高校物理 原子 コンプトン効果の波長変化—散乱角と保存則から光子の変化を読み解く｜武蔵野個別指導塾

静止した電子との散乱で、光子が失うエネルギーと波長の増加を結ぶのがコンプトン効果です。

よくあるのは、散乱角が大きいほど光子が強くはね返ると考え、散乱後の光子のエネルギーも増すと読む場面です。図の矢印が長く見えることと、光子1個のエネルギーが大きいことは同じではありません。衝突前に静止していた電子が運動エネルギーを受け取るなら、その分は光子から失われます。波長の増加とエネルギーの減少を、同じ収支の両面として追ってみましょう。

どの量が変わる問題か

1つ目の型は、入射波長と散乱角から散乱後の波長を求める問題です。まず角度が入射方向から測られているかを確認します。式が直接与えるのは波長そのものではなく、散乱後から入射前を引いた増加量です。最後に入射波長へ足して、波長が正であることまで点検します。

2つ目の型は、波長から光子のエネルギーや電子の運動エネルギーを求める問題です。波長とエネルギーは反比例するので、波長が長くなれば光子のエネルギーは小さくなります。エネルギーの差が反跳電子に渡るという条件は、電子を初め静止した自由電子とみなすことに依存します。

3つ目の型は、角度を変えた測定値やグラフから式を試す問題です。横軸の目盛りが角度そのものか、1-cosθかで形は違います。測定では波長を読み取る誤差や角度の幅があるため、理想式と実際の点が完全に重なるとは限りません。式に合うかの確認と、式が成り立つ近似の確認を分けます。

散乱の前後を一つの系にする

図1のように、入射光子と初め静止した電子を系に選びます。衝突後は散乱光子と反跳電子の両方を含めます。電子は原子に強く束縛されておらず、衝突前の運動も無視できるとする近似です。実際に電子の束縛や初めの運動が無視できないとき、この単純な式と測定値の間にずれが生じえます。

図1のθは入射光子の進行方向と散乱光子の進行方向のなす角です。電子の進行方向との角ではありません。入射波長をλ、散乱波長をλ′、電子の質量をmₑ、光速度をc、プランク定数をhとします。波長変化をΔλ = λ′-λと定め、次の式を問題の条件として使います。

Δλ = h/(mₑc)・(1-cosθ)
λ′ = λ + Δλ

h/(mₑc)は長さの単位を持ち、電子のコンプトン波長と呼びます。以下では簡単にL = h/(mₑc)と置きます。これは入射波長の記号ではありません。0度から180度へ角度を大きくするとcosθは1から-1へ小さくなるため、Δλは0から2Lへ増えます。90度ではcosθ = 0ですから、増加量はLです。

光子のエネルギーはE = hc/λ、運動量の大きさはp = h/λです。散乱後もそれぞれλ′を使います。光子の運動量には向きがあり、散乱前後の運動量を比較するときは矢印として足し引きします。エネルギーは向きのない量です。電子の静止エネルギーを前後で差し引くと、電子の運動エネルギーKは次のように表せます。

hc/λ = hc/λ′ + K
K = hc/λ - hc/λ′

波長増加が正なら、散乱光子のエネルギーは減り、Kは正です。0度では式からλ′ = λ、K = 0です。この理想モデルでは電子への運動量の受け渡しも0になります。180度では波長増加が最大です。ただし最大なのは波長の増加であり、散乱光子のエネルギーではありません。入射波長が異なる2つの実験で散乱後の波長自体を比べるときは、入射波長にも目を向けます。

散乱式はエネルギー保存と向きごとの運動量保存に、電子の相対論的なエネルギーと運動量の関係を合わせて得られます。反跳電子が十分遅いと確認する前にK = p²/(2mₑ)を使うと、一般にはこの式になりません。高校の答案では与えられた散乱式を使い、電子については上のエネルギー収支からKを求めます。厳密な導出を暗記しなくても、増減と保存則の整合は調べられます。

基本例題：直角に散乱した光子

静止自由電子に波長4Lの光子が入射し、図2のように入射方向から90度に散乱しました。L = h/(mₑc)とし、散乱式Δλ = L(1-cosθ)を用います。散乱後の波長をLを使って、電子の運動エネルギーをmₑc²を使って表してください。Lなどは正とします。

図2の角度は光子の入射方向と散乱方向の間です。まず波長の差を求め、それを入射波長に加えます。

cos90度 = 0
Δλ = L(1-0)
Δλ = L
λ′ = 4L + L
λ′ = 5L

エネルギーの前後差から電子のKを求めます。Lの定義を使うとhc/L = mₑc²です。

K = hc/(4L) - hc/(5L)
K = hc/(20L)
K = mₑc²/20

検算では、散乱後の光子と電子のエネルギーを足して入射値へ戻します。

hc/(5L) + hc/(20L) = hc/(4L)

電子が受け取る値は正で、散乱光子の波長5Lは入射の4Lより長くなっています。角度が90度だから電子も90度に飛ぶ、と考える必要はありません。向きは運動量保存から決まり、エネルギー収支だけではその角度を指定できません。

標準例題：グラフの傾きが表す長さ

同じ入射波長6Lの光子を静止自由電子に当て、散乱角を変えるとします。散乱式をΔλ = L(1-cosθ)として、60度と120度での波長、電子の運動エネルギーをそれぞれLとmₑc²で表してください。また横軸をx = 1-cosθ、縦軸をΔλとしたグラフの傾きと切片を答えてください。cos60度 = 1/2、cos120度 = -1/2とします。

60度について順に代入します。

Δλ = L(1-1/2)
Δλ = L/2
λ′ = 6L + L/2
λ′ = 13L/2
K = hc/(6L) - hc/(13L/2)
K = hc/(78L)
K = mₑc²/78

120度では次のようになります。

Δλ = L(1+1/2)
Δλ = 3L/2
λ′ = 6L + 3L/2
λ′ = 15L/2
K = hc/(6L) - hc/(15L/2)
K = hc/(30L)
K = mₑc²/30

いずれも散乱後の光子と電子を合わせると、入射光子のhc/(6L)に戻ります。120度の方が増加量も電子の受け取るエネルギーも大きいと確認できます。この比較は入射波長を同じにした場合です。

グラフではΔλ = Lxなので、理想的な直線の傾きはL、切片は0です。xは単位を持たず、縦軸が長さなので傾きも長さです。横軸をθに変えればcosθの関係を含むため、同じ直線にはなりません。角度の目盛りとxの目盛りを取り違えると、見かけの傾きからLを求められません。実測点の切片が0からずれる場合、波長の基準のずれや背景の影響も調べます。

発展例題：角度の逆算と測定の吟味

静止自由電子近似が成り立ち、入射波長が3Lの光子について、散乱後の光子のエネルギーが入射時の3/4になったとします。散乱式Δλ = L(1-cosθ)を用い、cosθ、θ、電子が受け取った運動エネルギーをmₑc²で表してください。cos90度 = 0とします。

エネルギーの比をそのまま波長の比にせず、反比例を使います。

(hc/λ′)/(hc/(3L)) = 3/4
3L/λ′ = 3/4
λ′ = 4L
Δλ = 4L - 3L
Δλ = L
L(1-cosθ) = L
cosθ = 0
θ = 90度

角度は0度から180度の範囲です。電子の運動エネルギーは入射エネルギーの残り1/4です。

K = (1/4)・hc/(3L)
K = hc/(12L)
K = mₑc²/12

別の計算では、波長3Lと4Lから直接差を取ります。

K = hc/(3L) - hc/(4L)
K = hc/(12L)

戻して確かめると、散乱後hc/(4L)と電子hc/(12L)の和は入射時hc/(3L)です。散乱後と入射前の光子エネルギーの比も3/4に戻ります。どちらの道筋でも、減った光子のエネルギーが電子へ渡るという同じ条件を使っています。

この関係を測定で調べるなら、入射光の波長を一定にし、散乱方向を変えて波長分布の中心を比べる設計が考えられます。X線を使う場合は学校の指導の下で、装置の模式図や測定資料を用いて考えます。散乱角を読み違えると横軸の値が変わり、入射波長の基準がずれると差Δλもずれます。検出器が有限の角度幅を受け取る場合、一つの角度の値ではなく近い角度の光が混ざります。背景や分解能によっても中心の読み取りには幅が出ます。

例えば中心を決められないほど信号が弱いとき、最大に見える1点をそのまま真の波長とするのは危険です。背景を評価し、測定条件や読み取りの幅を記録して比較します。波長の変化が観測の不確かさより小さければ、理想式に合うかをそのデータだけで判定するのは難しくなります。角度を変える際には入射条件や検出条件の違いも点検し、ずれをすべて電子の性質の変化と決めつけないことが必要です。

間違いの位置を直す

図3のように「角度が大きいほど光子のエネルギーが増える」と結論した場合、まず波長の変化の符号を調べます。散乱角が大きいほど1-cosθは大きくなり、λ′は長くなります。次にE = hc/λ′に戻れば、散乱光子のエネルギーは小さくなると修正できます。

もう一つの誤りは、増加量Δλをそのまま散乱後の波長とすることです。図3の矢印の間に「入射波長を足す」操作を入れます。0度でΔλが0でも、散乱後の波長は0ではなく入射波長のままです。端の角度を代入すると、足し忘れが見つかります。

また、入射光子と散乱光子のエネルギーを等しいと置くと、反跳電子のKが0に固定されます。角度が0度でない理想散乱では、正のKが必要です。さらに運動量を大きさの引き算だけで処理すると、90度の散乱でも方向の差を失います。保存する系に光子と電子を含め、エネルギーは和、運動量は向きつきで扱います。

自分で試す5問

以下ではL = h/(mₑc)、散乱式Δλ = L(1-cosθ)を用い、電子は初め静止した自由電子とします。角度の範囲は0度から180度です。数値として必要なcos0度 = 1、cos60度 = 1/2、cos90度 = 0、cos120度 = -1/2、cos180度 = -1を使います。波長はL、エネルギーはmₑc²を用いた正確な分数で答えてください。

1. 入射波長が7Lで、散乱角が0度です。散乱後の波長と電子の運動エネルギーを求めてください。
2. 入射波長が2Lで、散乱角が180度です。波長の増加量、散乱後の波長、電子の運動エネルギーを求めてください。
3. 入射波長が5Lで、散乱角が60度です。散乱後の波長と、散乱光子のエネルギーの入射光子に対する比を求めてください。
4. 入射波長が8Lで、散乱後の波長が19L/2でした。散乱角と電子の運動エネルギーを求めてください。
5. 入射波長が10Lのとき、散乱後の光子エネルギーが入射時の5/6になるという値が示されました。この条件が0度から180度の散乱で可能か判定し、可能なら角度を求めてください。

解答と元の条件への確認

1. 0度では増加量が0なので、散乱後は7L、電子の運動エネルギーは0です。

Δλ = L(1-1) = 0
λ′ = 7L + 0 = 7L
K = hc/(7L) - hc/(7L) = 0

散乱後の光子と電子のエネルギーの和はhc/(7L)で、入射時に戻ります。波長が0になるわけではありません。

2. 後方への散乱では増加量は2L、散乱後は4L、電子はmₑc²/4を受け取ります。

Δλ = L(1-(-1)) = 2L
λ′ = 2L + 2L = 4L
K = hc/(2L) - hc/(4L)
K = hc/(4L) = mₑc²/4

hc/(4L)を光子と電子に1つずつ割り当てると、和はhc/(2L)です。波長増加2Lはこのモデルの最大値にも一致します。

3. 増加量はL/2、散乱後の波長は11L/2、エネルギーの比は10/11です。

Δλ = L(1-1/2) = L/2
λ′ = 5L + L/2 = 11L/2
(hc/λ′)/(hc/(5L)) = 5L/(11L/2)
(hc/λ′)/(hc/(5L)) = 10/11

散乱後の波長に10/11を掛けると5Lに戻り、入射波長との比に一致します。光子が失ったhc/(55L)を散乱後のhc/(11L/2)に足すとhc/(5L)です。

4. 増加量は3L/2なので角度は120度、電子の運動エネルギーは3mₑc²/152です。

Δλ = 19L/2 - 8L = 3L/2
1-cosθ = 3/2
cosθ = -1/2
θ = 120度
K = hc/(8L) - hc/(19L/2)
K = 3hc/(152L) = 3mₑc²/152

120度を式に戻すと増加量は3L/2です。散乱後の光子エネルギー2hc/(19L)とKの和はhc/(8L)になります。

5. 可能で、角度は180度です。まず波長を逆比から求めます。

10L/λ′ = 5/6
λ′ = 12L
Δλ = 12L - 10L = 2L
1-cosθ = 2
cosθ = -1
θ = 180度

得られた波長から光子エネルギーの比を計算すると10/12 = 5/6に戻ります。電子は残りのhc/(60L)を受け取り、散乱光子のhc/(12L)と合わせて入射時のhc/(10L)です。もし逆算した増加量が2Lを超えたり負になったりすれば、この角度範囲と近似の条件では実現できません。

手元に残す要点

• 静止自由電子近似でΔλ = L(1-cosθ)、L = h/(mₑc)です。
• 散乱角は入射光子と散乱光子の方向の間です。
• 散乱後の波長は入射波長にΔλを足して求めます。
• 波長が長くなるほど光子エネルギーは小さくなります。
• 光子のエネルギーの減少を電子の運動エネルギーに戻して確かめます。

式に数字を入れる前に、図に入射方向、散乱方向、θを書けるかを見てください。角度は合っているのに答えが逆転する場合は、Δλとλ′、波長比とエネルギー比を別々に書くとつまずきの位置が見えます。個別指導で確かめるなら、0度と180度を言葉で比べ、反跳電子を含むエネルギーの和が入射値に戻るかまで説明してもらいます。散乱角から波長を経てエネルギーへ進む順序が、符号の間違いを見つける道筋です。