数検準2級 二次関数の定義域—動く区間と軸の位置を比べて場合分けを作る｜武蔵野個別指導塾

端点が移動するとき、軸を含む条件と両端の高さを比べる手順を例題でたどり、境界まで動く区間を追います。

よくあるのは、受験者が端点の動く問題で、最初に描いた1枚のグラフだけを見て答えを決める場面です。放物線はそのままでも、値を調べる部分は左右へ移ります。ある位置では頂点を含み、別の位置では含みません。端点のどちらが高いかも入れ替わります。鉛筆で区間を動かすつもりで軸との位置関係を分けると、答えの式が変わる理由を追えます。

どの位置で答えが変わるか

二次関数の定義域とは、変数 x が取れる範囲です。たとえば a ≦ x ≦ a + 2 では、a を決めると左端が a、右端が a + 2 になります。a が変わると、長さ 2 の区間が数直線上を移動します。ここで動くのは調べる範囲であり、関数の式や放物線の軸は固定されています。

出方の型としては、上に開く放物線の最小値を求める型、同じ放物線の最大値を両端で比べる型、最大値と最小値を両方求めて位置の境目を比較する型があります。最小値では頂点が区間内かどうかが中心です。最大値では頂点から遠い端点がどちらかを調べます。下に開く場合は最大と最小の役割が入れ替わります。

数検準2級の学習でこの型に取り組むときは、a を未知のまま計算し始める前に、いくつかの位置を描いてみます。問題中の数は以下の例題のために設定した値です。ここでは固定された放物線と移動する区間を扱い、2つの変数を同時に動かす最適化には広げません。

軸と端点を数直線で比べる

平方完成した y = (x − p)² + q のグラフは、頂点が (p, q)、軸が x = p です。平方の部分は 0 以上なので、この放物線は上に開き、軸から離れるほど y の値が大きくなります。ただし最小値 q を使えるのは、x = p が指定された区間に入るときです。

区間が a ≦ x ≦ a + L、ただし L > 0 とします。軸を含む条件は、左端が軸以下で、右端が軸以上という2つを同時に満たすことです。式では a ≦ p ≦ a + L、整理すると p − L ≦ a ≦ p です。等号があるのは、区間の端点自体も含まれているからです。

図1のように、区間が軸の左にある場合、軸を含む場合、右にある場合を数直線で見ます。左側では右端が軸に最も近く、右側では左端が最も近くなります。軸を含む場合は頂点が最小値の候補です。図は閉じた区間を示し、丸い点も範囲に含みます。

図1の3つの位置は、区間を固定した図を3枚並べたものです。実際には a の値は連続して変わり、右端が軸に達するときと左端が軸を通過するときが境目です。境目を言葉だけで処理せず、端点を p と等しく置いて求めると、符号の取り違えを防げます。

最大値は別に考えます。上に開く放物線では、閉じた区間の最大値は端点の一方で取ります。軸から両端までの距離が等しいときには、両端の値が等しくなります。区間の中点が軸と一致する位置を求めれば、どちらの端が遠いかの切り替わりも見えます。最小値の境目と最大値の境目は一般に同じではありません。

基本例題：最小値を求める

問題　関数 y = (x − 1)² + 2 の定義域を a ≦ x ≦ a + 2 とします。a は実数です。最小値を a の式または整数で表し、その式が成り立つ a の範囲も示してください。

頂点は (1, 2)、軸は x = 1 です。放物線は上に開きます。図2のように、長さ 2 の区間の両端が軸を通過する位置を調べます。

図2では、右端が軸に重なる位置と左端が軸に重なる位置を別々に示しています。まず右端について、次のように解きます。

右端が軸に重なるとき、a + 2 = 1

a = -1

次に左端について解きます。

左端が軸に重なるとき、a = 1

したがって、区間が軸の左にあるのは a < -1、軸を含むのは -1 ≦ a ≦ 1、右にあるのは a > 1 です。左側では右端 x = a + 2 が軸に一番近いため、ここで最小になります。代入を1行ずつ書きます。

最小値 = ((a + 2) − 1)² + 2

= (a + 1)² + 2

軸を含む場合は x = 1 を選べます。そのため最小値は 2 です。右側では左端 x = a が軸に一番近く、最小値は (a − 1)² + 2 です。まとめると次のようになります。

• a < -1 のとき、最小値は (a + 1)² + 2
• -1 ≦ a ≦ 1 のとき、最小値は 2
• a > 1 のとき、最小値は (a − 1)² + 2

たとえば a = -2 なら区間は -2 ≦ x ≦ 0 です。軸の左にあるので右端 x = 0 を代入し、最小値は 3 です。実際に区間を軸と比べると、0 が最も近いことも確認できます。a = 0 なら区間は 0 ≦ x ≦ 2 で、頂点の x = 1 を含みます。最小値 2 は範囲内の点で実現します。

境界でも元の区間へ戻します。a = -1 なら区間は -1 ≦ x ≦ 1、右端が頂点です。a = 1 なら区間は 1 ≦ x ≦ 3、左端が頂点です。どちらも最小値は 2 です。隣の式に境界を代入しても同じ値になりますが、解答では等号の所属を重複なく決めると読みやすくなります。

少し難しい例題：最大値と最小値を別々に分ける

問題　関数 y = (x − 2)² − 1 の定義域を t ≦ x ≦ t + 4 とします。t は実数です。最大値と最小値をそれぞれ t の式または整数で表し、対応する t の範囲を示してください。

頂点は (2, -1)、軸は x = 2 です。まず最小値の境目を作ります。右端が軸に重なるのは t + 4 = 2、すなわち t = -2 です。左端が重なるのは t = 2 です。区間が軸を含む条件は t ≦ 2 ≦ t + 4、つまり -2 ≦ t ≦ 2 となります。

軸の左側なら右端、右側なら左端が最も近い点です。よって最小値は次のように求まります。

• t < -2 のとき、(t + 2)² − 1
• -2 ≦ t ≦ 2 のとき、-1
• t > 2 のとき、(t − 2)² − 1

次に最大値を求めます。両端を代入すると、左端の値は (t − 2)² − 1、右端の値は (t + 2)² − 1 です。右端の値から左端の値を引きます。

((t + 2)² − 1) − ((t − 2)² − 1)

= (t² + 4t + 4) − (t² − 4t + 4)

= 8t

差が負なら左端、正なら右端の値が大きくなります。差が 0 なら両端が同じ高さです。したがって最大値は次のようになります。

• t ≦ 0 のとき、(t − 2)² − 1
• t > 0 のとき、(t + 2)² − 1

ここでは等しい t = 0 を前者に入れました。後者に入れても値は同じです。区間の中点は t + 2 なので、中点が軸 x = 2 と一致するのも t = 0 です。左へずれると左端が遠く、右へずれると右端が遠いことが、式の差の符号と対応します。

t = -1 を元の条件に戻すと、区間は -1 ≦ x ≦ 3 です。軸を含むので最小値は -1、左端は軸から 3、右端は 1 離れているので最大値は 8 です。t = 0 なら区間は 0 ≦ x ≦ 4 で、両端は軸からともに 2 離れ、最大値はどちらでも 3 です。最小値の場合分けの境目 -2 と 2 を、そのまま最大値の境目に使わないことが重要です。

誤答から位置関係を直す

基本例題で「最小値は常に 2」と答えたとします。頂点の値自体は正しいのですが、頂点の x 座標が定義域に入るかどうかを調べていません。たとえば a = 2 とすると区間は 2 ≦ x ≦ 4 です。x = 1 は選べず、最も近い左端 x = 2 で最小値 3 を取ります。

図3のように、頂点と区間を同じ数直線に置くと、答えに使った x が範囲外であることを見つけられます。軸を含む条件 a ≦ 1 ≦ a + 2 に戻り、-1 ≦ a ≦ 1 と解いてから、外側では近い端点を使うように修正します。

図3の破線は軸の位置 x = 1、太い線は定義域 2 ≦ x ≦ 4 を数直線上に示しています。頂点の x 座標1は太い線の範囲に含まれません。頂点がグラフ上にあることと、条件を満たす点として選べることは別です。数直線の印を x の値として読み、端点を含むかも問題文で確認してください。

もう1つの誤りは「左端が常に最大」とすることです。最大値は頂点からの距離によって決まります。区間が軸の右に移れば右端の方が遠くなります。端点の値を引いて差の符号を調べるか、中点と軸を比べて直します。係数が負の放物線なら距離が大きいほど値は小さくなるので、上に開く場合の最大と最小をそのまま転用しないでください。

練習問題

それぞれ文字は実数とします。答えは値を整数または文字を含む式で表し、式ごとに文字の範囲を示してください。区間の端点は含みます。

1. y = (x + 1)² + 3、b ≦ x ≦ b + 3 の最小値を求めてください。
2. y = (x − 3)²、c ≦ x ≦ c + 2 の最大値を求めてください。
3. y = -(x + 2)² + 5、d ≦ x ≦ d + 4 の最大値を求めてください。
4. y = (x − 4)² + 1、s ≦ x ≦ s + 2 の最小値が 2 となる s をすべて求めてください。答えは整数で表してください。

練習問題の答えと解き方

1

軸は x = -1 です。右端が軸に来るのは b + 3 = -1 より b = -4、左端が軸に来るのは b = -1 です。したがって最小値は、b < -4 で (b + 4)² + 3、-4 ≦ b ≦ -1 で 3、b > -1 で (b + 1)² + 3 です。

確かめとして b = -5 なら範囲は -5 ≦ x ≦ -2 で、軸に近い右端の値は 4 です。b = -2 なら範囲は -2 ≦ x ≦ 1 で軸を含み、頂点の値 3 を取れます。b = 0 なら範囲は 0 ≦ x ≦ 3 で、左端の値は 4 です。境界 b = -4 と -1 でも端点が軸に重なり、値は 3 です。

2

軸は x = 3、区間の中点は c + 1 です。中点が軸と等しいのは c = 2 なので、c < 2 では左端、c > 2 では右端が軸から遠くなります。c = 2 では両端が等しい高さです。最大値は c ≦ 2 で (c − 3)²、c > 2 で (c − 1)² です。

たとえば c = 1 なら 1 ≦ x ≦ 3 で、左端の値は 4 です。c = 3 なら 3 ≦ x ≦ 5 で、右端の値は 4 です。c = 2 なら区間は 2 ≦ x ≦ 4、両端の値はともに 1 です。最小値と違い、軸を含むだけで最大値は決まりません。

3

下に開くため、最大値は軸に最も近い点で取ります。軸 x = -2 を含む条件は d ≦ -2 ≦ d + 4、つまり -6 ≦ d ≦ -2 です。最大値は d < -6 で -(d + 6)² + 5、-6 ≦ d ≦ -2 で 5、d > -2 で -(d + 2)² + 5 です。

d = -7 なら区間は -7 ≦ x ≦ -3、右端で値 4 を取ります。d = -4 なら -4 ≦ x ≦ 0 に軸が入り、値 5 を取ります。d = -1 なら -1 ≦ x ≦ 3、左端で値 4 を取ります。d = -6 と -2 でも端点に頂点があり、最大値は 5 です。

4

軸は x = 4 です。右端が軸と重なるのは s = 2、左端が重なるのは s = 4 です。軸を含む 2 ≦ s ≦ 4 では最小値は 1 なので、求める条件には合いません。

s < 2 では最小値は (s − 2)² + 1 です。これが 2 となる式を解くと s − 2 = 1 または -1 ですが、s < 2 を満たすのは s = 1 です。s > 4 では最小値は (s − 4)² + 1 です。同様に解いて、s > 4 を満たす s = 5 を得ます。答えは s = 1、5 です。

元の区間に戻すと、s = 1 では 1 ≦ x ≦ 3、軸に近い右端 x = 3 で値 2 です。s = 5 では 5 ≦ x ≦ 7、軸に近い左端 x = 5 で値 2 です。軸を含む範囲と両側の式を分けて調べたので、ほかに条件を満たす s はありません。

覚えておくこと

• 放物線を固定し、区間の両端と軸の位置を比べます。
• 軸を含む条件は、左端 ≦ 軸 ≦ 右端から求めます。
• 上に開く場合、最小は軸に近い点、最大は遠い端点です。
• 端点を含むか、境界の値が隣の式と合うか確かめます。
• 下に開く場合は最大と最小の役割が入れ替わります。

答えを点検する順番

場合分けの式が出たら、まず文字の範囲が数直線全体を覆うかを見ます。境界がどちらにも入らなければ、その値の答えが欠けます。両方に入れる書き方でも境界で値は一致しますが、異なる値が出たときは端点の代入や平方完成を見直します。

次に各範囲から文字を1つ選び、実際の区間を書きます。候補に選んだ x がその区間に入るか、軸からの距離が条件に合うかを調べます。さらに元の関数に代入して値を確かめれば、範囲の判断と計算の両方を別々に点検できます。境界の直前と直後も試すと、区間が軸を横切るところで式が切り替わる様子が見えます。

つまずいた行を見つける

場合分けが足りない答案では、まず軸を含む条件を書いた行を見ます。右端と左端のどちらを軸と等しくしたかを数直線に戻し、不等号の向きも一緒に確認します。境界の符号だけが違うなら、端点を代入して区間を具体的に描き直します。

式の分け方は合っているのに値が違う場合は、どの端点を代入した行でずれたかを探します。個別指導では、その行の x を元の定義域に戻し、軸までの距離と実際の関数値を順に確かめます。区間が動けば、候補となる点も動きます。