中学受験の算数 つるかめ算の面積図—余分な長方形の面積と横幅の意味を読み取る｜武蔵野個別指導塾

1個あたりの量と個数を縦横に置き、余分な長方形から個数を読むつるかめ算の面積図です。

よくあるのは、動物の足の本数を数える問題で、お子さまが面積図の横幅に足の数を書いてしまう場面です。図に出てくる数はどれも問題文にありますが、同じ役割ではありません。横に並べるのは動物の数、縦に取るのは1羽あたり、または1匹あたりの足の数です。面積で足の合計を表す約束を作ると、余分な部分が何を表すかも読み取れます。

どの数を求める図なのか

2本足の鳥と4本足の動物が合わせて何羽、何匹いて、足が全部で何本あるかが与えられ、それぞれの数を求める問題があります。数える対象は2種類で、それぞれの1つあたりの量は同じ種類の中では一定です。足の本数は動物の数ではなく、動物ごとの足を集めた総量です。個数を求めたら、両方の種類の個数の和と足の合計に戻して確かめます。

足以外にも、1枚に入る点数の異なる2種類のカードや、1箱に入る品物の個数が異なる2種類の箱に使えます。求めるのはカードや箱の枚数、箱数で、点数や中身の総数がそのまま答えになるわけではありません。問題を読むときは「何の個数か」と「1個につき何か」を言葉で分けます。

また、個数を求める前に、図の縦や横、色のついた部分が何を表すかを問われることもあります。同じ長方形でも、横幅に置いた数と面積が表す数は単位が違います。面積の数値をそのまま横幅として読むと、合計が合っているかを調べる前に、数えているものが変わってしまいます。

高さと幅に役目を持たせる

たとえば1個あたりの量が2と5の2種類を、合わせて10個並べると考えます。図1のように横幅全体を10個分とし、左の種類の高さを2、右の種類の高さを5にします。どちらも横の1区画が1個を表し、高さの1目盛りは1個あたりの量を表します。図の幅の比は説明のために選んだ一例で、個数がわからない段階では右側の幅を測って答えを決めません。

図1の下の帯は、10個のそれぞれに2ずつあると考えた部分です。帯の面積は 2 × 10 で20です。面積の数値は、1個あたり2という量を10個分集めた総量を表します。右上の長方形は、5の種類が2の種類より1個につき3多い分です。その高さは 5 − 2 で3、横幅は5の種類の個数です。

実際の総量から下の帯の総量を引けば、右上の余分な部分の量が残ります。右上の面積を高さ3で割ると、その横幅、つまり5の種類の個数が出ます。この割り算は、余分な量を1個ごとの増え方で分ける操作です。総量が与えられていなければ、右側の幅は図の形だけから決められません。

単位をつけて考えると、横は「個」、縦は「点ずつ」や「本ずつ」、面積は集めた「点」や「本」です。縦に総量を書けば、縦と横をかけたときに個数分をもう一度かけることになり、問題の総量とは合いません。目盛りがどの量の単位かを横と縦のそばに書くと、何をかける図かがはっきりします。

全体の面積から帯を引くには、2種類を同じ下端にそろえます。上の端は高さが違ってもかまいません。帯は実際のどの個数にも共通して含まれるため、10個分と決まります。一方、右上は高い種類にだけあるので、その幅を最初から全体の10個分とはできません。

基本例題：帯と余分を順に読む

1枚に4点の青いカードと、1枚に8点の赤いカードが合わせて12枚あります。カードの点数の合計は64点です。赤いカードと青いカードはそれぞれ何枚ですか。答えは整数の枚数で求めてください。

図2のように、横幅全体を12枚分にして、まず全幅に高さ4の帯を取ります。赤いカードは青いカードより1枚につき4点高いので、赤いカードのところにだけ高さ4の部分を重ねます。色の境目を探すことが、赤いカードの枚数を求めることにつながります。

図2の帯は、12枚がすべて4点のカードだったとしたときの点数です。実際には赤いカードもありますが、どのカードもまず4点分を帯に含めています。

12 × 4 = 48（点）

実際の64点と帯の48点の差は、赤いカードの上に重ねた部分の点数です。

64 − 48 = 16（点）

赤いカード1枚分の幅に重なる部分の高さは、8点と4点の差です。

8 − 4 = 4（点ずつ）

余分な16点が、1枚につき4点ずつ何枚分あるかを求めます。

16 ÷ 4 = 4（枚）

したがって赤いカードは4枚です。残りの青いカードは次のように出ます。

12 − 4 = 8（枚）

問題の場面へ戻します。赤4枚と青8枚で、枚数は 4 + 8 = 12（枚）です。点数は 4 × 8 + 8 × 4 = 64（点）です。どちらの条件も再現でき、枚数も整数です。図の上側は16点を表しますが、横幅は16枚ではなく4枚です。

面積図にしてから計算すると、64から48を引く理由が見えます。実際の赤いカードから4点分を消したのではありません。赤にも青にも含まれる4点分を先にまとめ、赤の残りを上へ分けて置いたと考えます。分けた2つの部分を足せば、元の64点に戻ります。

標準例題：どちらの種類を先に出すか

1箱に5個入る小箱と、1箱に9個入る大箱が合わせて18箱あります。中身は合わせて138個です。大箱と小箱はそれぞれ何箱ですか。答えは整数の箱数で求めてください。

横幅を18箱分、高さを1箱あたりの中身の数とします。高さ5の帯は、どの箱にも共通する5個ずつです。その上に、高さ 9 − 5 = 4 の部分が大箱の幅だけ重なります。

18 × 5 = 90（個）

138 − 90 = 48（個）

48 ÷ 4 = 12（箱）

18 − 12 = 6（箱）

大箱は12箱、小箱は6箱です。箱数は 12 + 6 = 18（箱）で、品物は 12 × 9 + 6 × 5 = 138（個）です。余分な48個を4個ずつに分けたので、先に出るのは大箱の数です。引いた後の6箱が小箱になります。

別の見方では、18箱の全幅を高さ9まで囲んだ長方形を考えられます。この長方形は 18 × 9 = 162（個）です。実際との差は 162 − 138 = 24（個）で、小箱の上に足りない部分です。小箱1箱につき 9 − 5 = 4（個）ずつ足りないため、24 ÷ 4 = 6（箱）が小箱の数です。残りが大箱12箱となり、帯を使った答えと一致します。

余分を使うときと足りない部分を使うときでは、割り算から先に出る種類が入れ替わります。高さの差は同じ4ですが、面積が大箱側にあるか小箱側にあるかが違います。式の数字が合っているだけで種類を決めず、図のどちら側の幅を求めたのかを言葉にします。

発展例題：総量が変わると境目はどう動くか

1束に3本の短いリボンが入る束と、1束に7本入る束が合わせて20束あります。リボンは合わせて108本です。7本入りと3本入りはそれぞれ何束ですか。答えは整数の束数で求めてください。

横幅を20束分、高さを1束あたりの本数として、3本ずつの帯とその上を考えます。帯は 20 × 3 = 60（本）です。帯より上は 108 − 60 = 48（本）で、7本入りの1束につき 7 − 3 = 4（本）ずつあります。

48 ÷ 4 = 12（束）

20 − 12 = 8（束）

7本入りが12束、3本入りが8束です。20束に戻り、本数も 12 × 7 + 8 × 3 = 108（本）です。上の部分は高さ4、幅12の長方形なので、幅12が何の数なのかを確かめてから答えます。

同じ20束と2種類の入り方で、もし合計が110本だったらどうでしょう。3本ずつの帯の上は 110 − 60 = 50（本）です。50 ÷ 4 = 12.5（束）となります。束を半分にして数える条件ではないため、これは個数として使えません。答えを12束や13束に丸めても、合計はそれぞれ108本、112本となり、110本を再現しません。この条件を満たす整数の束数はありません。

面積図では高さ4の上の部分の幅が、1束分ずつ増えるたびに面積が4本分増えます。帯の60本から始めて、7本入りの束を1つ増やすたびに合計は4本ずつ変わります。したがって帯より上の本数が4のまとまりに分かれないときは、整数の束数を作れません。これは小数が計算上出てはいけないという意味ではなく、問題の束数が整数という条件に合わないという判断です。

さらに、20束がすべて3本入りなら60本、すべて7本入りなら140本です。合計がこの範囲より小さい場合や大きい場合も条件に合いません。ちょうど60本なら7本入りは0束、ちょうど140本なら3本入りは0束です。両方が少なくとも1束あると指定された問題なら、端の値も条件から外れます。範囲に入っていることと、差が4のまとまりに分かれることの両方を見ます。

間違った幅を図に戻して直す

基本例題で、帯との差16点をそのまま赤いカード16枚と答える間違いを考えます。図3のように、16は上の長方形の面積に対応する点数です。横幅には枚数を置くので、面積の16をそのまま幅に移せません。12枚しかないのに赤が16枚という時点でも、総枚数の条件に合わないと気づけます。

図3の上の部分は、高さが1枚につき4点の差です。16点をこの4点ずつに分ければ、横幅は4枚分です。点数を枚数に変えるには、1枚あたりの増加分を使います。「16点は何枚分の余分か」と読み替えると、割る数の役目が見えます。

もう1つの間違いは、16を赤いカード1枚の8点で割ることです。上の部分には赤いカードの8点全部が入っているわけではありません。赤の4点分は下の帯に数えられているので、上にあるのは残りの4点分です。帯と上側の境目を指して、赤1枚に対応する高さが下に4、上に4と分かれていることを確かめます。

逆に、全体を高さ8まで囲んで差を取った場合は、空いている部分が青の枚数に対応します。空白の面積を4で割って出た数を赤と呼ぶと、種類が反対になります。図に求めたい種類の名前を先に書き、割り算の答えがその幅なのか残りの幅なのかを確認してください。

手を動かして確かめる5問

それぞれ、横幅を個数、縦を1個あたりの量とする図を考えてください。1〜4は両方の種類の個数を整数で求め、5は条件を満たす整数の個数があるか判断します。

1. 2点の札と5点の札が合わせて10枚あり、合計は32点です。それぞれ何枚ですか。
2. 4個入りの袋と7個入りの袋が合わせて15袋あり、中身は84個です。それぞれ何袋ですか。
3. 1台に3人乗る小車と8人乗る大車が合わせて14台あり、満席の人数は72人です。それぞれ何台ですか。
4. 1列に6本並ぶ苗の列と10本並ぶ苗の列が合わせて16列あり、苗は136本です。それぞれ何列ですか。
5. 5個入りの包みと9個入りの包みが合わせて12包みあり、中身が86個だとします。条件に合う整数の包み数はありますか。

5問の答えと道筋

1. 2点の札が6枚、5点の札が4枚です。帯は 10 × 2 = 20（点）、上側は 32 − 20 = 12（点）です。高さの差は 5 − 2 = 3（点ずつ）なので、12 ÷ 3 = 4（枚）が5点の札です。残りは 10 − 4 = 6（枚）です。枚数は 6 + 4 = 10、点数は 6 × 2 + 4 × 5 = 32 となります。

2. 4個入りが7袋、7個入りが8袋です。帯は 15 × 4 = 60（個）、上側は 84 − 60 = 24（個）です。高さの差3個ずつで割ると 24 ÷ 3 = 8（袋）、残りは 15 − 8 = 7（袋）です。袋数は 7 + 8 = 15、中身は 7 × 4 + 8 × 7 = 84（個）に戻ります。

3. 小車が8台、大車が6台です。帯は 14 × 3 = 42（人）、上側は 72 − 42 = 30（人）です。大車1台につき 8 − 3 = 5（人）多いので、30 ÷ 5 = 6（台）が大車です。残りは 14 − 6 = 8（台）です。台数は 8 + 6 = 14、満席の人数は 8 × 3 + 6 × 8 = 72（人）です。

4. 6本の列が6列、10本の列が10列です。帯は 16 × 6 = 96（本）、上側は 136 − 96 = 40（本）です。1列あたりの差は4本なので、40 ÷ 4 = 10（列）が10本の列です。残りは 16 − 10 = 6（列）です。列数は 6 + 10 = 16、苗は 6 × 6 + 10 × 10 = 136（本）です。

5. 条件に合う整数の包み数はありません。帯は 12 × 5 = 60（個）、上側は 86 − 60 = 26（個）です。高さの差は4個ずつなので、26 ÷ 4 = 6.5（包み）となり、包みの個数として使えません。9個入りが6包みなら残り6包みで 6 × 9 + 6 × 5 = 84（個）、7包みなら残り5包みで 7 × 9 + 5 × 5 = 88（個）です。9個入りを1包み増やすごとに総数は4個増えるため、整数の包み数では86個になりません。

図を読むときの要点

• 横幅は個数、縦の高さは1個あたりの量です。
• 下の帯は小さいほうの量を全個数分集めた総量です。
• 上の面積は実際の総量から帯を引いた量です。
• 上の面積を1個あたりの差で割ると、大きいほうの種類の個数です。
• 個数の和と元の総量の両方に戻し、整数の条件も確かめます。

つまずきの位置を見つける

お子さまが図を描いたら、まず横の1区画を指して「これは何枚分か」、縦の目盛りを指して「1枚について何点か」と尋ねます。ここが逆なら、計算を急ぐ前に単位を書き直します。横幅に総点数を置いている場合は、カードを1枚ずつ並べたときに増えるのは点数ではなく幅1枚分だと確かめます。

帯と上側のどちらにも同じ点数を入れてしまう場合は、赤いカード1枚の8点を下の4点と上の4点に分けて指で追います。割り算はできても種類を取り違える場合は、商が図のどの幅に当たるかを言葉にしてから残りを求めます。個別に確認するときも、答えが合ったかに加えて、帯の意味、上側の高さ、元の条件への戻し方を順に見ます。図の各辺の役目がつながれば、面積から個数への道筋が見えてきます。