが式を作れないときは、まず内側と外側のどちらの寸法が与えられたかを図に書きます。次に幅を左右または上下に1つずつ記し、横の式に2回分が反映されているか確かめます。計算の答えが合わないときは、展開した行と因数分解や平方の形にした行を別々に見直します。

個別指導で確かめるなら、答えの幅から内外の寸法を口頭で復元し、面積差が問題の値に戻るかを尋ねます。戻らなければ立式と計算のどちらが原因かをたどり、戻っても幅や内側の辺が正かを確認します。額縁の幅は、図と式と面積差を往復して決まります。