中3数学 関数y=ax²のグラフ—符号と絶対値で開く向きと広がりを説明する｜武蔵野個別指導塾

対称な点と頂点から曲線を描き、異なる目盛りをそろえて放物線の広がりを読み解く。

よくあるのは、軸の縮尺が違う2枚のグラフを見比べ、紙の上で細く見える方が必ず開きの小さい放物線だと判断する場面です。縦の1目盛りと横の1目盛りが何を表すかによって、同じ式の曲線でも見た目は変わります。式と座標に戻れば、見た目に引きずられずに比べられます。

曲線の何を問われるか

1つ目は、式から点を求め、頂点と対称な点を使って曲線を描く型です。例えば正と負の同じ大きさのxを代入し、同じ高さの点を左右に取ります。点を直線でつなぐのではなく、その間にも式を満たす点があると考えて滑らかな曲線を描きます。

2つ目は、複数の式の係数から、上向きか下向きか、同じ向きならどちらの開きが大きいかを説明する型です。符号と絶対値は別の役割を持ちます。負の数同士では、数の大小と絶対値の大小を混同しないことが要点です。

3つ目は、目盛りが異なる図の比較です。軸の1目盛りが同じ値を表す座標平面に描き直し、同じxでの高さ、または同じ高さでの横の距離を比較します。式の形はy=ax²で、aは0ではないとします。ここでは頂点を別の位置へ移した曲線は扱いません。

原点と左右の点から形を考える

関数y=ax²のグラフを放物線といいます。x=0ならy=0なので、必ず原点を通ります。xが正でも負でもx²は0以上で、xが0以外なら正です。したがってaが正なら原点以外の点はx軸より上、aが負なら下にあります。原点は曲線の折り返しにあたる頂点です。

xにある数を入れたときと、その符号を変えた数を入れたときは、二乗の値が同じです。例えばx=2とx=-2では、どちらもx²=4です。よって対応する2点のy座標は等しく、y軸からの距離も等しくなります。この関係はどんなxでも成り立つので、y軸は放物線の対称の軸です。図1のように、左右の点は同じ高さにあります。

図1の曲線はy=x²です。(2, 4)と(-2, 4)はどちらも式に合います。原点を頂点として左右を対応させますが、点が2組合うことだけでは曲線全体の対称性の理由にはなりません。任意のxについてx²と(-x)²が等しいことが理由です。

絶対値は、数直線で0からその数までの距離です。例えば-3の絶対値は3です。同じ正のxに対して、yの絶対値はaの絶対値が大きいほど大きくなります。共通の目盛りで描いた同じ向きの2曲線なら、大きい絶対値の方が同じ横の位置で頂点から遠くなり、縦に立った、開きの小さい形です。

逆に同じ正の高さを考えると、絶対値が大きい方は、その高さに達するまでの横の距離が短くなります。負の係数でも、x軸から下へ同じ距離の高さで比べれば同様です。ただし上向きと下向きを直接「幅」で比べるときは、同じyでは比較できません。符号を先に分け、頂点からの高さの絶対値で比べます。

点を打ち、滑らかに結ぶ

基本例題

y=(1/2)x²のグラフについて、xが-4、-2、0、2、4のときの点の座標を整数で求め、グラフを描いてください。また頂点と対称の軸を答えてください。

まず各値を式に代入します。負の数は括弧に入れて二乗します。

x=-4のとき y=(1/2)・(-4)²=8
x=-2のとき y=(1/2)・(-2)²=2
x=0のとき y=(1/2)・0²=0
x=2のとき y=(1/2)・2²=2
x=4のとき y=(1/2)・4²=8

点は(-4, 8)、(-2, 2)、(0, 0)、(2, 2)、(4, 8)です。頂点は原点、対称の軸はy軸です。図2のように、左右で高さがそろう点を打ち、原点付近も角を作らずに通します。

図2で、例えば(-4, 8)を元の式に戻すと(1/2)・16=8です。(4, 8)も同じ計算で合います。(-2, 2)と(2, 2)も二乗が4なので高さは2です。原点では0になり、5点とも指定の式に戻ります。点が少ないと形が不安なときは、例えばx=1を代入してy=1/2を補い、左右にも同じ高さの点を取れます。

点を一直線に結ぶと、点と点の間の位置が式と合いません。例えば(0, 0)と(2, 2)を直線で結ぶとx=1の位置はy=1ですが、式ではy=1/2です。点を通ることに加え、その間も二乗に比例する形にする必要があります。

標準例題

共通の目盛りにy=-2x²とy=-(1/2)x²を描くとします。x=-2、0、2のときの座標を整数で求め、それぞれの向きと開きの大小を説明してください。

x=-2のとき -2x²=-2・4=-8
x=0のとき -2x²=0
x=2のとき -2x²=-2・4=-8
x=-2のとき -(1/2)x²=-(1/2)・4=-2
x=0のとき -(1/2)x²=0
x=2のとき -(1/2)x²=-(1/2)・4=-2

前者の点は(-2, -8)、(0, 0)、(2, -8)、後者は(-2, -2)、(0, 0)、(2, -2)です。係数がともに負なので、どちらも下向きです。絶対値は2と1/2で、2の方が大きいので、y=-2x²の方が開きは小さくなります。同じx=2で見ても、頂点から下への距離が8と2で、前者の方が大きいと確かめられます。

元の式に戻すと、前者の左右の点は-2・4=-8、後者は-(1/2)・4=-2を満たします。原点も両式を満たします。数としては-2の方が-1/2より小さいため、係数をそのまま比べて「大きい方が細い」と言うと逆になります。0からの距離を比べるのが修正の鍵です。

目盛りが違うときの比較

発展例題

同じ大きさの方眼紙に、Aは横1目盛りを1、縦1目盛りを4としてy=x²を描きます。Bは横1目盛りを1、縦1目盛りを1としてy=(1/2)x²を描きます。原点から右へ2目盛り進んだとき、それぞれの曲線は上へ何目盛りですか。見た目と式による開きの比較を説明し、両方を横1目盛りも縦1目盛りも1とする座標平面に描き直すため、x=0、2、4の座標を整数で答えてください。

どちらも横1目盛りが1なので、右へ2目盛りはx=2です。Aのyは2²=4、Bのyは(1/2)・2²=2です。Aの縦1目盛りは4なので上へ1目盛り、Bの縦1目盛りは1なので上へ2目盛りです。紙の上ではこの位置でBの方が高く見えますが、座標の値はAが4、Bが2です。

共通の目盛りに描き直す座標を求めます。

A: x=0なら y=0²=0
A: x=2なら y=2²=4
A: x=4なら y=4²=16
B: x=0なら y=(1/2)・0²=0
B: x=2なら y=(1/2)・2²=2
B: x=4なら y=(1/2)・4²=8

Aは(0, 0)、(2, 4)、(4, 16)、Bは(0, 0)、(2, 2)、(4, 8)です。左右対称なので、x=-2と-4の点も同じ高さに取れます。共通の目盛りでは、同じxでAの方が原点からの高さが大きく、Aの方が開きが小さいと説明できます。

別の見方として、同じ高さy=8を調べます。Aではx²=8、Bではx²=16です。正の側で比べると、Aのxは2と4の間、Bのxは4です。8は4と16の間なので、Aの点はBよりy軸に近くなります。負の側も対称です。高さをそろえた場合にもAの方が狭いと判断できます。

描き直した値を元の条件に戻すと、Aのx=4ではy=16で元の図では上へ4目盛り、Bではy=8で上へ8目盛りです。各図の縦目盛りに戻しても食い違いません。図の見かけだけで比べられるのは、横軸と縦軸のそれぞれの縮尺が2枚で一致するときです。縦横が互いに同じ縮尺である必要はありませんが、比較する2枚の横同士、縦同士はそろえる必要があります。

誤答の行から直す

「y=-3x²とy=-x²では、-3は-1より小さいから前者の開きが大きい」という答えを考えます。数の大小は正しいものの、そこから形を決めるのが誤りです。図3のように、同じx=1では前者が-3、後者が-1です。前者の方が頂点から下へ遠く、共通の目盛りでは開きが小さくなります。

図3の2点はそれぞれ-3・1²=-3、-1・1²=-1を満たします。誤答の原因は、係数の符号と絶対値を一度に扱ったことです。まず両方が下向きと決め、次に絶対値3と1を比較します。下向きのまま、絶対値の大きい方が狭いと書き直せます。

別の失敗は、左右対称という条件から、どんな点でも勝手に曲線に載せてしまうことです。例えばy=x²で(3, 9)の対称な点は(-3, 9)ですが、(-3, -9)ではありません。符号を変えるのはx座標で、y座標は変えません。実際に(-3)²=9を代入して確認します。

点を打つ際に座標を取り違える場合もあります。y=2x²でx=2なら点は(2, 8)です。(8, 2)は2・8²=128なので式に合いません。まず横軸でxを決め、その位置から縦にyを取ります。座標の順番を点に書き、式へ戻すと、描く前の計算間違いと描く場所の間違いを分けられます。

自分で試す5問

答えは座標を整数または分数で表し、説明を求める問いには理由も書いてください。各曲線はy=ax²の形とします。

1. y=3x²について、x=-2、-1、0、1、2に対応する5点と頂点、対称の軸を答えてください。
2. y=-(1/3)x²について、x=-3、0、3に対応する3点と開く向きを答えてください。
3. 共通の目盛りにy=4x²とy=(1/4)x²を描きます。x=2の2点と、開きの小さい方を理由とともに答えてください。
4. y=-(1/4)x²上の点でx座標が6の点と、そのy軸に関する対称な点を答えてください。
5. Cは横1目盛りが1、縦1目盛りが3の図にy=3x²を描き、Dは横1目盛りも縦1目盛りも1の図にy=x²を描きます。x=1でそれぞれ上へ何目盛りか、共通目盛りでどちらの開きが小さいかを答えてください。

5問の解き方と答え

1. 二乗してから3倍します。順に12、3、0、3、12なので、(-2, 12)、(-1, 3)、(0, 0)、(1, 3)、(2, 12)です。頂点は原点、軸はy軸です。左右のxの二乗はそれぞれ4と1で、元の式に戻すと高さが一致します。

2. x=±3の二乗は9で、-(1/3)・9=-3です。点は(-3, -3)、(0, 0)、(3, -3)で、係数が負なので下向きです。両端を式に戻すとどちらも-3、原点も0になり、向きと点の位置が合います。

3. x=2では二乗が4です。点はそれぞれ(2, 16)、(2, 1)です。係数の絶対値は4の方が1/4より大きく、同じxで頂点からの高さも16の方が1より大きいため、y=4x²の開きが小さくなります。4・4=16、(1/4)・4=1と元の式で確かめます。

4. x=6ではy=-(1/4)・36=-9です。求める点は(6, -9)と(-6, -9)です。後者も(-6)²=36なので元の式を満たし、2点はy軸からの距離が等しく高さも同じです。

5. x=1でCのyは3、Dのyは1です。Cの縦1目盛りは3、Dは1なので、どちらも上へ1目盛りです。しかし共通の目盛りに直すとCの高さは3、Dは1となります。係数の絶対値も3の方が大きく、Cの開きが小さいと判断します。高さを元の縮尺に戻しても、それぞれ1目盛りになります。

覚えておくこと

• 頂点は原点、対称の軸はy軸です。
• aが正なら上向き、負なら下向きです。
• 共通目盛りで同じ向きの曲線を比べると、aの絶対値が大きいほど開きは小さくなります。
• 図の見た目を比べる前に、横同士と縦同士の目盛りをそろえます。

答案のどこに戻るか

お子さまが形を逆に描いたら、まず式の係数の符号に印を付け、原点以外の点のyが正か負かを1点で確かめます。左右の点の高さが合わなければ、負のxを括弧に入れて二乗した行に戻ります。点は合っていても折れ線になった場合は、点の間のxを1つ選び、式で出る高さと線の高さを比べると違いを確認できます。

個別指導で確かめる箇所は、答えの曲線だけではありません。目盛りを読み取った行、代入の行、点を取った位置、比較の理由を順に見ます。2枚の図で判断が食い違ったら、同じxの値を選び、図の目盛り数を座標の値へ戻します。座標がそろえば、放物線の開きは式から説明できます。