高校物理 原子 X線の最短波長—加速電子のエネルギーから連続スペクトルの端を読む｜武蔵野個別指導塾

電子のエネルギー収支とスペクトルの端を比べ、電圧と強度の役割を読み解く手がかりは最短波長。

よくあるのは、連続X線のどの光子にも最短波長の式を等号で使う場面です。加速電圧が決まれば光子の波長も1種類に決まる、と考えると、スペクトルが連続している理由を見失います。電子が持ち込むエネルギーには上限がありますが、1個の光子に渡す割合は一定ではありません。その違いを図と収支でたどります。

どの量を問われているか

問いの型は大きく3つあります。第1は電圧から短波長側の端を計算する型です。まず加速された電子1個のエネルギーを求め、その全量が1個の光子に移る極限を考えます。第2は波長と電圧のグラフを読む型です。波長そのものは電圧に反比例し、逆波長を縦軸にすれば原点を通る直線になります。軸がどちらかで読み方が変わります。

第3は電圧や電子の数を変えたときのスペクトルの比較です。電圧は電子1個のエネルギーを変え、短波長端を動かします。一方、加速電圧を保って単位時間に標的へ届く電子を増やすと、他の条件が同じ理想的な比較では強度が増えます。強度が増えたことを、光子1個の最大エネルギーが増えたことと混同しないでください。

電子から光子へ渡るエネルギー

X線管の模式的な考え方では、電位差で加速された電子が標的に入射します。ここでは電子が静止に近い状態から電位差 V で加速され、途中の損失が無視できるとします。電気素量を e とすると、標的に届く直前の運動エネルギーは eV です。V は電圧の正の大きさで、eV はここでは e と V の積です。エネルギーの単位としての eV は電子ボルトと読み、文脈で区別します。

標的内で電子が減速される際に放射されるX線を制動X線と呼びます。電子が失ったエネルギーが1個の光子に渡る場合を考えます。標的や他の粒子へもエネルギーが渡れば、その光子の取り分は小さくなります。したがって、光子のエネルギーを E とすると、理想化した条件では 0 < E ≤ eV です。ここで等号は端を決める極限の条件であり、どの光子にも成立する式ではありません。

図1のように、光子のエネルギーは波長 λ に対し E = hc/λ です。h はプランク定数、c は真空中の光の速さです。エネルギーが大きいほど波長は短くなりますから、上限 eV は波長の下限に対応します。

図1の上段では電子の持ち込むエネルギーを上限として示しています。光子が全量を受け取る極限で、その波長を λmin と書けば次の関係です。

hc/λmin = eV
λmin = hc/(eV)

短波長端はエネルギー保存から得られる限界です。実際の測定で端の位置を厳密に読み取れるとは限りません。検出器の感度、標的内での吸収、有限の分解能などによって弱い部分が見えにくくなるためです。また、加速前の運動エネルギーや電圧のばらつきが無視できない場合、単純な式の前提を見直します。電子の速さを求める必要はなく、光子に電子の運動エネルギーの式を使うこともありません。

連続的な制動X線に重なって、特定の波長に強い線が現れることがあります。これは標的原子の内側の電子が取り去られ、別の電子が空いた状態へ移る際のエネルギー差に由来する特性X線です。線の位置は標的の原子の準位差に関係し、短波長端そのものではありません。特性X線が出るには内側の電子を取り去るための条件も必要です。電圧を変えても、同じ標的で同じ遷移に対応する線の波長を、連続X線の端と同じ比で動かすことはできません。

基本例題：端の波長を求める

静止に近い電子を 10.0 kV の電位差で加速し、標的に当てます。途中の損失を無視し、電子の運動エネルギーが1個の光子に全て渡る極限を考えます。h = 6.63×10⁻³⁴ J s、c = 3.00×10⁸ m/s、e = 1.60×10⁻¹⁹ C として、最短波長を m 単位、有効数字3桁で求めてください。

まず kV を V に直します。電圧と電気素量の積の単位 C V は J です。図2のように電子のエネルギーと光子の最大エネルギーを対応させます。

V = 10.0×10³ V
K = eV
K = 1.60×10⁻¹⁹×10.0×10³ J
K = 1.60×10⁻¹⁵ J
hc = 6.63×10⁻³⁴×3.00×10⁸ J m
hc = 1.989×10⁻²⁵ J m
λmin = hc/K
λmin = 1.989×10⁻²⁵/(1.60×10⁻¹⁵) m
λmin = 1.24×10⁻¹⁰ m

答えは 1.24×10⁻¹⁰ m です。途中の値を使って戻すと、1.989×10⁻²⁵/(1.243125×10⁻¹⁰) = 1.60×10⁻¹⁵ J となり、電子が運んだエネルギーに一致します。丸めた波長で戻すと末尾に丸めの差が出ます。図2の数値は丸める前のエネルギーと、最後に丸めた波長です。

この電圧の電子から出た光子が、全てこの波長を持つわけではありません。例えば電子の持ち込むエネルギーの半分を光子が受け取れば、その光子の波長は端の2倍です。残りは標的などに渡るので、収支を戻しても破綻しません。逆に端の半分の波長を要求すると、光子のエネルギーは電子の2倍になり、この条件では生じません。

標準例題：逆波長の直線

同じ理想条件で電圧を V とし、短波長端を λmin とします。h、c、e は基本例題と同じ近似値を使います。横軸を V、縦軸を 1/λmin とするグラフの傾きを、単位を付けて有効数字3桁で求めてください。また、電圧を 10.0 kV から 20.0 kV に変えたときの端を m 単位で求めてください。

λmin = hc/(eV)
1/λmin = eV/(hc)
1/λmin = (e/(hc))V
傾き = e/(hc)
傾き = 1.60×10⁻¹⁹/(1.989×10⁻²⁵)
傾き = 8.04×10⁵ m⁻¹ V⁻¹

原点を通る直線で、傾きの単位は縦軸の m⁻¹ を横軸の V で割ったものです。切片が理想的には0であるのは、式で電圧に比例するからです。測定点から傾きを求めるときは、縦軸と横軸の2点の差をそれぞれ読み、目盛りの倍率も掛けます。単に2点の値を割る方法は切片が0であることを前提にするので、測定値がばらつくときの確認には注意が必要です。

λmin(20.0 kV)/λmin(10.0 kV) = 10.0/20.0
λmin(20.0 kV) = 1.243125×10⁻¹⁰/2 m
λmin(20.0 kV) = 6.22×10⁻¹¹ m

逆波長を使えば、縦軸の値が2倍になるという別の見方もできます。戻して確認すると、端の光子のエネルギーは 3.20×10⁻¹⁵ J であり、20.0 kV で電子が得る eV に一致します。λmin 自体を縦軸に描くと直線ではなく、電圧の増加とともに下がる曲線です。2つのグラフを取り違えると、傾きから定数を推定する式も違ってしまいます。

発展例題：強度と端を分けた比較

同じ標的と検出条件を使い、条件Aでは加速電圧 12.0 kV、標的に届く電子数を毎秒 N とします。条件Bでは電圧を 18.0 kV にし、電子数を毎秒 N のままにします。条件Cでは電圧を 12.0 kV のまま、電子数を毎秒 2N にします。電子ごとの放射の統計的な分布は、同じ電圧と標的なら変わらず、検出器は飽和しないとします。A、Bの端の比と、A、Cの端および強度の関係を答えてください。

λB/λA = VA/VB
λB/λA = 12.0/18.0
λB/λA = 2/3
λC/λA = VA/VC
λC/λA = 12.0/12.0
λC/λA = 1

Bの端はAの 2/3 です。別解として最大光子エネルギーの比を先に取ると EB/EA = 18.0/12.0 = 3/2 です。エネルギーと波長の逆比例により波長比はその逆数です。端の波長を比で戻すと、Bの光子エネルギーはAの 3/2 倍となり、与えた電圧比に一致します。

Cでは電子1個が運ぶエネルギーの上限がAと同じなので、端は変わりません。問題の比例条件の下では、同じ波長範囲で単位時間に得られる光子数は2倍になり、強度も2倍です。強度の倍率は電子数と検出条件についての仮定に依存します。電圧を変えたBについては、端の移動だけから全波長での強度倍率を決められません。特性線の出現や標的内での吸収も、単純な倍率を妨げます。

測定を考えるときは学校の指導の下で、装置の模式図と測定資料を用います。電圧の影響を調べる比較では標的と検出条件をそろえ、電圧を変えて端を読みます。電子数の影響では電圧を固定し、同じ波長範囲の強度を比べます。測定点が少ない場合や端付近の信号が背景に埋もれた場合は、最初に見えた点をそのまま真の端と断定できません。背景を別に評価し、波長の目盛りと電圧の不確かさを併せて調べます。読み取り値が端より長波長側にずれれば、逆算した電圧は実際より小さく見えます。

誤答を収支に戻して直す

図3のように、ある電子がエネルギーの一部を光子に渡した場合に、eV = hc/λ と置く誤答を考えます。図中の 3/4 と 1/4 は理解のための割合で、残りは標的などへ渡るとします。全量を光子に渡す端の条件を、途中の波長にも適用したことが原因です。

正しい収支は hc/λ = 3eV/4、残りが eV/4 です。足すと eV に戻ります。よってこの光子の波長は λmin の 4/3 倍です。図3の分割は、光子と残りを足して電子の初めのエネルギーへ戻す検算を表します。波長を 3/4 倍にする誤りも、短い波長ほどエネルギーが大きいことを確かめれば直せます。

また、強度が2倍なら最短波長も半分とする答えには、電子1個当たりのエネルギーと電子数の区別が欠けています。何を固定して何を増やしたかを書き、電圧が同じなら端は同じと判定します。特性線を連続スペクトルの端と見た場合は、線の位置が原子の準位差、端が入射電子のエネルギー上限に対応することを別々に記します。

練習問題

各問は静止に近い電子の加速と、損失を無視した理想的な短波長端を考えます。必要な場合は h = 6.63×10⁻³⁴ J s、c = 3.00×10⁸ m/s、e = 1.60×10⁻¹⁹ C を使い、数値は有効数字3桁で答えてください。

1. 加速電圧が 15.0 kV のとき、電子1個が得るエネルギーを J で求めてください。
2. 加速電圧が 24.0 kV から 8.00 kV に下がるとき、短波長端は何倍になりますか。
3. ある電子の運動エネルギーの 2/5 が1個の光子に渡りました。残りは標的などに渡るとします。この光子の波長は同じ電圧での短波長端の何倍ですか。
4. 短波長端が 2.00×10⁻¹⁰ m と求められたとします。対応する加速電圧を kV で求めてください。
5. 電圧を固定し、他の条件をそろえたまま標的に届く電子数を毎秒 3倍にします。同じ電圧での電子ごとの放射の分布が変わらず、検出器が飽和しない場合、端と同じ波長範囲の強度はどう変わりますか。

練習の答えと戻し方

1. 電圧を V に直して積を作ります。

K = eV
K = 1.60×10⁻¹⁹×15.0×10³ J
K = 2.40×10⁻¹⁵ J

答えは 2.40×10⁻¹⁵ J です。この値を e で割ると 15.0×10³ V に戻ります。電子1個分のエネルギーであることも確認します。

2. 電圧に反比例するため、次の比です。

λ後/λ前 = V前/V後
λ後/λ前 = 24.0/8.00
λ後/λ前 = 3.00

答えは 3.00倍です。波長が3倍なら光子の最大エネルギーは 1/3 倍となり、電圧が 1/3 になった条件へ戻ります。電圧が下がるのに端が短くなる答えは向きが逆です。

3. 光子のエネルギーは端の光子の 2/5 です。

hc/λ = 2eV/5
hc/λmin = eV
λ/λmin = 5/2

答えは 5/2 倍です。残りの 3eV/5 と光子の 2eV/5 を足すと eV に戻ります。光子のエネルギーの割合をそのまま波長の割合にしないことが要点です。

4. 端の式を電圧について解きます。

V = hc/(eλmin)
V = 1.989×10⁻²⁵/(1.60×10⁻¹⁹×2.00×10⁻¹⁰) V
V = 6.215625×10³ V
V = 6.22 kV

答えは 6.22 kV です。丸める前の電圧で eV を計算すると 9.945×10⁻¹⁶ J で、与えた波長についての hc/λmin と一致します。端は電圧の測定条件に対応する値であり、特性線の位置を代入してよいとは限りません。

5. 答えは、端は変わらず、その波長範囲の強度は3倍です。1個当たりのエネルギー上限が同じため端は同じで、同じ分布を持つ電子が3倍届くため強度が3倍になります。強度を3で割れば元の比較条件に戻ります。検出器が飽和する場合には、この比例を測定値へそのまま適用できません。

答案に残す要点

• 電子1個が得るエネルギーは、初速と損失を無視すれば eV です。
• 光子の最大エネルギーを eV と置く極限から λmin = hc/(eV) を得ます。
• 連続X線の各光子には hc/λ ≤ eV を使います。
• 特性線は原子の準位差、短波長端は電子のエネルギー上限に対応します。
• 電圧と電子数の変更は、端と強度を分けて読みます。

式を覚えていても、どの光子に等号を使うか説明できなければ、収支を図に戻してみてください。電圧を2倍にした図と、電子数を2倍にした図をそれぞれ描くと、端と強度の混同も見分けられます。個別指導で確かめるなら、単位の換算、等号の条件、答えをエネルギーに戻す操作を順に言葉にしてもらうと、どこで関係が逆になったかを特定できます。短波長端は、電子が光子に渡せるエネルギーの上限を示します。