中1数学 文字式の値と代入—負の数や分数を括弧に入れて符号の誤りを直す｜武蔵野個別指導塾

負の数と分数を文字の位置に括弧付きで代入し、二乗の範囲や係数を保って計算します。分母が0になる場合も判断します。

よくあるのは、文字に負の値を入れるとき、二乗する範囲が変わってしまう場面です。例えば x² の x に負の数を入れるのに、負号を二乗の外へ出して計算すると、もとの式が指定していた操作とは違ってしまいます。答えの符号が違うときは、最後の足し算からやり直す前に、文字をどの数で置き換えたかを見てみましょう。

文字式の値とは、文字に数をあてはめて計算した結果です。代入は、そのあてはめる操作をいいます。数を入れる場所と、その数にする操作を区別すれば、負の数でも分数でも同じ手順を使えます。ここでは式の整理を先に進めず、与えられた式の形を保って値を求めます。

どこに数を入れる問題か

出方の1つは、1つの文字に決まった数を入れる型です。文字が繰り返し現れたら、そのたびに同じ数を入れます。係数が付いている場所では、係数と代入した数の積を計算します。文字の右上にある ² は、文字に入れた数全体を2回掛ける指示です。

もう1つは、2種類の文字にそれぞれ別の数を入れる型です。文字と数の対応を先に並べ、片方の文字にもう片方の数を入れないようにします。文字の位置が近くても、与えられた対応は入れ替えません。分数の横線の上と下のどちらに文字があるかも、代入前に確かめます。

3つ目は、同じ式に違う数を順に入れて結果を比べる型です。前に求めた結果を次の文字の値として使うのではなく、毎回、最初の文字式に戻ります。負の値を正の値に変えると、二乗の部分とそのままの文字の部分がそれぞれどう変わるかに注目します。

代入は文字と数の対応から始める

文字に数を代入するときは、文字1個をその数全体に置き換えます。図1のように、x に -2 を入れるなら、x² と 3x の両方の x に同じ -2 を入れます。図の欄は、文字があった位置と、そこに入った数の対応を表します。

図1では x² の ² が括弧の外にあります。これは -2 全体を二乗するためです。一方、3x の 3 は x に掛かる係数なので、3・(-2) と書けます。括弧は数の境目を示し、もとの式の演算を変えずに読み直すための道具です。

(-2)² は (-2)・(-2) なので 4 です。これに対して -2² は、2² の前に負号がある形で、-(2・2) = -4 です。似て見えますが、二乗する範囲が違います。負号を含む数を代入した位置には括弧を付け、その外に元の ² を残すと、この違いが見えます。

分数も1つの数として扱います。例えば文字に 2/3 を入れ、その文字を二乗するなら (2/3)² です。これは (2/3)・(2/3) = 4/9 で、分子と分母のそれぞれが2回掛けられます。負の分数なら、負号も含めて括弧に入れます。分母に文字があるときは、代入後の分母が 0 にならないか先に確かめます。0 で割ることはできないため、分母が 0 ならその式の値は求められません。

数を入れる前に、式の読み方を声に出す方法もあります。x² + 3x なら「x の二乗と、x の3倍の和」です。代入後も「入れた数の二乗と、その数の3倍の和」と読めれば、操作の対応が保たれています。二乗と3倍を先に足すのではなく、それぞれの結果を求めてから和にします。

数の符号が正であっても、括弧を書いておくと位置を確認できます。後で負の値に変えた場合も同じ場所へ数を入れ直せます。ただし括弧を付けること自体が計算の答えではありません。括弧の外の二乗、係数、引き算が何を対象にしているかを読み、その順に計算することが必要です。

分数の横線がある式では、横線より上の全体が分子、下の全体が分母です。分子や分母に和があるときは、そのまとまりを先に求めます。代入後に分母が 0 になる場合は、途中で割り算を実行せず、値を求められないと答えます。符号の計算が正しくても、0 で割る式には数の値を割り当てられません。

基本例題：負の数を2か所に入れる

次の問題は整数で答えてください。

式 x² + 3x に、x = -2 を代入した値を求めます。

対応は x と -2 です。図2のように、二乗される x と 3 倍される x をそれぞれ括弧に置き換えてから計算します。

x² + 3x
= (-2)² + 3・(-2)
= (-2)・(-2) + (-6)
= 4 + (-6)
= -2

答えは -2 です。図2の上段では両方の x に -2 が入り、下段では二乗と掛け算を先に計算しています。二乗の結果 4 と、3 倍の結果 -6 は別の部分の値です。これらを足すと -2 になります。

元の指示に戻して確かめます。-2 を2回掛けると 4、-2 の3倍は -6 です。4 と -6 の和は -2 なので、2つの部分を取り違えていません。ここで (-2)² を -4 とすると、二乗の範囲から負号が外れます。最後の和を何度計算しても、その前の置き換えが違うままでは元の式に戻れません。

同じ式で x = 2 とすると、2² + 3・2 = 4 + 6 = 10 です。x = -2 のときも二乗は 4 ですが、3x は -6 になります。符号を反対にしたとき、二乗の部分と3倍の部分は同じ変化をするとは限りません。値が違った理由を部分ごとに説明すると、比較が答えの大小だけで終わりません。

標準例題：負の分数と2種類の文字

次の問題は分数で答えてください。

式 2a − b² に、a = -3/4、b = 1/2 を代入した値を求めます。

対応は a と -3/4、b と 1/2 です。2a は a の2倍、b² は b の二乗です。引き算の右側にある b² は、b を二乗してから引きます。引き算の符号まで二乗の中に入れないようにします。

2a - b²
= 2・(-3/4) - (1/2)²
= -6/4 - (1/2)・(1/2)
= -3/2 - 1/4
= -6/4 - 1/4
= -7/4

答えは -7/4 です。-3/2 を -6/4 に直したのは、1/4 と分母をそろえて引くためです。元の式に戻ると、a の2倍は -3/2、b の二乗は 1/4 です。-3/2 から 1/4 を引けば -7/4 になり、元の2つの操作に合います。

もし b を -1/2 に変えると、二乗は (-1/2)・(-1/2) = 1/4 です。a を変えなければ、式の値は変わりません。ただし b² ではなく b がそのまま引かれる式なら、この判断は使えません。符号を変えた文字が、式のどの位置にどう現れるかを先に見ます。

発展例題：分母の条件と値の比較

次の問題では、それぞれの値を分数で答え、どちらが大きいか答えてください。

式 (y² + 1)/y に、y = -2 と y = 1/2 をそれぞれ代入します。

分母が y なので、まず入れる値が 0 でないことを確かめます。-2 も 1/2 も 0 ではないため、どちらも計算できます。分数の横線は、分子全体を分母で割ることを表します。分子の y² + 1 を計算し終えてから割ります。

(y² + 1)/y
= {(-2)² + 1}/(-2)
= (4 + 1)/(-2)
= 5/(-2)
= -5/2

(y² + 1)/y
= {(1/2)² + 1}/(1/2)
= (1/4 + 1)/(1/2)
= (5/4)/(1/2)
= (5/4)・2
= 5/2

答えは順に -5/2、5/2 で、後の 5/2 の方が大きいです。1/2 で割る操作を2倍に直すとき、分子の和全体に適用しています。1 だけを 1/2 で割って足すと、横線が示す範囲と合いません。

元の条件へ戻すには、求めた商にそれぞれの分母を掛けます。(-5/2)・(-2) = 5 で、これは (-2)² + 1 = 5 と一致します。また (5/2)・(1/2) = 5/4 で、(1/2)² + 1 = 5/4 と一致します。分子と分母を別々に確かめてから掛け戻すと、割る範囲の間違いも見つけやすくなります。

条件が y = 0 に変わった場合はどうでしょうか。分子は 0² + 1 = 1 ですが、分母は 0 です。1 を 0 で割る計算はできないので、式の値は定まりません。分子を計算できたことと、式全体の値が存在することは別の判断です。

誤った行から戻る

図3は、t = -3 を t² − 2 に入れたときの誤答と修正です。誤答は、代入直後に -3² − 2 と書いています。これでは 3 だけが二乗され、-3 全体を二乗するという元の指示を保てません。

図3の修正では、文字 t のあった位置に (-3) を入れ、その外に ² を残します。(-3)・(-3) = 9 ですから、9 − 2 = 7 です。負号を消したのではなく、負の数同士の積が正になったことを示しています。答え 7 を確認するときも、-3 の二乗が 9 で、そこから 2 を引いたとたどれます。

別の失敗として、同じ文字の片方だけを置き換えることがあります。x² + 3x で最初の x を -2 にした後、後ろの x を残すと数だけの式になりません。文字を指で追い、代入前の文字の数と代入後の括弧の数を照らします。異なる文字がある場合は、それぞれの対応を別に記録します。

分数の代入では、括弧を省いて掛ける範囲を狭める失敗もあります。例えば 2a の a に -3/4 を入れるなら、2・(-3/4) です。2 と分子だけを計算しても結果は求められますが、まず分数全体を2倍する操作を書けば、どの数を入れたかが残ります。計算が合っていても、途中で対応が消えていないかを見直しましょう。

練習：入れる位置と操作を言葉にする

次の5問は、答えを整数または約分した分数で書いてください。計算の途中に、代入した数を括弧で示します。

1. p = -4 のとき、p² + 2p の値を求めてください。
2. q = -2/3 のとき、3q − q² の値を求めてください。
3. m = 3、n = -1/2 のとき、m + 4n² の値を求めてください。
4. 式 (r + 2)/r に r = 0 を入れた値は求められますか。理由も書いてください。
5. s² − s に s = 3 と s = -3 をそれぞれ代入し、値を比べてください。二乗の部分と引く部分の変化も説明してください。

解答とたどり方

1. p に -4 を2か所とも入れます。

p² + 2p
= (-4)² + 2・(-4)
= 16 + (-8)
= 8

答えは 8 です。元の式の各部分に戻ると、-4 の二乗は 16、2倍は -8 で、その和が 8 です。

2. q は負の分数全体です。二乗を先に計算します。

3q - q²
= 3・(-2/3) - (-2/3)²
= -2 - 4/9
= -18/9 - 4/9
= -22/9

答えは -22/9 です。元の操作でも、-2/3 の3倍は -2、二乗は 4/9 なので、-2 から 4/9 を引いた値と一致します。

3. m と n は別の数です。n の二乗の後に 4 を掛けます。

m + 4n²
= 3 + 4・(-1/2)²
= 3 + 4・(1/4)
= 3 + 1
= 4

答えは 4 です。元の指示どおり、-1/2 の二乗の4倍は 1、それに m の値 3 を足すと 4 です。4n 全体を二乗する式とは違います。

4. 求められません。r = 0 では分子は 0 + 2 = 2、分母は 0 になり、2 を 0 で割ることになるからです。分母を掛け戻しても、どの数に 0 を掛けても 2 にはならず、商を決められません。

5. それぞれ最初の式から計算します。

s² - s
= 3² - 3
= 9 - 3
= 6

s² - s
= (-3)² - (-3)
= 9 + 3
= 12

答えは順に 6、12 で、後の値が大きいです。どちらも二乗の部分は 9 ですが、引く数は 3 から -3 に変わります。元の式に戻しても、9 から 3 を引くと 6、9 から -3 を引くと 12 です。

確認の目印

• 文字と代入する数の対応を決め、同じ文字の各位置に同じ数を入れます。
• 負の数や分数を括弧に入れ、二乗や係数を元の位置に残します。
• 分母に文字があるときは、代入後に 0 にならないか調べます。
• 部分ごとに計算し、元の操作や掛け戻しで答えを確かめます。

途中式を見て、括弧の中身は正しいのに符号が違うなら、二乗や引き算をどの順に行ったかを確認します。最初から別の数が入っていれば、文字と数の対応に戻ります。お子さまが答えだけを書いたときも、どの位置に何を入れたかを言葉で聞くと、置き換えと計算のどちらで止まったかを見分けられます。

個別指導で確かめるなら、同じ式に正の数とその反対の数を入れ、二乗の部分とそれ以外の部分を別々に説明してもらいます。次に分母が 0 になる値を渡し、計算を続けず条件を判断できるかを見ます。代入した数のまとまりを保つことが、式の指示をそのまま計算へ渡します。