中2数学 箱ひげ図の比較—五つの値で読めることと決められないことを分ける｜武蔵野個別指導塾

共通目盛りの箱ひげ図から中央値と散らばりを比べます。同じ五つの値でも人数や平均が異なる自作データを使い、図だけで判断できる範囲を見極められます。

よくあるのは、横に並んだ箱ひげ図を見て、箱が長い集団ほど人数も多いと判断する場面です。箱の長さは人数ではなく、四分位数の間の値の幅を表します。人数が違っていても、5つの値が同じなら、同じ箱ひげ図になることがあります。逆に同じ人数でも、データの広がりによって箱の長さは変わります。図から読み取れることと、元のデータが必要なことを分けて考えましょう。

ここで扱う箱ひげ図は、中2のデータの活用で学ぶものです。例は比較のために作ったデータで、実際の調査結果ではありません。ひげは最小値と最大値まで引き、特定の値を別の印で表す方法は使いません。

比較で問われること

箱ひげ図の問題には、主に3つの出方があります。1つ目は、元のデータから5つの値を求めて図にする問題です。小さい順に並べ、中央値とその両側の中央値を決め、目盛り上に位置を取ります。値の順番と目盛りの間隔が合っているかを見ます。

2つ目は、同じ目盛りに描かれた2つの図から、中央値や散らばりを比べる問題です。中央値が大きい方、全体の範囲が広い方、箱の幅が広い方は、それぞれ別の問いです。どこからどこまでの差を求めるのかを言葉で確かめてから計算します。

3つ目は、図だけから言えるかどうかを判断する問題です。平均や人数を読み取ろうとしたときは、同じ図になる別のデータを作れないか考えます。1組でも異なる答えが見つかれば、図だけで答えを決めることはできません。順位、平均、小数や分数の計算がここで役立ちます。

5つの位置が表すもの

データを小さい順に並べたとき、最小値は最初、最大値は最後の値です。中央値は中央の値で、個数が偶数なら中央の2つの平均を取ります。中央値は第2四分位数ともいいます。第1四分位数は小さい方の半分の中央値、第3四分位数は大きい方の半分の中央値です。

個数が奇数のときは、全体の真ん中の値を両側の半分に入れずに分けます。たとえば9個なら5番目を全体の中央値とし、1〜4番目と6〜9番目の中央をそれぞれ求めます。偶数のときは真ん中で同数に分けます。同じ値が何回出ても、それぞれ1個として数えます。

図1のように、最小値から第1四分位数までが左のひげ、第1四分位数から第3四分位数までが箱、第3四分位数から最大値までが右のひげです。箱の中の線は中央値です。ここでは小さい値を左に置く横向きの図を使います。

図1の目盛りでは、最小値が2、第1四分位数が5、中央値が9、第3四分位数が13、最大値が16です。箱の幅は13 − 5 = 8、全体の範囲は16 − 2 = 14です。箱とひげを合わせた長さと箱の幅は、別の量を表します。

箱は真ん中付近のデータの広がりを、ひげは端の方への広がりを見やすくします。ただし箱の左半分に含まれる個々の値が、目盛りの上に均等に並んでいるとは限りません。箱の左端と中央値の間をさらに二等分しても、そこが必ず別のデータの値になるわけではありません。

箱の幅は第3四分位数から第1四分位数を引いた四分位範囲です。単位は元のデータと同じです。最小値から最大値までの範囲は両端の影響を受け、四分位範囲は両端の値を直接は使いません。どちらか一方だけを見て、散らばりのすべてを言い切らないことが大切です。

基本例題: 同じ目盛りに2組を描く

2つの班が、それぞれ8枚のカードを作りました。カードに書いた長さのデータを小さい順に示します。単位はcmです。

A: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
B: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

それぞれの5つの値を求め、同じ目盛りに箱ひげ図を描いてください。また、中央値と四分位範囲を比べ、長さはcmで答えてください。

Aは8個なので、4番目と5番目の平均が中央値です。前半の4個と後半の4個についても、中央の2個を使います。

中央値 = (8 + 10)/2 = 9
第1四分位数 = (4 + 6)/2 = 5
第3四分位数 = (12 + 14)/2 = 13
四分位範囲 = 13 - 5 = 8

最小値は2、最大値は16です。したがってAの5つの値は、小さい方から2、5、9、13、16です。8個に戻ると、前半は2、4、6、8の4個、後半は10、12、14、16の4個で、分け落とした値はありません。

Bについても、同じ順に位置を確認します。

中央値 = (7 + 9)/2 = 8
第1四分位数 = (3 + 5)/2 = 4
第3四分位数 = (11 + 13)/2 = 12
四分位範囲 = 12 - 4 = 8

Bの5つの値は1、4、8、12、15です。前半3と5、後半11と13の平均がそれぞれ箱の端になることも、元の並びから確かめられます。中央値はAの方が1 cm大きく、四分位範囲はどちらも8 cmです。

図2のように0から16までを共通の目盛りに取り、5つの値の位置を決めます。Aでは2から5に左のひげ、5から13に箱、9に中央値の線、13から16に右のひげを描きます。Bも1、4、8、12、15を同じ目盛りに置きます。

図2ではAの箱が右にありますが、2つの箱の幅は同じです。中央値の大小と箱の幅の大小は別に読みます。Aの値が全員分Bより大きいかどうかは、箱ひげ図だけでは比べられません。今回の元データでは同じ順位の値がそれぞれ1 cm違うことまで確認できますが、それは元の8個を見て得た情報です。

標準例題: 同じ図でも平均が違う

9個の数からなる次の2組について、5つの値と平均を求め、箱ひげ図と平均がそれぞれ同じか答えてください。数は小さい順に並べてあります。

C: 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15
D: 1, 1, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 15

どちらも9個なので、5番目の8が中央値です。Cの小さい方の4個は1、2、4、6で、その中央値は(2 + 4)/2 = 3です。大きい方の4個は10、12、14、15で、その中央値は(12 + 14)/2 = 13です。両端は1と15です。

Dでは小さい方の4個が1、1、5、7なので、中央値は(1 + 5)/2 = 3です。大きい方の4個は10、11、15、15なので、中央値は(11 + 15)/2 = 13です。Dの両端も1と15です。よって、CとDの5つの値はともに1、3、8、13、15で、同じ目盛りに描けば同じ図になります。

それぞれの合計と平均は次のとおりです。

Cの合計 = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 15 = 72
Cの平均 = 72/9 = 8
Dの合計 = 1 + 1 + 5 + 7 + 8 + 10 + 11 + 15 + 15 = 73
Dの平均 = 73/9

確かめに平均を9倍すると、Cは72、Dは73となり、それぞれの元の合計に戻ります。CとDは図が同じでも平均が異なります。箱ひげ図の5つの値は合計を表していないため、図だけから平均を決められません。

平均が違う理由は、第1四分位数などが、中央にある値の平均で決まる一方、全体の平均は9個すべてを足して決まるからです。たとえばCでは前半の中央2個が2と4、Dでは1と5で、どちらの平均も3です。その周りの値も含めた合計は同じとは限りません。

発展例題: 人数を決められるか

Cの9個を9人が1人1個ずつ記録した得点とします。別の集団Eの記録が次の8個だったとき、CとEの箱ひげ図を比べ、図だけで人数の大小が決まるか答えてください。得点は小さい順です。

E: 1, 2, 4, 8, 8, 12, 14, 15

Eは8個なので、中央値は4番目と5番目の平均です。前半と後半をそれぞれ4個ずつに分けます。

中央値 = (8 + 8)/2 = 8
第1四分位数 = (2 + 4)/2 = 3
第3四分位数 = (12 + 14)/2 = 13

最小値は1、最大値は15です。Eの5つの値も1、3、8、13、15なので、Cと同じ箱ひげ図です。しかしCは9人、Eは8人です。1人につき1個という条件へ戻って数えると、人数が異なることを確かめられます。同じ図で人数が異なる例があるので、図だけでは人数は決まりません。

この例では箱の幅もともに13 − 3 = 10です。幅が10というのは得点の差を表し、10人を表すわけではありません。もし図に人数が別途書かれていれば、その注記から人数を読むことはできます。図の形から読んだ値と、図の外に与えられた情報は区別しましょう。

別の確かめ方として、箱の端と中央値だけをまず固定し、その値を保つように中央の2個を選ぶこともできます。ただし、選んだ数が小さい順に並ぶこと、両端が最小値と最大値であること、奇数個なら全体の中央値を除いて分けることを最後に点検します。見た目が似ているだけでは同じ図の証拠になりません。

読み間違いを直す

誤答1は「箱の幅が広い方が人数も多い」です。原因は、横方向の長さを個数と結びつけてしまうことです。図の横軸は値の目盛りであり、箱の幅は第3四分位数と第1四分位数の差です。CとEでは人数が違っても箱の幅は同じでした。逆に同人数で箱の幅が異なることもあり、人数の比較は人数の情報を別に確認します。

誤答2は「箱の中央の線が平均です」です。原因は、代表的な値を表す線だと見て、中央値と平均を同じものとして扱うことです。中央の線は、小さい順に並べたときの中央から求めた中央値です。平均は合計を個数で割ります。図3のように同じ図を持つCとDでも平均は違い、中央値8は共通です。

図3の箱とひげは両方に共通する5つの値を示しています。下の平均は元の9個を計算した結果です。図だけから平均を読み取ったのではない点が、誤答を直す鍵です。

誤答3は、目盛りの刻み方が違う図を見て、紙の上の長さだけで箱の幅を比べることです。たとえば1目盛りが1の図と2の図では、同じ紙の長さでも表す差が違います。端の値を読んで引き算するか、共通の目盛りに描き直します。値の位置が目盛りにない場合は、単位と刻みを確認してから途中の位置を決めてください。

もう1つ、中央値が高い集団について「全員の値がもう一方の全員より高い」とする読み方も危険です。中央値の大小が示すのは中央の位置の比較です。最小値や最大値、箱の重なりを確認し、それでも個々の値の対応までは図だけで決めないようにします。

練習問題

いずれも自作データです。ひげは最小値と最大値まで引きます。数値を答える問題では単位を添え、割り切れない値は分数で答えてください。

1. 6枚の板の幅が、小さい順に3、5、7、9、11、13 mmです。5つの値と四分位範囲を求め、0から14までの共通の目盛りを使う箱ひげ図にしてください。
2. 7本のリボンの長さが、小さい順に4、6、6、10、12、14、18 cmです。5つの値と全体の範囲を求めてください。
3. 2組の記録の5つの値が、Fは2、4、7、10、14、Gは1、5、8、11、13です。共通目盛りで比べたとき、中央値が大きい方、四分位範囲が大きい方、全体の範囲が大きい方を答えてください。値の単位は点です。
4. ある集団の箱ひげ図の5つの値は0、2、4、6、8点です。人数も平均も図だけで決まるといえるでしょうか。人数または平均が異なり、この図に合うデータを2組示して説明してください。
5. ある鉛筆の長さのデータは、5つの値が順に6、8、10、12、16 cmです。「12 cm以上の鉛筆が必ずちょうど全体の4分の1である」という判断は正しいでしょうか。条件に合うデータを1組作って答えてください。

練習の答えと考え方

1. 6個なので、3番目と4番目の平均が中央値です。小さい方3個の中央は5、大きい方3個の中央は11です。

中央値 = (7 + 9)/2 = 8 mm
四分位範囲 = 11 - 5 = 6 mm

5つの値は3、5、8、11、13 mmです。目盛りの3から5、11から13にひげを引き、5から11の箱の中の8に線を引きます。元の並びで前半が3、5、7、後半が9、11、13と3個ずつあることを確かめます。

2. 7個の中央である4番目の10を除き、前半4、6、6と後半12、14、18に分けます。前半の中央値は6、後半の中央値は14です。

全体の範囲 = 18 - 4 = 14 cm

5つの値は4、6、10、14、18 cmです。前半には6が2個ありますが、同じ値でも2個として数えます。元の7本に戻ると、3本、中央の1本、3本に分かれます。

3. 中央値はFが7点、Gが8点なのでGの方が大きいです。四分位範囲はFが10 − 4 = 6点、Gが11 − 5 = 6点で同じです。全体の範囲はFが14 − 2 = 12点、Gが13 − 1 = 12点で同じです。各結果を5つの値に戻して、中央値は中央、箱の幅は2番目と4番目の差、全体は両端の差と対応させます。

4. 決まるとはいえません。たとえば、次の各組は1人につき1個の得点を記録したものとします。

H: 0, 1, 3, 4, 4, 5, 7, 8
P: 0, 1, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 8
Q: 0, 0, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 8

Hは8人です。中央値は(4 + 4)/2 = 4点、前半の中央値は(1 + 3)/2 = 2点、後半の中央値は(5 + 7)/2 = 6点です。両端は0点と8点です。

PとQは9人ずつで、中央値の4を除いて分けます。Pの前半の中央は1と3、後半の中央は5と7です。Qの前半の中央は0と4、後半の中央は5と7です。どちらも第1四分位数は2点、第3四分位数は6点、両端は0点と8点で、Hと同じ図になります。Hは8人、Pは9人なので、図だけでは人数を決められません。

Pの合計は36点で平均4点、Qの合計は37点で平均37/9点です。平均をそれぞれ9倍すると元の合計に戻ります。同じ図でも平均が異なるので、平均も決まりません。なおQの前半を0、0、4、4の4個として数えることが必要です。同じ0や4を1個にまとめると、四分位数を正しく求められません。

5. 正しくありません。たとえば6、8、8、10、12、12、16 cmという7本を考えます。中央の10を除くと、前半の中央値は8、後半の中央値は12です。両端は6と16で、指定の5つの値に合います。12 cm以上は12、12、16の3本で、全体の3/7です。3/7は1/4と等しくありません。同じ値が第3四分位数に重なる場合もあり、境界を含む本数を図だけでちょうど4分の1と決めることはできません。

覚えておきたいこと

• 5つの値を小さい順に置き、ひげは最小値と最大値まで引きます。
• 共通目盛りで中央値、箱の幅、全体の範囲を別々に比べます。
• 箱の幅は四分位範囲で、人数を表しません。
• 平均や人数は、箱ひげ図だけでは決まりません。
• 判断に迷ったら、同じ5つの値を持つ別のデータを作って確かめます。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが図を描けないときは、最初に並び替えたデータと個数を見ます。中央を決める前に値を飛ばしていれば、順番と個数に戻ります。奇数個で中央を両方に入れた場合は、左右の個数を数え直します。5つの値は正しいのに箱がずれる場合は、目盛りの1区間が表す量と、値を置いた位置を確かめます。

個別に説明を聞く場面では、「箱の幅はどの2つの値の差か」「その図から人数を決められるか」を図を指しながら尋ねると、計算と読み取りのどちらで迷っているか見えます。反例を作るときは、作ったデータを並べ直して5つの値を再計算し、異なる人数や平均も元のデータから数え直します。箱ひげ図が見せる範囲を守ることで、比較の言葉は正確になります。