中2数学 四分位数と四分位範囲—個数の奇偶を確かめて中央と散らばりを求める｜武蔵野個別指導塾

果実の質量を小さい順に並べ、奇数個の中央を除く理由から重複値の扱いもたどり、位置から考える四分位範囲です。

よくあるのは、果実の質量を小さい順に並べた後、中央の値を上下の半分にも重ねて入れるという場面です。全体の真ん中を見つけた安心感から、その値を残したまま次の中央値を探すと、分けた両側の個数が本来より多くなります。どの値を消すかは、値の大きさではなく、並べたときの位置で決めます。以下の果実の質量は、考え方を調べるために作った資料です。

値を探す前に決めること

四分位数の問題には、並べ替えた資料から3つの四分位数を求める型、四分位範囲と範囲を区別する型、値が重なった資料や個数の違う資料を比べる型があります。どれも、数を見て中央らしい値を選ぶのではなく、資料の個数と順位を先に確かめます。

中央値は、小さい順に並べたときの中央の値です。個数が奇数なら中央の1個、偶数なら中央の2個の平均を取ります。平均を取るときは2個の和を2で割ります。この既習事項を、全体とその上下の半分にそれぞれ使います。

学習指導要領解説の第2学年の範囲には、箱ひげ図が含まれています。ここでは、そのもとになる四分位数の求め方と散らばりを扱います。

半分に分ける位置と四分位数

資料を小さい順に並べたとき、全体の中央値を第2四分位数といいます。全体を上下に分けたうち、小さい方の半分の中央値が第1四分位数、大きい方の半分の中央値が第3四分位数です。第3四分位数から第1四分位数を引いた値を四分位範囲といいます。単位のある資料なら、四分位数も四分位範囲も元の値と同じ単位で表します。

図1のように、7個なら4番目を全体の中央値として取り出し、残りを3個ずつに分けます。中央の値はどちらの半分にも入れません。両側を同じ個数に分け、中央の位置を一度決めてからそれぞれの中央を探すためです。中央の位置にある1個を、小さい方と大きい方の両方の集まりへ入れると、同じ1個を重ねて数えることになります。

図1では、小さい方の3個の2番目が第1四分位数、大きい方の3個の2番目が第3四分位数です。位置を示す文字は値そのものではありません。個数が変われば、その位置も変わります。

一方、8個なら全体の中央は4番目と5番目の間です。第2四分位数はその2個の平均ですが、元の値を資料から取り除きません。1〜4番目と5〜8番目に分け、それぞれの4個の中央2個の平均を取ります。全体の中央が値の上にあるか、値と値の間にあるかが、分け方の分かれ目です。

同じ値が複数あっても、測った果実の個数分だけ別々の位置を持ちます。中央にある値と同じ値が隣にあっても、除くのは中央の位置の1個です。値が同じだからと全部を消すと、資料の個数が変わります。

範囲は最大値から最小値を引いたものです。四分位範囲は中央付近の半分の広がりを表す指標で、両端の値そのものを引くわけではありません。どちらも差なので負にはなりませんが、同じ資料から求めても別の値になることがあります。

基本例題：7個の果実

ある果実7個の質量は、単位をgとして、次の通りです。第1、第2、第3四分位数と四分位範囲、範囲を、それぞれgで求めてください。

68、52、74、60、56、80、64

まず小さい順に並べると、52、56、60、64、68、74、80です。図2のように、7個の4番目の64を中央として除きます。左に52、56、60、右に68、74、80が残ります。並べ替え後も7個あり、元の値がそれぞれ1回ずつあることを照合します。

図2で左側の中央は56、右側の中央は74です。したがって第1四分位数は56 g、第2四分位数は64 g、第3四分位数は74 gです。差を計算すると次の通りです。

四分位範囲 = 74 - 56
           = 18 g
範囲 = 80 - 52
     = 28 g

18 gは両端の80 gと52 gの差ではありません。74 gと56 gの間隔です。検算では、中央の左右に3個ずつあること、56の左右に左側の値が1個ずつあること、74についても右側に1個ずつあることを元の7個に戻して確かめます。範囲は最大の果実と最小の果実に戻って差を取ります。

並べ替え前の4番目は60ですが、それを中央値にしてはいけません。入力された順番には大きさの順という意味がないからです。並べ替えを省いて中央を取ると、計算が正しくても位置の根拠が崩れます。

標準例題：偶数個を二度分ける

別の果実8個の質量は、gで、41、49、55、61、67、73、79、87です。3つの四分位数と四分位範囲、範囲をgで求めてください。

すでに昇順で、全体の中央は4番目の61と5番目の67です。2つの平均を第2四分位数とします。小さい方は41、49、55、61、大きい方は67、73、79、87です。それぞれ4個なので、各半分でも中央の2個の平均を取ります。

第1四分位数 = (49 + 55)/2 = 52 g
第2四分位数 = (61 + 67)/2 = 64 g
第3四分位数 = (73 + 79)/2 = 76 g
四分位範囲 = 76 - 52 = 24 g
範囲 = 87 - 41 = 46 g

全体の中央に使った61と67は、半分に分けた後も元の資料に残ります。第1四分位数の52 gは実際に測った値にはありませんが、49 gと55 gの中央を表す正しい値です。中央値は必ず資料に含まれるという思い込みを外してください。

検算として、各半分が4個であることを数え、49と55の平均が52、73と79の平均が76であることを確かめます。61と67の平均は64です。元の最小41と最大87の差は46であり、四分位範囲の24とは別の意味です。

発展例題：重複した中央と端の変化

果実9個の質量が、gで、30、38、42、50、50、50、58、62、70と並んでいます。3つの四分位数、四分位範囲、範囲をgで求めてください。また、他の8個はそのままで最大値70 gを90 gに取り換えたとき、四分位範囲と範囲がどう変わるか答えてください。

9個なので5番目の50が第2四分位数です。この位置を除くと、小さい方は30、38、42、50、大きい方は50、58、62、70です。中央と同じ50が両側に残りますが、それらは別の果実です。

第1四分位数 = (38 + 42)/2 = 40 g
第2四分位数 = 50 g
第3四分位数 = (58 + 62)/2 = 60 g
四分位範囲 = 60 - 40 = 20 g
範囲 = 70 - 30 = 40 g

70を90に替えても順番は最後のままで、左右の半分の中央に使う38、42、58、62は変わりません。四分位範囲は20 gのままです。範囲は90 − 30で60 gとなり、20 g増えます。元の条件へ戻すと、変更前も変更後も9個で、50は3個のままです。最大値の変更が常に四分位範囲を変えないという意味ではなく、この資料では四分位数に使う順位の値が変わらないという説明です。

たとえば最大値以外を変更したり、替えた値が並べ替え後に別の位置に入ったりすれば、計算に使う値が変わる場合があります。端の値を見た目だけで判断せず、変更後に改めて順序と順位を確かめます。四分位範囲が同じでも、範囲や個々の値まで同じとは限りません。

間違いを位置に戻して直す

図3のように、7個の資料の4番目を左右の両方に入れて4個ずつとする誤りがあります。このとき元の7個を8個分として数えています。全体の中央値は4番目と記録した後、上下の半分からは除き、3個ずつに分け直します。

図3の誤った分け方でも左右の個数は等しくなります。個数が等しいことだけでは十分ではなく、中央の位置を重複して数えていないかも確かめます。図の正しい分け方では、3個と中央1個と3個を合わせて元の7個です。

もう一つの誤りは、四分位範囲を最大値と最小値の差にすることです。基本例題で80 − 52 = 28 gと書いたなら、それは範囲としては正しいものの、四分位範囲の答えではありません。原因は「範囲」という言葉だけを見て、引く2つの値を確認していないことです。第3四分位数74 gから第1四分位数56 gを引き、18 gと直します。

また、重複値を1種類につき1個だけ残して並べると、順位が変わります。測定値の一覧では同じ数字でも別の果実を表します。消す前に個数を数え、奇数個の中央を除いた後も、除いた位置以外の同じ値を残してください。

練習：まず5問を考える

次の資料はすべて自作の果実の質量です。各問で指定された量をgで答えてください。小さい順でない資料は並べ替えてから取り組みます。

1. 5個の質量が24、12、20、16、28です。3つの四分位数と四分位範囲を求めてください。
2. 6個の質量が33、21、45、27、39、51です。3つの四分位数と範囲を求めてください。
3. 7個の質量が14、18、18、18、22、26、30です。3つの四分位数と四分位範囲を求めてください。
4. 8個の質量が32、36、40、44、48、52、56、60です。四分位範囲と範囲を求めてください。
5. 9個の質量が10、15、20、25、30、35、40、45、50です。最大値を65に替える前後の四分位範囲と範囲をそれぞれ求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 昇順は12、16、20、24、28です。中央の20を除くと左右は12、16と24、28です。第1四分位数は(12 + 16)/2 = 14 g、第2は20 g、第3は(24 + 28)/2 = 26 g、四分位範囲は26 − 14 = 12 gです。5個のうち中央1個と左右2個ずつを数え直せます。

2. 昇順は21、27、33、39、45、51です。全体中央は33と39なので第2四分位数は36 gです。左右の3個の中央から第1は27 g、第3は45 gです。範囲は51 − 21 = 30 gです。全体の中央に使った33と39もそれぞれの半分に残り、6個が元の資料に対応します。

3. 4番目の18を除くと、左は14、18、18、右は22、26、30です。第1は18 g、第2は18 g、第3は26 g、四分位範囲は26 − 18 = 8 gです。中央と同じ18が左に2個残ることを、7個の元の並びに戻して確認します。

4. 左の4個の中央は36と40、右の4個の中央は52と56です。第1は38 g、第3は54 gなので、四分位範囲は54 − 38 = 16 gです。範囲は60 − 32 = 28 gです。端の32と60、四分位数に使う4つの値をそれぞれ元の順に戻して確かめます。

5. 5番目の30を除き、左の中央は15と20、右の中央は40と45です。第1は35/2 g、第3は85/2 gなので、四分位範囲は85/2 − 35/2 = 25 gです。50を65に替えても最後の位置で、中央に使う4値は変わらず、四分位範囲は25 gです。範囲は変更前が50 − 10 = 40 g、変更後が65 − 10 = 55 gです。変更後も9個で最小が10、最大が65であることを元の場面に戻して確かめます。

比較するときの読み方

四分位範囲が小さい資料は、第1四分位数と第3四分位数の間隔が狭い資料です。ただし、その情報から果実の質量がすべて同じだとは言えません。両端の値が離れている場合もあるので、範囲も併せて見ると別の側面を確認できます。

また、四分位数は順位に基づく値です。資料を何個集めたか、同じ数値が何個あるかを取り違えると、中央の位置から変わります。計算結果の大小を眺める前に、元の個数へ戻って数え直す習慣が役立ちます。

手元に残す4行

小さい順に並べ、個数と中央の位置を決めます。
奇数個の全体の中央は、上下の半分から除きます。
各半分の中央値が第1、第3四分位数です。
四分位範囲は第3から第1を引き、範囲は最大から最小を引きます。

どこで迷ったかを見つける

お子さまが答えを間違えたときは、最初に並べ替えた列と個数を見ます。列が正しければ、全体の中央に印を付け、その後に上下の半分を囲んでもらいます。奇数個で中央が両方に入っていれば、左右と中央を合わせた個数が元の個数と一致するかを尋ねると、重複を自分で発見できます。

個別指導で確かめるなら、偶数個の資料でも中央の2値を消していないか、各半分の個数に応じて平均を取っているかを、書いた列に沿って確認します。差の計算だけ間違えた場合は、何から何を引くかを言葉に戻します。順位を説明できれば、同じ値が並ぶ資料でも四分位数の位置を追えます。