中学受験の算数 つるかめ算の置き換え—全部を一方とみなした差から個数を求める｜武蔵野個別指導塾

足の総数と全部をつるとみなした数との差から、1羽ごとの変化を使って個数を求める置き換えをたどります。

よくあるのは、つるとかめの足を数え、全部をつるとみなした足の数との差を、そのままかめの匹数としてしまう場面です。差が出たところまでは、実際の組み合わせに近づいています。ただし、その差は足の本数であって、生き物の数ではありません。1羽を置き換えると足が何本変わるかを挟むと、数えたものの単位がつながります。

つるの足は1羽に2本、かめの足は1匹に4本とします。いずれも問題の中で決めた数です。足以外のものでも、2種類の個数の合計と、1個あたりの量からできる総量がわかれば、同じ考え方で個数を探せます。

何が与えられ、何を探すか

問いの一つは、つるとかめの合計と足の合計から、それぞれの数を求める形です。合計の生き物をすべてつると考えると、足は実際より少なくなるか、同じになります。実際との差を埋めるため、何羽分をかめに替えるかを考えます。替えても生き物の合計は変わりません。

もう一つは、2種類の品物の合計個数と重さの合計から、それぞれの個数を求める形です。1個の重さがそれぞれ一定であることが必要です。重い品物に替えると増える重さを1回分として、全体の不足を何回分で埋めるかを考えます。足の例と違って、重さの単位と個数の単位を混同しやすいので、式の横に単位を書きます。

反対に、全部を1個あたりの量が大きい方とみなして始めることもできます。この場合は、実際より多く数えた分を、1個ずつ小さい方に替えて減らします。どちらを基準にしても、合計個数を保ったまま総量だけを変える操作は同じです。まず合計個数、1個あたりの2つの量、実際の総量、求める個数を分けて書くと、計算の入口が見えます。

1回の交換で変わる分を数える

図1のように、つる1羽をかめ1匹に替えると、生き物は1羽減って1匹増えます。合計は1つも変わりません。足は2本なくなり、4本加わるので、全体では2本増えます。この2本は、かめ1匹の足4本そのものではありません。元のつるの足2本を引いた、交換による増加分です。

図1では両側とも生き物が1つであることを確かめてから、足の差を見ます。全部つるとした足の数より実際が8本多いなら、この2本の増加が8本の中に何回入るかを調べます。8 ÷ 2 = 4なので、4回の交換です。交換した4つがかめにあたり、残りがつるです。

ここで、全体の差を1回の差で割る理由は、同じ大きさの増加を繰り返しているからです。1回目も2回目も、つる1羽をかめ1匹に替えるので増える足は2本です。交換回数が増えるたびに生き物の合計が変わらないため、最初に数えた合計の枠の中で実際の組み合わせを再現できます。

差が0なら、交換は0回です。実際の総量が全部つるの場合より小さければ、この条件では実現できません。また、足の差が2本ずつに分けられない場合も、途中で半匹のかめを作ることはできません。答えが整数か、合計の数を超えていないかを、計算の最後に見る理由がここにあります。

基本例題：足の不足を埋める

つるとかめが合わせて13います。つるの足は1羽に2本、かめの足は1匹に4本で、足は合わせて38本です。つるは何羽、かめは何匹ですか。どちらも整数で答えてください。

図2のように、まず13すべてをつるとみなします。このときの足は、2本が13組です。実際の38本との差を、かめへの交換で埋めます。

全部をつるとみなした足は、

2 × 13 = 26本

実際の足との差は、

38 − 26 = 12本

つる1羽をかめ1匹に替えると、足は次の分だけ増えます。

4 − 2 = 2本

不足の12本には、この2本が次の回数だけ入ります。

12 ÷ 2 = 6回

したがって、かめは6匹です。13のうち6をかめに替えたので、残りのつるは、

13 − 6 = 7羽

答えはつる7羽、かめ6匹です。図2の12本は不足している足の数であり、6匹とは単位が違います。2本ずつの交換を6回行うことで、初めて個数につながります。

答えを元の場面に戻します。生き物の合計は7 + 6 = 13で、条件と一致します。足は2 × 7 + 4 × 6 = 14 + 24 = 38本です。足だけでなく合計も見ると、交換の途中で個数を増やしてしまった間違いも見つかります。

標準例題：大きい方から減らす

同じ形の箱が合わせて17個あります。軽い箱は1個3 kg、重い箱は1個8 kgで、重さの合計は91 kgです。箱以外の重さは考えません。それぞれ何個ですか。整数で答えてください。

今度は17個をすべて重い箱とみなします。実際に軽い箱が混じっていれば、その分だけ見込みの重さは実際より大きくなります。重い箱1個を軽い箱1個に替えると、個数は変わらず、重さは8 − 3 = 5 kg減ります。

全部重い箱なら、8 × 17 = 136 kgです。実際より多い分は136 − 91 = 45 kgです。1回に5 kgずつ減るので、45 ÷ 5 = 9回替えます。軽い箱は9個、重い箱は17 − 9 = 8個です。

確認すると、9 + 8 = 17個、3 × 9 + 8 × 8 = 27 + 64 = 91 kgです。両方の条件を再現できました。軽い方から始めるなら3 × 17 = 51 kgで、91 − 51 = 40 kgを5 kgずつ増やします。40 ÷ 5 = 8回なので、今度の交換回数は重い箱の8個を表します。

始めに選んだ種類と、交換後の種類を矢印で書くと、商がどちらの個数か間違えにくくなります。全部重い箱から始めたときの9回は、取り除いた重い箱の数であると同時に、入れ替えた軽い箱の数です。もとの重い箱が9個だったという意味ではありません。

発展例題：条件が成り立つかも調べる

赤いカードと青いカードが合わせて14枚あります。赤には1枚に6点、青には1枚に2点が書かれ、点の合計は48点です。それぞれ何枚ですか。整数で答えてください。また、合計が49点だった場合には条件に合う組み合わせがあるか答えてください。

全部を青にすると、2 × 14 = 28点です。青1枚を赤1枚に替えるたび、6 − 2 = 4点増えます。48点にするには48 − 28 = 20点を増やすので、20 ÷ 4 = 5回替えます。赤は5枚、青は14 − 5 = 9枚です。

別の確かめとして、枚数と点数を表に戻します。赤5枚は6 × 5 = 30点、青9枚は2 × 9 = 18点です。枚数は5 + 9 = 14枚、点数は30 + 18 = 48点となり、どちらの条件にも合います。

49点なら、全部青の28点から21点増やす必要があります。しかし21 ÷ 4 = 5あまり1です。5回では20点増え、6回では24点増えます。1枚の一部だけを替えることはできないため、49点になる組み合わせはありません。余りを切り捨てて赤5枚とすると48点にしかならず、条件を満たしません。

この分かれ目は、割り算の余りだけではありません。例えば点の合計が全部赤の84点を超える場合も、交換回数が14回を超えてしまい、14枚では作れません。逆に28点未満も作れません。両端の総量の間にあっても、増加分の4点ずつで届かなければ実現しないのです。なお、2種類の1個あたりの量が同じなら交換しても総量は変わらず、総量からそれぞれの個数を決められません。

交換回数が合計の個数を超える場合も、計算だけで答えとしないようにします。カードの例では青は14枚なので、青から赤への交換は最大14回です。もし必要な増加が60点なら、60 ÷ 4 = 15回となりますが、15枚目の青はありません。全部を赤にしても84点なので、それ以上の88点には届きません。割り切れたことと、実際に交換できることは別々に確かめます。

また、問題の総量が最大と最小のちょうど端にある場合は、片方が0枚になることがあります。0枚を認める問題なら、全部を青とした28点では赤0枚、青14枚です。もう一方が必ず1枚以上あると問題に書かれているなら、同じ計算結果でもその条件には合いません。数の式だけでなく、問題文が認める個数の範囲まで読むことが必要です。

誤答の足跡をたどる

基本例題で、38 − 26 = 12から「かめ12匹」とした答えを考えます。図3のように、12は実際と全部つるの場合の足の差です。12匹にして戻すと、つる1羽とかめ12匹となり、足は2 + 48 = 50本です。合計13は合っていますが、足の38本に合いません。

原因は、足の本数を生き物の個数に読み替えたことです。直すには、かめの足4本で割るのでもなく、交換で増える4 − 2 = 2本を使います。12 ÷ 2 = 6回だから、かめは6匹です。図3の矢印は、足の差を1回分の増加で割って交換回数に直す順序を表します。

別の間違いとして、全部かめとみなして52本を出した後、52 − 38 = 14本を4で割ることがあります。かめをつるに替えると4本が全部消えるわけではなく、つるの2本が残ります。減るのは2本ですから14 ÷ 2 = 7回、こちらはつるの7羽を表します。基準を変えると差も商の意味も変わるので、どちらから替えたかを式のそばに記します。

練習：場面ごとに交換する

それぞれ、2種類の数を整数で求めてください。1個あたりの量は各種類で一定です。

1. 2本足の鳥と4本足の動物が合わせて11います。足は合わせて30本です。それぞれ何羽、何匹ですか。
2. 小さい袋は1袋に5個、大きい袋は1袋に9個の玉が入っています。袋は合わせて16袋、玉は合わせて112個です。袋はそれぞれ何袋ですか。
3. 1枚40円の札と1枚70円の札が合わせて18枚あり、合計は960円です。それぞれ何枚ですか。
4. 1台に3人乗る車と1台に7人乗る車が合わせて12台あり、全席に乗ると68人です。それぞれ何台ですか。
5. 1箱に4本入る箱と1箱に10本入る箱が合わせて9箱あります。中身は合わせて73本です。この条件に合う整数の箱数があるか答えてください。

練習の答えと戻し方

1. 全部を2本足とすると2 × 11 = 22本です。実際との差8本を、交換1回の4 − 2 = 2本で割ると8 ÷ 2 = 4回です。4本足は4匹、鳥は7羽です。7 + 4 = 11、2 × 7 + 4 × 4 = 30本で両方の条件に戻ります。
2. 全部小さい袋なら5 × 16 = 80個です。112 − 80 = 32個の不足を、9 − 5 = 4個ずつ埋めるので32 ÷ 4 = 8回です。大きい袋8袋、小さい袋も8袋です。8 + 8 = 16袋、5 × 8 + 9 × 8 = 112個です。
3. 全部40円なら40 × 18 = 720円です。960 − 720 = 240円を、70 − 40 = 30円ずつ増やすと240 ÷ 30 = 8回です。70円の札8枚、40円の札10枚です。枚数は8 + 10 = 18枚、金額は70 × 8 + 40 × 10 = 960円です。
4. 全部7人乗りなら7 × 12 = 84人です。84 − 68 = 16人を、7 − 3 = 4人ずつ減らすと16 ÷ 4 = 4回です。3人乗り4台、7人乗り8台です。4 + 8 = 12台、3 × 4 + 7 × 8 = 68人です。
5. 全部4本入りなら4 × 9 = 36本です。73 − 36 = 37本の不足に対し、1箱の交換で増えるのは10 − 4 = 6本です。37 ÷ 6は6あまり1なので、整数の箱数では作れません。6箱を10本入りに替えると72本、7箱なら78本で、73本を再現できないことも確かめられます。

覚えておくこと

• 全部を一方とみなして、実際の総量との差を出します。
• 1個の交換で増減する量は、2種類の1個あたりの量の差です。
• 全体の差を1回分の差で割ると、交換した個数が出ます。
• 個数が整数で範囲内か調べ、合計個数と総量の両方に戻します。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが差を出した後に手を止めたら、その差の単位を尋ねます。足の本数と答えたい羽数を区別できていれば、次は1羽を入れ替える前後を紙に描き、何本増えるかを見ます。差をそのまま個数にした場合は、出した数を元の条件に戻し、どちらの合計が合わないかを確かめます。

個別指導では、全部をどちらとみなしたか、交換の前後で合計個数が変わらないか、商がどちらの個数かを順に確かめられます。計算が合っていても、余りが出る条件や交換回数が合計を超える条件では、答えの存在まで判断する必要があります。1回の置き換えを確かめると、全体の差の意味が見えてきます。