中学受験の算数 和差算の三量—二つの差をそろえて三人の数量を線分図で求める｜武蔵野個別指導塾

三人の合計から最少との差を二つ除き、同じ長さを三本作る図と自作問題で、三量の和差算に迫ります。

よくあるのは、三人分の合計から差を一つしか引かず、残りを三等分してしまう場面です。二人の線分はそろっても、もう一人の線分には余分な部分が残っています。そのまま三等分すると、求めた数を三人分に戻したとき、もとの合計と合いません。

三人の量を比べるときは、いちばん少ない人を基準にします。ほかの二人がそれぞれ基準よりどれだけ多いかを確かめ、その二つの余分を合計から取り除きます。同じ長さが三本になって初めて、三等分できるという順序です。

三人の差はどの形で渡されるか

三人の合計と差がわかっていて、それぞれの量を求める問題には、差の伝え方に違いがあります。例えば、少ない人を基準にして「中くらいの人はその人より何個多い」「多い人はその人より何個多い」と二つとも直接示される形です。この場合は、二つの差をそのまま図の端に書けます。

もう一つは、少ない人と中くらいの人の差、中くらいの人と多い人の差が順に示される形です。多い人と少ない人の差は、隣どうしの二つの差を足して作ります。問題に出てきた二つの差をただ合計から引くのでは、中くらいの人と多い人を同じ長さにそろえられません。

また、合計と差に加えて、三人のうち一人が持つ量だけを尋ねることもあります。それでも、何を基準にしているかは変わりません。最少の量を出してから求める人の量へ移り、最後は三人の合計に戻して調べます。二人の和と差だけから二量を求める問題はここでは扱いません。

問題を読むときは、まず名前の横に「合計」「だれとだれの差」「求める人」を分けて書きます。差は一人の持ち物そのものではなく、二人の量の隔たりです。同じ「多い」という言葉でも、比べる相手が違えば、図に書く位置が変わります。

三本を最少の長さにそろえる

線分図では、各人の量を左端から右へ伸ばした線分で表します。左端をそろえると、右端からはみ出した部分が、基準にした人との差として見えます。図1のように、最少の人の長さを三本に共通する部分と見て、その右側の二つを余分として分けます。

図1の中と多い人の右端は別々の場所にあります。中の人の余分と、多い人の余分は、同じ線分上の一続きのものではありません。三人の合計には両方が含まれるので、基準の長さを三本だけ残すには、両方を取り除きます。

仮に最少の人を基準にした二つの差が4個と9個なら、合計から取り除く量は4 + 9で13個です。この13個は、二人の持ち物を合わせた量ではなく、二人の持ち物から基準の長さを残したときの余分です。残りは、最少の人の量が三つ集まったものですから、3で割ります。

「多い人は中の人より5個多い」という条件であれば、図の右端どうしの間が5個です。中の人が最少の人より4個多いとき、多い人は最少の人より4 + 5で9個多くなります。5個だけを多い人の余分とすると、中の人にもある4個分が抜けてしまいます。

図の三本の長さは数量の大きさを表します。単位がそろっていない場合は、先に同じ単位に直します。たとえば長さをcmでそろえたなら、差も合計もcmで扱います。合計から差を引く式が書けても、その差の相手を説明できなければ、図のどこを取り除いたのかをもう一度たどります。

差の一方が0のときも、三本のうち二本が同じ長さになるだけです。残る一人が基準より多ければ、その余分と0を合計から除きます。0を書いておくと、二人分の差を調べたことがわかります。逆に、最少の人より少ないという結果が途中で出たなら、基準の選び方か差の向きを見直します。

整数の品物を扱う問題では、同じ長さにそろえた合計を3で割ったとき、整数になる必要があります。割り切れない場合に端数を勝手に丸めると、もとの合計や差が変わります。線分の区切りを数え直し、それでも条件が変わらなければ、整数の個数としては成立しないと判断します。長さの問題では分数の長さが可能な場合もあるため、問題が指定する答えの形を先に確かめます。

基本例題：二つの差が直接わかる

3人が集めたカードは合わせて63枚です。あきは、いとより5枚多く、うたは、いとより10枚多く集めました。3人それぞれの枚数を整数で求めます。

いとを基準にすると、あきの線分には5枚、うたの線分には10枚の余分があります。図2のように余分を切り分けると、残りは、いとの枚数と同じ長さが3本です。

図2の3本を重ねて考える前に、余分の合計を出します。

5 + 10 = 15（枚）

63 − 15 = 48（枚）

48 ÷ 3 = 16（枚）

この16枚が、いとの枚数です。あきとうたは、いととの差をそれぞれ戻します。

16 + 5 = 21（枚）

16 + 10 = 26（枚）

答えは、いと16枚、あき21枚、うた26枚です。16 + 21 + 26 = 63で合計に戻り、21 − 16 = 5、26 − 16 = 10で両方の差も合います。どの枚数も整数なので、カードの枚数として条件に合っています。

63から5だけを引いて3で割ると、うたの10枚分が残ります。3本を同じ長さにしたつもりでも、実際は1本が長いままです。式を急ぐより先に、図の3本の右端がそろったかを指でたどると、この取り残しに気づけます。

標準例題：隣どうしの差をつなぐ

3人が折った紙の飾りは合わせて75個です。えまは、おとより4個多く、かいは、えまより7個多く折りました。それぞれの個数を整数で求めます。

最少のおとを基準にします。えまの余分は4個です。かいはえまより7個多いので、かいのおとに対する余分は、4個と7個をつないだ長さです。

4 + 7 = 11（個）

3本から取り除く余分は、えまの4個とかいの11個です。最初に示された4個と7個を引くだけでは、かいの線分に4個が残ります。

75 − 4 − 11 = 60（個）

60 ÷ 3 = 20（個）

20 + 4 = 24（個）

24 + 7 = 31（個）

おと20個、えま24個、かい31個です。20 + 24 + 31 = 75、24 − 20 = 4、31 − 24 = 7となり、合計と二つの差を再現できます。31 − 20 = 11も、図で作った差と一致します。

かいの数を20 + 11としても31個です。どちらの足し方でも、基準と差の相手をそろえているため同じ結果になります。計算後は問題に書かれた差へ戻して確認すると、途中で作った11個だけを確かめる場合より、読み違いを見つけやすくなります。

発展例題：差の向きから順番を決める

3人が集めた貝殻は合わせて96個です。さきは、しおより8個少なく、すずは、しおより5個多く集めました。それぞれの個数を整数で求めます。

「しおより少ない」のはさきですから、さきを基準にします。しおはさきより8個多く、すずはしおより5個多いので、すずはさきより8 + 5 = 13個多いことになります。問題文の名前の順番ではなく、量の順番を決めることが分かれ目です。

96 − 8 − 13 = 75（個）

75 ÷ 3 = 25（個）

25 + 8 = 33（個）

33 + 5 = 38（個）

さき25個、しお33個、すず38個です。25 + 33 + 38 = 96、33 − 25 = 8、38 − 33 = 5となります。個数はどれも整数です。

別の確かめ方として、三人の量を表に並べると、最少の25個からの増え方は順に0個、8個、13個です。25個ずつ3人に置いた75個に、8個と13個を戻すと96個になります。これは図で切り取った二つの余分を逆向きに戻す操作です。

もし「すずはしおより5個少ない」なら、さきとの差は8 − 5で3個となり、さきが最少です。ただし、すずがしおより8個を超えて少ない条件なら、最少はすずに変わります。「少ない」という語が出た位置だけで基準を決めず、差を端から端までつないで順序を見ます。同じ量の人がいる場合は、その人の基準との差を0として数えられます。

誤答を図に戻して直す

基本例題で、63 − 5 = 58、58 ÷ 3としてしまう誤りを考えます。図3のように5枚分を除くと、あきの線分はいとの線分とそろいますが、うたの線分には10枚が残っています。

図3でそろっていない右端を見つけたら、残った10枚も引きます。58 − 10 = 48となり、3本が同じ16枚ずつになります。原因は割り算のやり方ではなく、割る前に同じ量が三つあるかを調べなかったことです。

隣どうしの差が示されたときは、別の間違いも起きます。標準例題で4個と7個だけを引くと、かいに残る4個を取り除けません。差がどの二人の右端の間かを図に記し、最少から多い人までの差を作ってから引きます。

また、3で割れたから正しいとは限りません。異なる差を誤って引いても、残りがたまたま3で割り切れる場合があります。三人の数に戻し、合計と問題文の二つの差を両方確かめることが必要です。反対に、個数を整数で求める条件なのに正しく差を除いた残りが3で割り切れなければ、差の向きや転記を再確認します。それでも割り切れなければ、与えられた条件を満たす整数の個数はありません。

練習問題

次の5問は、三人それぞれの量を指定された単位の整数で求めてください。まず問題を一通り読み、最少の人と、最少の人を基準にした二つの差を書き出します。

1. たけ、ちか、つむぎが拾った木の実は合わせて54個です。ちかはたけより3個多く、つむぎはたけより6個多く拾いました。
2. なつ、にこ、ぬいが作ったしおりは合わせて81枚です。にこはなつより6枚多く、ぬいはにこより3枚多く作りました。
3. はる、ひな、ふみが読んだ同じ長さの読み物は合わせて102ページです。はるはひなより9ページ少なく、ふみはひなより6ページ多く読みました。
4. まき、みお、むぎが集めた葉は合わせて72枚です。まきとみおは同じ枚数で、むぎはみおより12枚多く集めました。
5. やえ、ゆき、ようが持つひもは合わせて93cmです。ゆきはやえより7cm長く、ようはゆきより2cm短いひもを持っています。

練習の答えと戻し方

1. たけ15個、ちか18個、つむぎ21個です。54 − 3 − 6 = 45、45 ÷ 3 = 15とします。15 + 18 + 21 = 54、18 − 15 = 3、21 − 15 = 6で元の条件に戻ります。

2. なつ22枚、にこ28枚、ぬい31枚です。ぬいはなつより6 + 3 = 9枚多いので、81 − 6 − 9 = 66、66 ÷ 3 = 22です。22 + 28 + 31 = 81、28 − 22 = 6、31 − 28 = 3と確かめます。

3. はるを基準にすると、ひなとの差は9ページ、ふみとの差は9 + 6 = 15ページです。102 − 9 − 15 = 78、78 ÷ 3 = 26となるので、はるは26ページ、ひなは35ページ、ふみは41ページです。26 + 35 + 41 = 102、35 − 26 = 9、41 − 35 = 6で条件を満たします。

4. まき20枚、みお20枚、むぎ32枚です。同じ枚数のまきとみおの差は0枚ですから、72 − 0 − 12 = 60、60 ÷ 3 = 20です。20 + 20 + 32 = 72、20 − 20 = 0、32 − 20 = 12と確かめます。

5. やえ27cm、ゆき34cm、よう32cmです。ようはやえより7 − 2 = 5cm長いので、93 − 7 − 5 = 81、81 ÷ 3 = 27です。27 + 34 + 32 = 93、34 − 27 = 7、34 − 32 = 2となり、長さの順番も合います。

手元に残すこと

• 差の相手を確かめ、最少の量を基準にします。
• ほかの二人の余分をそれぞれ最少との差で表します。
• 合計から二つの余分を引いて、残りを3で割ります。
• 求めた三人の量を合計と元の差に戻します。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが式を書けないときは、まず三人の名前を量の順に並べられるかを見ます。順番に迷うなら「だれより何個多いか」を矢印で結び、差の相手を言葉で確かめます。順番は合っているのに引く数が足りない場合は、三本の線分の右端を指し、一人ずつ基準との差を示してもらいます。

個別指導では、三人の答えが合っていても、基準にそろえて分ける手順を説明できるかまで確かめます。三等分する直前の残りが何を三つ集めたものか、差を戻した後の三つの数が問題の条件を再現するかを聞きます。図と式を行き来できると、差の書き方が変わっても、三人の量を同じ基準から読み直せます。