中2数学 少なくとも一つの確率—反対の場合を先に決めて重なりなく数える｜武蔵野個別指導塾

硬貨を3回投げる8通りから、表が1回以上と1回だけの違いを確かめます。条件を満たさない並びを先に決めると、全体から引ける理由をつかめます。

よくあるのは、硬貨を3回投げて「少なくとも1回は表が出る」という条件を、「表が1回だけ出る」と読み替えてしまう場面です。表が2回出た結果も、3回出た結果も、表が1回以上あるので条件に入ります。逆に、条件に入らないのはどんな結果でしょうか。入る結果を一つずつ調べる方法と、入らない結果を全体から除く方法を比べると、数え漏れの場所まで見えるようになります。

問いの言葉を回数に直す

出方の型は、表が「少なくとも1回」、表が「ちょうど1回」、そして「少なくとも1回ずつ表と裏が出る」の3つです。最初の2つは似ていますが、対象となる回数が違います。3つ目は表と裏の両方を要求するため、片方だけに注目すると条件の一部を落とします。

確率の問題では、まず何を一つの結果として数えるかを決めます。ここでは、投げた順に表か裏かを記録し、3回分の並びを一つの結果とします。表・裏・表と裏・表・表は、表の回数は同じでも、出た順序が違う別の結果です。各回で表と裏は同様に確からしく、各回の出方はほかの回の出方に影響しない公平な硬貨を使います。

3回の並びがそれぞれ同様に確からしいとき、求める確率は、条件に合う並びの数を、ありうる並びの総数で割って求められます。数えたものが回数の種類なのか、順序を含む並びなのかを混ぜないことが出発点です。確率は中2で学ぶ内容です。

条件に入らない結果を決める

ある条件を満たす結果と、満たさない結果は、全体を重なりなく二つに分けます。条件を満たさない方を、その条件の余事象といいます。図1のように、表が少なくとも1回出る条件なら、反対側は表が0回、つまり3回とも裏です。表が1回の結果は条件を満たす側にあり、反対側には入りません。

表が出る回数を0回、1回、2回、3回に分けると、各並びは必ずどれか一つに入ります。「少なくとも1回」は1回、2回、3回を合わせた条件です。「ちょうど1回」はそのうち1回だけを選びます。3回投げる前にどちらの言葉が書かれているかを丸で囲むと、数え始めてから条件が変わるのを防げます。

反対の場合から考えるときは、まず文章を否定してみます。「表が1回以上出る」が成り立たないのは「表が1回も出ない」です。「表が3回出る」や「裏が少なくとも1回出る」は反対ではありません。たとえば表・裏・裏は、表も裏も少なくとも1回出ます。この並びが両方に入ってしまうので、後者を反対とする分け方は重なっています。

全体の確率は1です。条件に合う結果と合わない結果が重ならず、どの結果もどちらかに入るので、二つの確率を足すと1になります。そこで、条件に合わない方が数えやすければ、1からその確率を引けます。これは並びを省略してよいという意味ではありません。分母と、引く対象の中身を確認することが必要です。

基本例題：少なくとも1回は表

公平な硬貨を3回投げます。表が少なくとも1回出る確率と、表がちょうど1回出る確率を、それぞれ約分した分数で求めてください。各回の結果はほかの回に影響しないものとします。

表を「表」、裏を「裏」として、左から投げた順に並べます。図2の8つは、1回目、2回目、3回目の順を区別した全結果です。各並びは同様に確からしく、数える一つ一つの重さが同じです。

まず、「表が少なくとも1回出る」という条件を満たさない場合を探します。表が1回も出ない場合なので、裏裏裏の1通りです。全体の8通りからこの1通りを除くと、表が少なくとも1回出るのは7通りです。途中の計算を順に書きます。

条件に合わない並びの数 = 1
条件に合う並びの数 = 8 - 1
                         = 7
求める確率 = 7/8

直接数える場合も、表表表、表表裏、表裏表、裏表表、表裏裏、裏表裏、裏裏表の7通りです。どの並びにも表があり、残る裏裏裏には表がありません。全8通りに戻して分けたので、両方の数え方が一致することを確認できます。

次に、ちょうど1回を数えます。表の位置が1回目、2回目、3回目のいずれかであり、対応する並びは表裏裏、裏表裏、裏裏表の3通りです。したがって、確率は3/8です。求めた3通りは、少なくとも1回の7通りの内側に含まれますが、同じ集まりではありません。

1回目が表、2回目が表、3回目が表という3つの条件をそれぞれ4通りとして、そのまま足すと12通りになります。しかし表表裏は最初の二つに入り、表表表は三つすべてに入ります。8通りしかない全体から12通りを選ぶことはできません。重なる条件ごとに足すのではなく、一つの並びを一度だけ数えるか、反対側を引きます。

標準例題：表と裏が両方出る

公平な硬貨を3回投げます。表と裏がそれぞれ少なくとも1回出る確率を、約分した分数で求めてください。各回の結果はほかの回に影響しません。

両方出るという条件が成り立たないのは、表が出ない場合か、裏が出ない場合です。表が出ない並びは裏裏裏、裏が出ない並びは表表表です。この2通りは別の並びなので重なりません。全8通りから2通りを除きます。

条件に合う並びの数 = 8 - 2
                         = 6
求める確率 = 6/8
             = 3/4

直接列挙でも、表表裏、表裏表、裏表表、表裏裏、裏表裏、裏裏表の6通りです。前半の3通りは表が2回、後半の3通りは表が1回です。どれも表と裏を含み、残る表表表と裏裏裏は片方しか含みません。求めた6通りと除いた2通りの合計は、元の8通りに戻ります。

分かれ目は「反対」の取り方です。「表も裏も出ない」は3回投げる条件では起こりませんが、両方出る条件の反対はそれではありません。両方そろうことが失敗するのは、表か裏の少なくとも一方が欠ける場合です。文章中の「それぞれ」がどの面に掛かるかを確認すると、この違いを説明できます。

発展例題：回数を絞って反対を考える

公平な硬貨を3回投げます。表が少なくとも2回出る確率を、約分した分数で求めてください。各回の結果はほかの回に影響しません。

「少なくとも2回」は2回または3回です。反対の場合は0回または1回です。「ちょうど2回」ではないので、表表表も条件に入ります。基本例題と同じ8通りの並びを使い、表の回数によって次のように分けます。

反対側には0回の1通りと1回の3通りが入ります。これらは表の回数が違うため重なりません。全体から合わせて4通りを取り除きます。

反対の場合の数 = 1 + 3
               = 4
条件に合う並びの数 = 8 - 4
                         = 4
求める確率 = 4/8
             = 1/2

直接数える別解では、2回の3通りと3回の1通りを足して4通りです。表の回数が異なる集まりなので重複はなく、0回から3回までの数は1 + 3 + 3 + 1 = 8と元の全結果に戻ります。どちらの道でも1/2です。

反対側の数が必ず少なくなるわけではありません。この例では条件を満たす側も反対側も4通りです。直接数える方が短ければ、そちらを使ってかまいません。ただし、結果が同様に確からしいという前提がなければ、単に並びの個数を割って確率にすることはできません。その場合は、この数え方をそのまま使わず、与えられた条件を調べ直します。

誤答から分け目を直す

誤答の一つは、基本例題の「少なくとも1回」を「ちょうど1回」と読み、3/8とすることです。表裏裏、裏表裏、裏裏表は確かに条件に入ります。しかし図3のように、表が2回の表表裏、表裏表、裏表表と、3回の表表表も条件に入ります。1回の3通りに4通りを加えて7通りに直します。

原因は「少なくとも」を最小の回数だけで止めたことです。条件を「1回以上」と書き換え、0回から3回までの各回数が入るかどうかを確認します。0回を除いた残りの回数を集めると、7/8という答えと表の中身がつながります。

もう一つの誤答は、基本例題で「1から3/8を引く」として5/8とすることです。3/8は表がちょうど1回出る確率であり、少なくとも1回出る条件の反対ではありません。この引き算が残すのは、表が0回、2回、3回の結果です。残った裏裏裏が求める条件に合わないことを見れば、引く対象の違いに気づけます。

直すには、引く前に元の条件全体を否定して書きます。「表が少なくとも1回出る」が成り立たないのは、「表が1回も出ない」場合です。裏裏裏の1通りなので、1 − 1/8 = 7/8です。引く対象が元の条件を満たさない並びだけになっているか、一つずつ確かめます。

練習：条件を先に言い換える

次の5問はそれぞれ独立した場面です。確率は約分した分数で答えてください。公平な硬貨は各回の表と裏が同様に確からしく、各回はほかの回に影響しません。回転盤は各区画が同様に確からしく、止まる場所は区画の境目にはならないものとします。

1. 公平な硬貨を2回投げます。裏が少なくとも1回出る確率を求めてください。
2. 公平な硬貨を3回投げます。裏がちょうど1回出る確率を求めてください。
3. 1、2、3、4、5の数字を一つずつ書いた5つの等しい区画のある回転盤を1回回します。3以上の数字が出る確率を求めてください。
4. 赤、青、緑、黄の4色を一つずつ書いた4つの等しい区画のある回転盤を1回ずつ2回回します。2回とも同じ色になる確率を求めてください。各回の結果はほかの回に影響しません。
5. 公平な硬貨を3回投げます。裏が少なくとも2回出る確率を求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 2回の全結果は表表、表裏、裏表、裏裏の4通りです。裏が出ない反対の場合は表表の1通りなので、条件に合うのは4 − 1 = 3通り、答えは3/4です。直接調べても表裏、裏表、裏裏の3通りで、除いた表表と合わせると4通りに戻ります。

2. 3回の全結果は表表表、表表裏、表裏表、裏表表、表裏裏、裏表裏、裏裏表、裏裏裏の8通りです。裏がちょうど1回の並びは表表裏、表裏表、裏表表の3通りなので、答えは3/8です。残る5通りの裏の回数は0回、2回または3回であり、元の条件に当てはまらないことも確かめられます。

3. 全結果は1、2、3、4、5の5通りです。3以上は3、4、5の3通りなので、答えは3/5です。反対は3未満の1と2の2通りで、5 − 2 = 3となります。数字の値を足すのではなく、等しい区画の数を数えます。

4. 1回目と2回目の順に、全結果は赤赤、赤青、赤緑、赤黄、青赤、青青、青緑、青黄、緑赤、緑青、緑緑、緑黄、黄赤、黄青、黄緑、黄黄の16通りです。同じ色は赤赤、青青、緑緑、黄黄の4通りなので、4/16 = 1/4です。違う色の12通りと合わせて16通りになり、元の2回分の結果をすべて使っています。

5. 全結果は表表表、表表裏、表裏表、裏表表、表裏裏、裏表裏、裏裏表、裏裏裏の8通りです。裏が2回の表裏裏、裏表裏、裏裏表と、3回の裏裏裏を合わせて4通りなので、4/8 = 1/2です。反対側は裏が0回の表表表と、1回の表表裏、表裏表、裏表表の4通りです。両側を合わせると8通りになり、2回以上という元の条件にも戻せます。

覚えておくこと

• 「少なくとも1回」は1回、2回、3回を含みます。
• その反対は0回であり、1回だけではありません。
• 順序を含む同様に確からしい並びを一度ずつ数えます。
• 直接数えた結果と、全体から反対側を除いた結果を照合します。

説明を聞いてつまずきを見分ける

お子さまが答えを出したら、「表が2回の並びは条件に入るか」「入らないのは何回か」と尋ねてみてください。2回を除いていたら、計算より前に条件文の読み替えを見直します。0回を入れていたら、反対の側と求める側を入れ替えていないか、並びを一つ選んで確かめます。

個別指導では、3回の並びを順序つきで書けるか、各並びを条件の内側と外側のどちらか一方に置けるか、さらに引く数の意味を言葉で説明できるかを確かめます。式が合っていても説明が曖昧なら、表表裏と裏裏裏をそれぞれ条件へ戻すと、数え方のずれが具体的になります。条件の境界を確かめると、反対側からの引き算に理由が通ります。