高校物理 原子 光子の運動量—吸収と反射で変わる運動量を向きつきで計算する｜武蔵野個別指導塾

正面反射で光子と鏡の運動量がどう変化するか、符号と保存則からたどる光子の運動量。

よくあるのは、高校生が光の正面反射を見て、鏡が受け取る運動量を入射した光子の運動量と同じ大きさにする場面です。反射後も光子は運動量を持ち、その向きは入射前と逆です。向きを含む変化を調べると、吸収の場合とは違う結果が出ます。光子と物体を合わせた系を決め、前後の収支を順に書きましょう。

問いの形を見分ける

波長やエネルギーから光子1個の運動量の大きさを求める問題では、まず単位をそろえます。波長が短ければ、1個の運動量は大きくなります。エネルギーが与えられたときは光速で割りますが、その値は方向を含まない大きさです。

次に、吸収や正面反射で物体が受け取る運動量を問う問題があります。光の進む向きを正に決め、光子の「後から前を引いた変化」を計算します。物体が受け取る運動量は、その変化と反対向きです。反射後の波長が同じとされていなければ、前後の運動量の大きさも区別します。

複数の光子について問われる場合は、各光子の寄与を足します。個数の割合が与えられたとき、全部が吸収された場合の式をそのまま使うと、反射した分を取り落とします。ここでは正面から入射する光に絞り、面積で割った圧力の問題には広げません。

光子の運動量と向き

真空中の波長をλ、振動数をν、光速をc、プランク定数をhとします。光子1個のエネルギーEはhν、波の関係はc = λνです。光子の運動量の大きさpについて成り立つ関係p = E/cを用いると、次のように表せます。

p = E/c
p = hν/c
p = h/λ

最後の式は、同じ真空中の光について波長と運動量を結びます。エネルギーをJ、光速をm/sで表すと、E/cの単位はJ・s/m、すなわちkg・m/sです。光子には静止質量を持つ物体の非相対論的な運動エネルギーの式K = p²/(2m)を当てはめません。p = E/cは光子に対する関係として使います。

図1のように、右向きを正とすると、右へ進む光子の運動量は+p、左へ進む同じ大きさの運動量は-pです。符号は選んだ軸に依存しますが、物理的な向きは変わりません。

図1のpは正の大きさです。吸収では光子が消え、物体に移る運動量は+pです。正面反射で光子の波長が変わらない理想化では、光子は+pから-pへ変化します。光子の変化は-2pなので、外力の衝撃を無視できる系では物体の変化は+2pです。

鏡が自由に動くと、鏡に運動エネルギーが生じるため、反射光子のエネルギーを厳密に入射前と同じにはできません。以下で同じ波長を仮定する問題は、鏡が十分重く反跳による変化を無視する理想化です。固定された鏡では支持台にも運動量が伝わるので、鏡だけを孤立系とせず、鏡と支持台を含めて収支を見ます。光子のエネルギーも保存則の対象ですが、吸収時に受け取ったエネルギーの行き先は運動エネルギーだけとは限りません。

基本例題：1個を受け止める場合と返す場合

波長6.63×10⁻⁷ mの光子1個が右向きに進みます。h = 6.63×10⁻³⁴ J・s、c = 3.00×10⁸ m/sとして計算します。静止した十分重い物体が光子を吸収する場合と、正面で波長を変えずに反射する理想的な場合について、物体が受け取る運動量を右向きを正として、有効数字3桁で求めてください。外部からの衝撃は無視します。

図2のように、前の光子はどちらも右向きです。後の光子が存在するか、どちらを向くかが異なります。

まず光子1個の運動量の大きさを計算します。

p = h/λ
p = (6.63×10⁻³⁴)/(6.63×10⁻⁷)
p = 1.00×10⁻²⁷ kg・m/s

吸収後の光子の運動量は0です。光子と物体の合計の前後を比べると、物体の変化は次のようになります。

物体の変化 = 光子の前 - 光子の後
物体の変化 = p - 0
物体の変化 = +1.00×10⁻²⁷ kg・m/s

反射後は左向きなので、光子の運動量は-pです。

物体の変化 = p - (-p)
物体の変化 = 2p
物体の変化 = +2.00×10⁻²⁷ kg・m/s

答えを元の場面に戻します。吸収後は物体の+pと光子の0の合計が入射前の+pです。反射後は物体の+2pと光子の-pの合計が+pです。図2の矢印の向きも、この収支と一致します。

別の見方では、光子の変化を先に計算します。吸収なら0 − p = -p、反射なら-p − p = -2pです。これと反対の変化を物体が受けます。どちらの方法でも「後の符号」を入れてから差を取ることが要点です。

標準例題：エネルギーと波長の読み替え

真空中で、エネルギーが9.00×10⁻¹⁹ Jの光子が右向きに進みます。c = 3.00×10⁸ m/s、h = 6.63×10⁻³⁴ J・sとします。この光子の運動量の大きさと波長、および十分重い物体に波長を変えず正面反射されたとき物体が受け取る運動量を求めてください。運動量はkg・m/s、波長はmで、有効数字3桁とします。外部からの衝撃は無視します。

p = E/c
p = (9.00×10⁻¹⁹)/(3.00×10⁸)
p = 3.00×10⁻²⁷ kg・m/s
λ = h/p
λ = (6.63×10⁻³⁴)/(3.00×10⁻²⁷)
λ = 2.21×10⁻⁷ m
物体の変化 = 2p
物体の変化 = +6.00×10⁻²⁷ kg・m/s

光子の反射後は-3.00×10⁻²⁷ kg・m/sです。これに物体の+6.00×10⁻²⁷ kg・m/sを足すと、入射前の+3.00×10⁻²⁷ kg・m/sに戻ります。また、求めた波長からhc/λを計算すると9.00×10⁻¹⁹ Jに戻るので、エネルギーと波長の対応も確かめられます。

ここで波長を横軸、運動量を縦軸にしたグラフは直線ではなく、p = h/λの反比例の曲線です。一方、横軸を1/λに取ればp = h(1/λ)となり、原点を通る直線です。その傾きはhで、単位は縦軸のkg・m/sを横軸のm⁻¹で割ったkg・m²/s、つまりJ・sです。軸の取り方を読まずに曲線の傾きをhとすることはできません。

発展例題：吸収と反射が混ざるとき

同じ波長の光子100個が右向きに入射し、30個が吸収され、残る70個が波長を変えず正面反射されたとします。1個の入射運動量の大きさをq = 4.00×10⁻²⁸ kg・m/sとし、物体と支持台が合わせて受け取る運動量を右向きを正として、有効数字3桁で求めてください。光子以外の外部からの衝撃は無視します。個数はこの問題で実際に起きた数とします。

吸収された光子は1個につきq、反射された光子は1個につき2qを物体側に渡します。したがって、

物体側の変化 = 30q + 70・2q
物体側の変化 = 170q
物体側の変化 = 6.80×10⁻²⁶ kg・m/s

合計から求める別解もあります。入射前の光子全体の運動量は+100q、後は反射光子70個による-70qです。

物体側の変化 = 100q - (-70q)
物体側の変化 = 170q

後の光子と物体側を足すと-70q + 170q = 100qとなり、最初の光子に戻ります。30個が吸収されたという条件を無視して200qとすると、この収支は合いません。割合が確率として与えられ、個数がまだ決まっていない場合には、この計算は平均的な期待値を表します。実際の個数は毎回同じとは限りません。

測定を考えるときは、波長と入射光子数をそろえ、吸収と反射の割合が異なる条件を比べます。1/λを横軸、1光子当たりの運動量を縦軸にした資料では、傾きと原点からのずれを別々に読みます。波長の読み違いは横軸を、光子数や反射割合の見積もり違いは1個当たりの値をずらします。信号が小さい場合、背景や支持部への外力も結果に影響します。これらを区別するため、光のない条件の記録や繰り返しを比較する設計が考えられます。実験は学校の指導の下で行い、ここでは装置の操作ではなく資料の読み方を扱います。

符号の取り違えを直す

反射後の光子に+pを入れ、物体の変化をpとする誤答を考えます。原因は、入射した大きさだけを数え、反対向きの光子が残ることを収支に入れていない点です。図3のように、前後の矢印を描き、右向きを正と決めてから後の値を-pと書きます。

図3では光子の変化が-2p、物体側の変化が+2pです。物体側を+pとすると、反射後の合計は+p − p = 0となり、入射前の+pと一致しません。保存則を答えの検査にも使うと、2倍という数字の暗記に頼らず誤りを見つけられます。

反射後の光子が必ず同じ波長だと思い込むのも危険です。問題に変化後の波長が与えられたら、後の大きさを別の記号で置きます。入射前が+p、後が-p′なら、物体側の変化はp + p′です。2pとなるのはp′ = pの条件を使った後です。

練習問題

以下は自作の条件です。必要な場合はh = 6.63×10⁻³⁴ J・s、c = 3.00×10⁸ m/sを使い、運動量はkg・m/s、有効数字3桁で答えてください。光子以外への外部からの衝撃は無視します。

1. 真空中の波長が3.00×10⁻⁷ mの光子1個の運動量の大きさを求めてください。
2. エネルギーが1.20×10⁻¹⁸ Jの光子1個が右向きに進んで吸収されます。物体の運動量の変化を右向きを正にして求めてください。
3. 大きさ5.00×10⁻²⁸ kg・m/sの運動量を持つ光子が左向きに進み、十分重い物体に波長を変えず正面反射されます。物体の変化を右向きを正にして求めてください。
4. 右向きの光子20個のうち8個が吸収され、12個が波長を変えず正面反射されます。入射光子1個の運動量の大きさは2.00×10⁻²⁸ kg・m/sです。物体側の変化を右向きを正にして求めてください。
5. 光子が右向きに入射し左向きに反射されます。入射前の波長は4.00×10⁻⁷ m、反射後は5.00×10⁻⁷ mです。物体側の運動量の変化を右向きを正にして求めてください。

練習の答えと確かめ

1. p = h/λ = (6.63×10⁻³⁴)/(3.00×10⁻⁷) = 2.21×10⁻²⁷ kg・m/sです。逆にh/p = 3.00×10⁻⁷ mとなり、元の波長に戻ります。
2. p = E/c = (1.20×10⁻¹⁸)/(3.00×10⁸) = 4.00×10⁻²⁷ kg・m/sです。吸収後の光子は0なので、物体の変化は+4.00×10⁻²⁷ kg・m/sです。後の合計はこの値で、前の光子の運動量に一致します。
3. 入射前は-p、反射後は+pです。物体の変化は-p − p = -2p = -1.00×10⁻²⁷ kg・m/sです。反射後の光子の+5.00×10⁻²⁸と合わせると、入射前の-5.00×10⁻²⁸ kg・m/sに戻ります。
4. 物体側の変化は(8 + 2・12)・2.00×10⁻²⁸ = +6.40×10⁻²⁷ kg・m/sです。反射後の光子は-2.40×10⁻²⁷ kg・m/sなので、合計は+4.00×10⁻²⁷ kg・m/sとなり、入射した20個分に一致します。
5. 入射前の大きさは6.63×10⁻³⁴/(4.00×10⁻⁷) = 1.6575×10⁻²⁷ kg・m/s、反射後は6.63×10⁻³⁴/(5.00×10⁻⁷) = 1.326×10⁻²⁷ kg・m/sです。物体側はその和の+2.9835×10⁻²⁷、丸めて+2.98×10⁻²⁷ kg・m/sです。丸める前に反射光子の-1.326×10⁻²⁷を足すと、入射前の+1.6575×10⁻²⁷ kg・m/sに戻ります。波長が変わるので2倍の式を使いません。

手元に残す要点

光子1個の運動量の大きさはp = h/λ = E/cです。
軸を決め、前後の光子の向きを符号にします。
物体側の変化は光子の前の運動量から後の運動量を引いた値です。
同じ波長の正面反射では物体側が受ける大きさは2pです。
吸収と反射が混ざるときは、それぞれの個数を掛けて足します。

吸収は解けるのに反射で止まるなら、最初に式を見直すより、反射後の矢印と符号を別々に書いてみましょう。向きを決められても保存式が立たない場合は、光子と物体側を囲んで系を示し、前後の合計を2列に並べます。個別指導では、この図から本人がどの符号を選び、どの時点で差を取ったかを確かめられます。反射後の光子まで収支に入れると、鏡に伝わる運動量が見えてきます。