数検準2級 二次関数の最大最小—定義域と軸の位置から候補の値を比べる｜武蔵野個別指導塾

頂点が定義域の外にある例と両端の値が等しい例で、最大値・最小値をとる位置を見極めます。

よくあるのは、受験者が平方完成で頂点を見つけ、その頂点が指定された区間の外にあるのに、頂点の値を最小値として書いてしまう場面です。式の計算が合っていても、使ってよい x の範囲を見落とすと答えは変わります。放物線全体を思い浮かべた後、問題で許された部分に目を絞りましょう。ここでは端点を含む固定された区間を扱い、区間が動く場合には広げません。

何を比べる問題か

二次関数の最大値は、指定された範囲でとる y の値のうち最も大きい値です。最小値は、その範囲でとる最も小さい値です。最大値をとる x と最大値そのものは別の数なので、問題が両方を求めるなら両方を書きます。最小値についても同じです。

出方には、式と区間から直接最大値と最小値を求める型があります。例えば平方完成して軸を調べ、頂点が区間に入るかを判定する問題です。また、端点から軸までの距離を比べ、どちらの端で値が大きいかを選ぶ型もあります。さらに、長さなどの条件から定義域を作って最大値を求める型があります。どれも、自作の問題で判断の順序を練習できます。

区間が指定されているとき、放物線を紙の端まで描く必要はありません。端点を含む範囲を線で示し、その範囲の中で最も高い点と低い点を探します。式を使うときも同じで、候補の x を決めてから代入します。先に数を代入し始めるより、候補を落としにくくなります。

頂点と端点の役割

二次関数 y = a(x − p)² + q で、a は 0 ではない数です。頂点は (p, q)、軸は直線 x = p です。a が正なら放物線は下に凸で、頂点が最も低い位置にあります。a が負なら上に凸で、頂点が最も高い位置にあります。頂点の x 座標 p が指定区間に含まれるとき、その y 座標 q はそれぞれ最小値または最大値の候補になります。

図1のように、軸が区間の内側にある下に凸の放物線を考えます。頂点が区間に入るので最小値は頂点の高さです。一方、最大値は左右の端点の高さを比べます。図は横軸 1 目盛りを 1、縦軸 1 目盛りを 1 とし、y = (x − 2)²、0 ≦ x ≦ 3 を表します。軸からの距離は左端が 2、右端が 1 なので左端の方が高くなります。

図1では端点の高さはそれぞれ 4 と 1 です。平方は軸からの距離が大きいほど大きくなります。同じ正の係数を掛けて同じ定数を足しても大小は変わらないので、下に凸なら軸から遠い端点が高くなります。上に凸なら負の係数を掛けるため大小が逆になり、遠い端点が低くなります。迷ったら距離だけで判断を終えず、両端を式に代入すれば確実です。

軸が区間の外にある場合はどうでしょうか。頂点は使えません。指定区間の片側だけを切り出すと、値はその区間内で一方向に変化するので、最大と最小はそれぞれ端点でとります。例えば下に凸で軸が区間の右にあれば、右端が軸に近く、左端が遠くなります。したがって右端が低く、左端が高くなります。上に凸では高低が逆です。

軸がちょうど端点を通る場合、その端点は区間に含まれる頂点です。候補を二重に数える必要はありませんが、頂点を除外してはいけません。また、両端が軸から同じ距離なら両端の y は等しくなります。その値が最大値または最小値に当たる場合は、対応する x を両方書きます。等号を見逃さないために、端点と軸の位置を数直線に書いてもよいでしょう。

区間の中央と軸の位置を比べる見方もあります。両端から軸までの距離が等しいのは、軸が区間の中央を通るときです。軸が中央より左なら右端の方が遠く、中央より右なら左端の方が遠くなります。ただし、遠い端点の値が大きいのは下に凸の場合です。係数が負なら遠い端点の値が小さくなります。この二段階を混ぜずに考えます。

軸と端点の並びがわかったら、候補の表を作れます。左端と右端を必ず書き、頂点が範囲内ならその x も書きます。各候補に元の式を代入し、得られた値の最大と最小を選びます。候補の表は計算量が少し増えても、図の高低を逆に読んだときの点検になります。端点で頂点と重なる場合は同じ x を一度だけ計算すれば十分です。

基本例題：頂点が区間の外

問題：関数 y = x² − 6x + 5 の定義域が 0 ≦ x ≦ 2 のとき、最大値と最小値、およびそれぞれをとる x を求めなさい。答えは整数で表しなさい。

まず平方完成します。途中で足し引きする数を明示すると、定数の補正を点検できます。

y = x² − 6x + 5

y = (x − 3)² − 9 + 5

y = (x − 3)² − 4

頂点は (3, -4)、軸は x = 3 です。係数が正なので下に凸です。しかし、x = 3 は 0 ≦ x ≦ 2 の外にあります。頂点の y 座標 -4 は、この範囲でとる値ではありません。

図2のように、定義域は軸より左側にあります。図の横軸と縦軸はどちらも 1 目盛りを 1 とし、指定範囲の曲線を赤で示します。x が 0 から 2 に近づくと軸までの距離は 3 から 1 へ小さくなり、平方も小さくなります。したがって左端で最大、右端で最小です。

両端を元の式に戻して値を求めます。

x = 0 のとき、y = 0² − 6 × 0 + 5 = 5

x = 2 のとき、y = 2² − 6 × 2 + 5 = -3

よって、x = 0 で最大値 5、x = 2 で最小値 -3 です。元の式への代入で端点の値を確認でき、どちらの x も指定された区間に含まれています。平方完成した式に代入しても、順に 9 − 4 = 5、1 − 4 = -3 となります。

もし -4 を最小値にした答案を見たら、その値を与える x = 3 が条件に合うかを調べます。計算の途中だけを見ると間違いが見えないため、最後に「その x は範囲内か」という問いを戻してみます。図の頂点を見つけた後、区間の線を指でたどっても同じ確認ができます。

少し難しい例題：長さから範囲を作る

問題：長さ 12 cm のひもを使い、長方形の周をちょうど 12 cm にします。縦を x cm とし、横より短くなく、縦は 4 cm 以下とします。面積の最大値と最小値、およびそれぞれのときの縦と横の長さを求めなさい。長さと面積は整数で、単位を付けて答えなさい。

縦と横の和は周の半分なので 6 cm です。横は (6 − x) cm、面積を y cm² とすると、次のように表せます。

y = x(6 − x)

y = -x² + 6x

y = -(x − 3)² + 9

ここで横より縦が短くないという条件は x ≧ 6 − x です。整理すると x ≧ 3 です。さらに x ≦ 4 なので、定義域は 3 ≦ x ≦ 4 です。この範囲で横は 2 cm 以上 3 cm 以下となり、縦と横はともに正です。長方形が成立することも確かめられます。

軸は x = 3 で、上に凸です。軸は区間の左端を通るので、頂点は範囲に含まれます。よって x = 3 のとき最大値 9 cm² です。右端は軸から離れているので、最小値は x = 4 のときの 8 cm² です。

最大のときは縦 3 cm、横 3 cm、最小のときは縦 4 cm、横 2 cm です。元の場面に戻すと、どちらも縦と横の和は 6 cm で、周は 12 cm です。面積もそれぞれ 3 × 3 = 9 cm²、4 × 2 = 8 cm² です。縦が横以上で 4 cm 以下という条件にも合います。

区間を 0 から 6 までと書くと、縦が横以上という条件を落とします。逆に 3 より大きいと書くと、等しい正方形を取り除いて最大値を失います。文章中の「以上」「以下」に等号が含まれることを、不等式と図の両方で確かめましょう。定義域が違えば、正しく平方完成しても求める値は別の問題の答えになります。

誤答から直す

基本例題で「頂点が (3, -4) だから最小値は -4」と書いたとします。誤りの原因は、頂点の高さを放物線全体の最小値として読み、それを指定された部分にもそのまま使ったことです。図3のように、頂点と定義域の間に隔たりがあります。図の目盛りは横、縦とも 1 です。

修正するときは、まず頂点の x 座標 3 と区間の両端 0、2 を並べます。3 は 2 より大きいので範囲外です。次に区間の中で軸に最も近い点が右端 x = 2 だと確認します。下に凸なので、そこで最小値をとり、代入すると -3 です。頂点を消して考えるのではなく、軸までの距離を測る基準として残すと判断しやすくなります。

もう一つの誤りは、頂点が範囲内なら最大値も頂点であるとすることです。頂点が最大か最小かは係数の符号で決まります。下に凸なら頂点は低く、最大値は端点を比べます。上に凸なら頂点は高く、最小値は端点を比べます。端点の値を計算して比較する一行を残せば、左右のどちらを選んだかも後から確認できます。

端点の値が等しいときに一方の x だけを書くこともあります。最大値自体は一つでも、その値をとる x は二つありえます。問題が「そのときの x」も求めるなら、両方を答えます。値の個数と、その値を実現する位置の個数を区別することが修正の鍵です。

値を比べる際には負の数の順番にも注意します。例えば -3 は -4 より大きい数です。符号を外した 3 と 4 の大小でそのまま判断すると、最大と最小を逆にしてしまいます。数直線に並べれば、右側の数が大きいと確認できます。これはグラフ上では、より高い点の y 座標に当たります。

練習問題

次の 3 問では、最大値と最小値、およびそれぞれをとる x を求めてください。答えは整数で表します。図や式を使う前に、各区間の端点と軸を並べてみましょう。

1. y = (x − 1)² + 2、-1 ≦ x ≦ 3。
2. y = -(x + 2)² + 7、0 ≦ x ≦ 3。
3. y = -2x² + 8x − 1、1 ≦ x ≦ 5。

計算が済んだら、候補の x が範囲に入っているか、代入した値が元の式と一致するかを確かめます。端点が等しい場合も、一方だけを答えにしないでください。

練習問題の答えと解き方

1. 軸は x = 1、下に凸で、軸は区間の中です。したがって x = 1 で最小値 2 です。両端は軸からそれぞれ 2 離れています。x = -1 と x = 3 のどちらも y = 4 + 2 = 6 ですから、最大値は 6 で、そのときの x は -1 と 3 です。両端と頂点はいずれも指定範囲にあります。端点を代入した二つの結果が同じであることから、位置を二つ書く必要も確かめられます。

2. 軸は x = -2、上に凸です。軸は区間の左にあり、0 の方が 3 より軸に近い位置です。x = 0 で y = -4 + 7 = 3、x = 3 で y = -25 + 7 = -18 です。したがって x = 0 で最大値 3、x = 3 で最小値 -18 です。頂点の値 7 は x = -2 でとる値なので、指定範囲の最大値にはできません。元の式に各端点を戻し、軸から離れるほど値が下がる向きも一致します。

3. 平方完成すると y = -2(x − 2)² + 7 です。軸 x = 2 は区間に含まれ、上に凸なので x = 2 で最大値 7 です。端点では x = 1 のとき y = 5、x = 5 のとき y = -11 です。よって x = 5 で最小値 -11 です。元の式に戻すと、x = 2 では -8 + 16 − 1 = 7、x = 5 では -50 + 40 − 1 = -11 となります。3 つの候補はいずれも範囲内で、軸から遠い右端が低いという図の判断とも合います。

練習の 3 問目では、左端も右端も軸から離れていますが、距離が違います。左端は軸から 1、右端は 3 離れているため、平方の部分は右端で大きくなります。係数が負なので、そこから定数を足した後は右端の方が低くなります。代入による比較と距離による比較の両方が同じ結論になるか、答案の最後に照合できます。

範囲内に頂点があることと、左右の端点の値が等しいことは別の条件です。頂点が区間の中央にないなら、左右の距離は等しくありません。図を描く際も、頂点を見た目だけで区間の中央に置かず、座標から位置を決めます。特に、片方の端に軸が重なる例では、頂点と端点の両方の役割を同じ点が持ちます。

覚えておくこと

• 平方完成して軸と頂点、放物線の向きを調べます。
• 頂点はその x が定義域に入るときに候補にします。
• 端点の値を比較し、同じ値なら対応する x を両方記します。
• 最後に元の条件と元の式へ答えを戻します。

つまずいた行を探す

個別指導で答案を確かめるなら、まず答えに添えた x の行を見ます。範囲外なら、軸と端点を並べた図に戻り、どの部分が使えるかを示します。範囲内なのに値が違うなら、平方完成の定数の補正と元の式への代入を順に確かめます。

文章題で値だけが合わないときは、縦と横の関係から定義域を作った行を見直します。等号を落としていないか、長さが正であるかを確認し、求めた長さから周と面積を計算し直します。候補の位置とその高さを区別できれば、限られた区間の最大最小が見えてきます。